Freier Fall Rechner - Geschwindigkeit, Distanz & Zeit Rechner

Rechner für freien Fall: Geschwindigkeit, Strecke und Zeit

Ein Rechner für freien Fall ermittelt die Geschwindigkeit eines unter der Schwerkraft fallenden Objekts, die zurückgelegte Strecke und die verbleibende Höhe über dem Boden. Geben Sie eine Anfangshöhe, eine Anfangsgeschwindigkeit und eine verstrichene Zeit ein. Der Rechner gibt die Endgeschwindigkeit, die Abwärtsverschiebung und die Endhöhe aus.

Was ist freier Fall?

Freier Fall ist eine Bewegung, die ausschließlich durch die Schwerkraft verursacht wird. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt. In der Nähe der Erdoberfläche beschleunigt jedes fallende Objekt unabhängig von seiner Masse mit derselben Rate. Eine Münze und ein Hammer, die gleichzeitig fallen gelassen werden, treffen im selben Augenblick auf dem Boden auf, sofern der Luftwiderstand klein genug ist, um ihn zu vernachlässigen.

Galileo Galilei zeigte dies Anfang der 1600er-Jahre experimentell und widerlegte damit die ältere Vorstellung, dass schwerere Objekte schneller fallen. Im Jahr 1971 ließ der Apollo-15-Astronaut David Scott auf dem Mond einen Hammer und eine Feder fallen, wo keine Luft die Feder abbremst. Beide landeten gleichzeitig, und die Landung wurde gefilmt.

Die Größe dieser Beschleunigung wird als Normfallbeschleunigung bezeichnet und mit g angegeben. Ihr definierter Wert beträgt genau 9,80665 Meter pro Sekunde zum Quadrat (m/s²) und wurde durch internationale Vereinbarung im Jahr 1901 festgelegt. In imperialen Einheiten beträgt dieselbe Beschleunigung 32,17405 Fuß (9,81 m) pro Sekunde zum Quadrat (ft/s²). Dieser Wert ergibt sich aus 9,80665 geteilt durch 0,3048, der exakten Meterzahl in einem Fuß, auf fünf Dezimalstellen gerundet. In vielen Lehrbuchbeispielen wird der metrische Wert für einfachere Berechnungen auf 9,81 m/s² gerundet.

Formel für den freien Fall

Drei Gleichungen decken alle Aufgaben zum freien Fall ab. Die Abwärtsrichtung wird als positive Richtung behandelt. Eine positive Geschwindigkeit weist daher zum Boden, eine negative nach oben.

Geschwindigkeitsformel

$v = v_0 + gt$

• $v$ = Endgeschwindigkeit
• $v_0$ = Anfangsgeschwindigkeit (0 beim Fallenlassen aus dem Ruhezustand; negativ beim Wurf nach oben)
• $g$ = Erdbeschleunigung, in diesem Rechner 9,80665 m/s² oder 32,17405 Fuß/s²
• $t$ = verstrichene Zeit in Sekunden

Streckenformel

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

Hier bezeichnet $d$ die Verschiebung: die Strecke, um die sich das Objekt abwärts bewegt hat. Für ein aus dem Ruhezustand fallengelassenes Objekt ($v_0 = 0$) vereinfacht sich die Gleichung zu $d = \frac{1}{2}gt^2$. Wurde das Objekt nach oben geworfen und befindet es sich noch über dem Abwurfpunkt, ist $d$ negativ.

Geschwindigkeits-Strecken-Formel

Wenn die Zeit unbekannt ist, verknüpft diese Gleichung Geschwindigkeit und Strecke direkt:

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

Für ein aus dem Ruhezustand fallengelassenes Objekt vereinfacht sie sich zu $v = \sqrt{2gd}$. Mit dieser Formel lässt sich die Aufprallgeschwindigkeit aus einer bekannten Fallhöhe oder die Fallhöhe aus einer bekannten Aufprallgeschwindigkeit bestimmen.

So berechnen Sie den freien Fall mit diesem Rechner

Der Rechner verwendet vier Einstellungen und gibt drei Ergebnisse aus.

1. Wählen Sie ein Einheitensystem. Das metrische System verwendet Meter und Meter pro Sekunde. Das imperiale System verwendet Fuß und Fuß pro Sekunde.
2. Geben Sie die Anfangshöhe ein, also die Höhe, in der sich das Objekt über dem Boden befindet. Sie darf nicht negativ sein.
3. Geben Sie die Anfangsgeschwindigkeit ein. Verwenden Sie 0 für ein aus dem Ruhezustand fallengelassenes Objekt, eine positive Zahl für ein nach unten geworfenes Objekt oder eine negative Zahl für ein nach oben geworfenes Objekt.
4. Geben Sie die verstrichene Zeit ein, seit das Objekt losgelassen wurde. Sie muss größer als null sein.

Die Ergebnisse sind die Endgeschwindigkeit, die Verschiebung und die Endhöhe (die Anfangshöhe minus der Verschiebung). Die Zeit ist hier eine Eingabe und kein Ergebnis: Der Rechner berechnet keine Rückwärtslösung aus einer Zielgeschwindigkeit oder -strecke.

Wenn die eingegebene Zeit lang genug ist, dass das Objekt bereits auf dem Boden aufgeschlagen wäre, gibt der Rechner dies an, statt eine negative Endhöhe auszugeben.

Beispiel: Die Standardeinstellung

Ein Objekt wird aus dem Ruhezustand aus einer Höhe von 100 Metern fallen gelassen. Wo befindet es sich nach 3 Sekunden?

Geschwindigkeit nach 3 Sekunden:

$v = 0 + 9.80665 \times 3 = 29.41995 \approx 29.42 \text{ m/s}$

Verschiebung in diesen 3 Sekunden:

$d = \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 3^2 = 44.129925 \approx 44.13 \text{ m}$

Endhöhe:

$100 - 44.129925 = 55.870075 \approx 55.87 \text{ m}$

Das Objekt fällt also mit etwa 29,42 m/s, ist etwa 44,13 m tief gefallen und befindet sich noch etwa 55,87 m über dem Boden.

Beispiel: Zeit und Geschwindigkeit aus einer bekannten Höhe

Ein Schraubenschlüssel wird von einem 20 Meter hohen Gerüst fallen gelassen. Wie lange dauert es bis zum Aufprall, und wie schnell bewegt er sich dabei?

Mit $d = \frac{1}{2}gt^2$, wobei $d = 20$ m und $g = 9.81$ m/s² gilt:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.81}} \approx 2.02 \text{ Sekunden}$

$v = gt = 9.81 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ m/s (etwa 71 km/h)}$

Beispiel: Höhe aus der Aufprallgeschwindigkeit

Ein Objekt schlägt mit 25 m/s auf dem Boden auf, nachdem es aus dem Ruhezustand fallen gelassen wurde. Aus welcher Höhe ist es gefallen?

Mit $v^2 = 2gd$:

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.81} = \frac{625}{19.62} \approx 31.9 \text{ Meter}$

Das entspricht ungefähr der Höhe eines zehnstöckigen Gebäudes.

Wie sich die Schwerkraft verändert

Die Normfallbeschleunigung von 9,80665 m/s² ist ein durchschnittlicher Referenzwert. Die tatsächliche Schwerkraft variiert leicht über die Erdoberfläche. Am Äquator ist sie schwächer (etwa 9,78 m/s²) als an den Polen (etwa 9,83 m/s²), weil sich die Erde am Äquator nach außen wölbt und dort am schnellsten rotiert. Auch mit zunehmender Höhe nimmt die Schwerkraft leicht ab: In 10.000 Metern Höhe sinkt sie auf etwa 9,78 m/s².

Auf anderen Himmelskörpern herrscht eine sehr unterschiedliche Schwerkraft, daher liefern dieselben Formeln sehr unterschiedliche Ergebnisse:

Die Schwerkraft des Mondes beträgt etwa ein Sechstel der Erdschwerkraft. Daher legt ein dort fallengelassenes Objekt in derselben Zeit etwa ein Sechstel der Strecke zurück.

Freier Fall und Luftwiderstand

Diese Formeln setzen ein Vakuum ohne Luftwiderstand voraus. Der reale Luftwiderstand wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit und wirkt sich daher bei höheren Geschwindigkeiten stärker aus. Auf ein dichtes, kompaktes Objekt wie einen Schraubenschlüssel oder einen Stein, das über eine kurze Strecke fällt, hat er nur geringe Auswirkungen. Bei leichten oder großflächigen Objekten wie einer Feder, einem Blatt Papier oder einem Fallschirm ist seine Wirkung groß.

Wenn der Luftwiderstand groß genug wird, um der Anziehungskraft der Schwerkraft zu entsprechen, beschleunigt das Objekt nicht weiter und fällt mit konstanter Geschwindigkeit. Diese wird als Endgeschwindigkeit bezeichnet. Ein Fallschirmspringer in Bauchlage erreicht typischerweise eine Endgeschwindigkeit von etwa 53 Metern pro Sekunde, also etwa 190 km/h oder 120 mph, bevor er einen Fallschirm öffnet.

Häufig gestellte Fragen

Was ist freier Fall in der Physik?

Freier Fall ist die Bewegung eines Objekts, auf das ausschließlich die Schwerkraft wirkt, wobei der Luftwiderstand vernachlässigt wird. Alle fallenden Objekte in der Nähe der Erdoberfläche beschleunigen unabhängig von ihrer Masse mit derselben Rate abwärts, etwa 9,81 m/s².

Warum fallen alle Objekte mit derselben Rate?

Die Schwerkraft zieht stärker an einem schwereren Objekt, doch ein schwereres Objekt widersetzt sich auch stärker einer Bewegungsänderung, da es mehr Trägheit besitzt. Diese beiden Effekte heben sich genau auf. Daher beeinflusst die Masse die Beschleunigungsrate im freien Fall nicht.

Wie lautet die Formel für die Geschwindigkeit im freien Fall?

$v = v_0 + gt$, wobei $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit, $g$ die Erdbeschleunigung und $t$ die Zeit bezeichnet. Für ein aus dem Ruhezustand fallengelassenes Objekt lautet sie einfach $v = gt$.

Wie lautet die Formel für die Strecke im freien Fall?

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$. Für ein aus dem Ruhezustand fallengelassenes Objekt vereinfacht sie sich zu $d = \frac{1}{2}gt^2$.

Warum ist die Verschiebung manchmal negativ?

In diesem Rechner zählt die Abwärtsrichtung als positiv. Eine negative Verschiebung bedeutet, dass sich das Objekt über dem Abwurfpunkt befindet. Das geschieht, wenn es nach oben geworfen wurde und noch nicht zurückgefallen ist. Wirft man einen Ball mit 10 m/s nach oben und überprüft ihn nach 1 Sekunde, gilt: $d = -10 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 1^2 = -5.10$ m. Der Ball befindet sich also 5,10 m über seiner Ausgangshöhe.

Wie lange braucht ein Objekt, um eine bestimmte Höhe zu fallen?

Löst man die Streckenformel nach der Zeit auf, erhält man für ein aus dem Ruhezustand fallengelassenes Objekt $t = \sqrt{2d/g}$. Ein Fall aus 20 Meter Höhe dauert etwa 2,02 Sekunden.

Warum verwendet dieser Rechner 9,80665 m/s² statt 9,8?

9,80665 m/s² ist der international definierte exakte Wert der Normfallbeschleunigung, der im Jahr 1901 angenommen wurde. Die Rundung auf 9,8 oder 9,81 ist in Lehrbüchern üblich und für die meisten Zwecke ausreichend genau. Der Rechner verwendet den definierten Wert, damit metrische und imperiale Ergebnisse denselben physikalischen Fall beschreiben. Das gilt für das gerundete Paar 9,8 m/s² und 32,2 Fuß/s² nicht.

Berücksichtigt dieser Rechner den Luftwiderstand?

Nein. Er setzt einen idealisierten freien Fall im Vakuum voraus. Für dichte, kompakte Objekte, die über moderate Strecken fallen, liefert dies genaue Ergebnisse. Bei leichten oder großflächigen Objekten sowie bei sehr langen Fallstrecken, auf denen der Luftwiderstand erheblich wird, überschätzt der Rechner jedoch Geschwindigkeit und Strecke.