Freier Fall Rechner - Geschwindigkeit, Distanz & Zeit Rechner

Rechner für freien Fall: Geschwindigkeit, Strecke und Zeit

Ein Freifallrechner ermittelt Geschwindigkeit, Fallstrecke und Endhöhe eines Objekts, das unter dem Einfluss der Schwerkraft fallen gelassen oder geworfen wird, ohne dass andere Kräfte wirken. Geben Sie eine Anfangshöhe, eine Anfangsgeschwindigkeit und eine Zeit ein, und er liefert die Endgeschwindigkeit des Objekts, die Strecke, die es gefallen ist, und seinen verbleibenden Abstand zum Boden.

Was ist freier Fall?

Freier Fall ist eine Bewegung, die ausschließlich durch die Schwerkraft verursacht wird. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt. In der Nähe der Erdoberfläche beschleunigt jedes fallende Objekt unabhängig von seiner Masse mit derselben Rate. Eine Münze und ein Hammer, die gleichzeitig fallen gelassen werden, treffen im selben Augenblick auf dem Boden auf, sofern der Luftwiderstand klein genug ist, um ihn zu vernachlässigen.

Galileo Galilei gelangte vor Jahrhunderten zu dieser Erkenntnis und widerlegte damit die ältere Vorstellung, schwerere Objekte fielen schneller. Im Jahr 1971 ließ der Apollo-15-Astronaut David Scott auf dem Mond einen Hammer und eine Feder fallen, wo keine Luft die Feder bremst. Beide landeten gleichzeitig, vor laufender Kamera.

Die Rate dieser Beschleunigung heißt Normfallbeschleunigung und wird mit g bezeichnet. Ihr festgelegter Wert beträgt genau 9,80665 Meter pro Sekunde zum Quadrat (m/s²). Die Generalkonferenz für Maß und Gewicht (CGPM) legte 980,665 cm/s² im Jahr 1901 fest. In imperialen Einheiten sind das 32,17405 Fuß pro Sekunde zum Quadrat (ft/s²), weil ein ft/s² genau 0,3048 m/s² entspricht. Der Rechner verwendet diese exakten Werte. Lehrbücher runden oft auf 9,81 m/s².

Formel für den freien Fall

Drei Gleichungen decken jede Aufgabe zum freien Fall ab. Nach unten wird als positive Richtung gerechnet.

Geschwindigkeitsformel

$v = v_0 + gt$

• $v$ = Endgeschwindigkeit
• $v_0$ = Anfangsgeschwindigkeit (0 beim Fallenlassen aus dem Ruhezustand; negativ beim Wurf nach oben)
• $g$ = Normfallbeschleunigung, 9,80665 m/s² (oder 32,17405 ft/s²)
• $t$ = verstrichene Zeit in Sekunden

Streckenformel

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

Für ein Objekt, das aus der Ruhe fallen gelassen wird ($v_0 = 0$), vereinfacht sich dies zu $d = \frac{1}{2}gt^2$.

Geschwindigkeits-Strecken-Formel

Wenn die Zeit unbekannt ist, verknüpft diese Gleichung Geschwindigkeit und Strecke direkt:

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

Für ein aus dem Ruhezustand fallengelassenes Objekt vereinfacht sie sich zu $v = \sqrt{2gd}$. Mit dieser Formel lässt sich die Aufprallgeschwindigkeit aus einer bekannten Fallhöhe oder die Fallhöhe aus einer bekannten Aufprallgeschwindigkeit bestimmen.

So berechnen Sie den freien Fall mit diesem Rechner

Der Rechner nimmt drei Eingaben entgegen und berechnet drei Ergebnisse.

1. Wählen Sie ein Einheitensystem. Das metrische System verwendet Meter und Meter pro Sekunde. Das imperiale System verwendet Fuß und Fuß pro Sekunde.
2. Geben Sie die Anfangshöhe ein, also die Höhe, in der sich das Objekt über dem Boden befindet. Sie darf nicht negativ sein.
3. Geben Sie die Anfangsgeschwindigkeit ein. Verwenden Sie 0 für ein aus dem Ruhezustand fallengelassenes Objekt, eine positive Zahl für ein nach unten geworfenes Objekt oder eine negative Zahl für ein nach oben geworfenes Objekt.
4. Geben Sie die verstrichene Zeit ein, seit das Objekt losgelassen wurde. Sie muss größer als null sein.

Der Rechner liefert dann die Endgeschwindigkeit, die zurückgelegte Strecke und die Endhöhe (die Anfangshöhe minus die Fallstrecke). Ist die eingegebene Zeit so lang, dass das Objekt bereits auf dem Boden aufgeschlagen wäre, meldet der Rechner dies, statt eine negative Höhe auszugeben.

Beispiel: Zeit und Geschwindigkeit aus einer bekannten Höhe

Ein Schraubenschlüssel wird von einem 20 Meter hohen Gerüst fallen gelassen. Wie lange dauert es bis zum Aufprall, und wie schnell bewegt er sich dabei?

Mit $d = \frac{1}{2}gt^2$ bei $d = 20$ m und $g = 9.80665$ m/s²:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.80665}} \approx 2.02 \text{ Sekunden}$

$v = gt = 9.80665 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ m/s (etwa 71 km/h)}$

Beispiel: Höhe aus der Aufprallgeschwindigkeit

Ein Objekt schlägt mit 25 m/s auf dem Boden auf, nachdem es aus dem Ruhezustand fallen gelassen wurde. Aus welcher Höhe ist es gefallen?

Mit $v^2 = 2gd$:

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.80665} = \frac{625}{19.6133} \approx 31.9 \text{ Meter}$

Das entspricht ungefähr der Höhe eines zehnstöckigen Gebäudes.

Wie sich die Schwerkraft verändert

Die Normfallbeschleunigung 9,80665 m/s² ist ein durchschnittlicher Referenzwert. Die tatsächliche Schwerebeschleunigung schwankt auf der Erdoberfläche geringfügig. Am Äquator ist sie schwächer (etwa 9,78 m/s²) als an den Polen (etwa 9,83 m/s²), weil sich die Erde am Äquator nach außen wölbt und sich dort am schnellsten dreht. Die Schwerkraft nimmt außerdem mit der Höhe leicht ab.

Andere Himmelskörper haben eine ganz andere Schwerkraft, sodass dieselben Formeln sehr unterschiedliche Ergebnisse liefern. Die NASA nennt diese Werte der Schwerebeschleunigung am Äquator (für Jupiter auf der 1-bar-Ebene seiner Atmosphäre):

Auf dem Mond gewinnt ein fallen gelassenes Objekt etwa sechsmal langsamer an Geschwindigkeit als auf der Erde. Derselbe Fall dauert etwa 2,5-mal so lange, da die Zeit mit $\sqrt{1/g}$ wächst.

Freier Fall und Luftwiderstand

Diese Formeln setzen ein Vakuum ohne Luftwiderstand voraus. Der reale Luftwiderstand wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit und wirkt sich daher bei höheren Geschwindigkeiten stärker aus. Auf ein dichtes, kompaktes Objekt wie einen Schraubenschlüssel oder einen Stein, das über eine kurze Strecke fällt, hat er nur geringe Auswirkungen. Bei leichten oder großflächigen Objekten wie einer Feder, einem Blatt Papier oder einem Fallschirm ist seine Wirkung groß.

Wenn der Luftwiderstand so groß wird, dass er der Anziehungskraft der Schwerkraft entspricht, beschleunigt das Objekt nicht weiter und fällt mit konstanter Geschwindigkeit, der sogenannten Grenzgeschwindigkeit. Ein Fallschirmspringer erreicht die Grenzgeschwindigkeit lange, bevor er den Fallschirm öffnet.

Häufig gestellte Fragen

Was ist freier Fall in der Physik?

Freier Fall ist die Bewegung eines Objekts, auf das ausschließlich die Schwerkraft wirkt, wobei der Luftwiderstand vernachlässigt wird. Alle fallenden Objekte in der Nähe der Erdoberfläche beschleunigen unabhängig von ihrer Masse mit derselben Rate abwärts, etwa 9,81 m/s².

Warum fallen alle Objekte mit derselben Rate?

Die Schwerkraft zieht stärker an einem schwereren Objekt, doch ein schwereres Objekt widersetzt sich auch stärker einer Bewegungsänderung, da es mehr Trägheit besitzt. Diese beiden Effekte heben sich genau auf. Daher beeinflusst die Masse die Beschleunigungsrate im freien Fall nicht.

Wie lautet die Formel für die Geschwindigkeit im freien Fall?

$v = v_0 + gt$, wobei $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit, $g$ die Erdbeschleunigung und $t$ die Zeit bezeichnet. Für ein aus dem Ruhezustand fallengelassenes Objekt lautet sie einfach $v = gt$.

Wie lautet die Formel für die Strecke im freien Fall?

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$. Für ein aus dem Ruhezustand fallengelassenes Objekt vereinfacht sie sich zu $d = \frac{1}{2}gt^2$.

Wie lange braucht ein Objekt, um eine bestimmte Höhe zu fallen?

Löst man die Streckenformel nach der Zeit auf, erhält man für ein aus dem Ruhezustand fallengelassenes Objekt $t = \sqrt{2d/g}$. Ein Fall aus 20 Meter Höhe dauert etwa 2,02 Sekunden.

Warum verwendet dieser Rechner 9,80665 m/s² statt 9,8?

9,80665 m/s² ist der exakte, international festgelegte Wert der Normfallbeschleunigung. Das Runden auf 9,8 oder 9,81 ist in Lehrbüchern üblich und für die meisten Zwecke genau genug, doch der Rechner verwendet den exakten festgelegten Wert, sowohl in metrischen als auch in imperialen Einheiten, sodass die Ergebnisse unabhängig vom gewählten Einheitensystem genau übereinstimmen.

Berücksichtigt dieser Rechner den Luftwiderstand?

Nein. Er setzt einen idealisierten freien Fall im Vakuum voraus. Für dichte, kompakte Objekte, die über moderate Strecken fallen, liefert dies genaue Ergebnisse. Bei leichten oder großflächigen Objekten sowie bei sehr langen Fallstrecken, auf denen der Luftwiderstand erheblich wird, überschätzt der Rechner jedoch Geschwindigkeit und Strecke.

Referenzen

1. National Institute of Standards and Technology. The International System of Units (SI), NIST SP 330 (2019). NIST SP 330 — Beschluss der 3. CGPM (1901): Die Normfallbeschleunigung beträgt 980,665 cm/s².
2. National Institute of Standards and Technology. NIST Guide to the SI, Appendix B.8: Factors for units listed alphabetically. NIST SP 811 Appendix B.8 — Normfallbeschleunigung 9,806 65 m/s²; 1 ft/s² = 0,3048 m/s².
3. NASA Space Science Data Coordinated Archive. The Apollo 15 Hammer-Feather Drop. Hammer-Feder-Versuch von Apollo 15 — David Scott ließ auf dem Mond einen Hammer und eine Feder fallen; sie fielen gleich schnell.
4. NASA Space Science Data Coordinated Archive. Earth Fact Sheet. Datenblatt zur Erde — Beschleunigung an der Oberfläche 9,780 m/s² am Äquator und 9,832 m/s² an den Polen.
5. NASA Space Science Data Coordinated Archive. Planetary Fact Sheet - Metric. Datenblatt zu den Planeten — Schwerebeschleunigung am Äquator: Mond 1,6, Mars 3,7, Venus 8,9, Jupiter 23,1 m/s² (1-bar-Ebene).