Effusionsratenrechner | Kostenloses Graham'sches Gesetz-Tool

Was ist ein Effusionsraten-Rechner?

Ein Effusionsraten-Rechner ermittelt, wie schnell ein Gas im Vergleich zu einem anderen durch ein winziges Loch entweicht. Er verwendet das Grahamsche Effusionsgesetz, das die Entweichgeschwindigkeit eines Gases mit seiner molaren Masse und seiner Temperatur verknüpft. Effusion liegt vor, wenn Gasmoleküle einzeln durch eine so kleine Öffnung treten, dass sie beim Durchtritt nicht miteinander zusammenstoßen.

Formel des Grahamschen Effusionsgesetzes

Das Grahamsche Gesetz vergleicht die Effusionsraten zweier Gase, Gas 1 und Gas 2:

$\frac{\text{Rate}_1}{\text{Rate}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Rate₁ und Rate₂ sind die Effusionsraten von Gas 1 und Gas 2.
• M₁ und M₂ sind die molaren Massen von Gas 1 und Gas 2 in Gramm pro Mol (g/mol).
• T₁ und T₂ sind die absoluten Temperaturen von Gas 1 und Gas 2 in Kelvin (K).

Ein Ergebnis über 1 bedeutet, dass Gas 1 schneller effundiert als Gas 2. Ein Ergebnis unter 1 bedeutet, dass Gas 2 schneller ist. Ein Ergebnis von genau 1 bedeutet, dass beide Gase gleich schnell effundieren.

Die Effusionsrate hängt davon ab, wie oft Moleküle auf die Öffnung treffen, und das hängt von ihrer Dichte und Geschwindigkeit ab. Die kinetische Gastheorie gibt die Zahl der Moleküle, die pro Sekunde auf eine Flächeneinheit der Wand treffen, als ein Viertel des Produkts aus Teilchendichte und mittlerer Molekülgeschwindigkeit an, und die mittlere Geschwindigkeit beträgt √(8RT/πM). Der Temperaturterm in dieser Formel verändert nur die Geschwindigkeit. Er setzt daher voraus, dass beide Gase dieselbe Zahl an Molekülen pro Volumeneinheit haben. Zwei Gase bei gleichem Druck, aber unterschiedlicher Temperatur erfüllen diese Annahme nicht, weil das heißere Gas weniger dicht ist.

Warum die Formel funktioniert

Die Formel folgt aus der kinetischen Gastheorie. Alle Gase gleicher Temperatur haben dieselbe mittlere kinetische Energie, ½mv² = (3/2)kT, wobei m die Masse eines Moleküls, v seine mittlere Geschwindigkeit, k die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur ist. Auflösen nach der Geschwindigkeit ergibt v = √(3kT/m). Ein leichteres Molekül muss sich schneller bewegen als ein schwereres, um dieselbe kinetische Energie zu haben. Da die Effusionsrate mit der Molekülgeschwindigkeit steigt und die molare Masse proportional zur Molekülmasse ist, ergibt die Division der Geschwindigkeit von Gas 1 durch die von Gas 2 die obige Formel.

Zwei einfachere Fälle

• Gleiche Temperatur. Ist T₁ gleich T₂, kürzen sich die Temperaturterme, und die Formel lautet Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁). Nur die molaren Massen spielen eine Rolle. Das ist das Grahamsche Gesetz in seiner üblichen Form, für zwei Gase bei gleicher Temperatur und gleichem Druck.
• Gleiche molare Masse. Ist M₁ gleich M₂, lautet die Formel Rate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂). Nur die Temperaturen spielen eine Rolle.

So verwenden Sie den Effusionsraten-Rechner

1. Geben Sie die molare Masse und die Temperatur von Gas 1 ein.
2. Geben Sie die molare Masse und die Temperatur von Gas 2 ein.
3. Lesen Sie die relative Effusionsrate ab. Sie zeigt, um das Wievielfache Gas 1 schneller effundiert als Gas 2.

Molare Masse und Temperatur müssen positive Zahlen sein. Die Temperatur muss in Kelvin eingegeben werden, nicht in Celsius oder Fahrenheit, weil die Formel von der absoluten Temperatur abhängt.

Molare Massen häufiger Gase

Beispiele

Beispiel 1: Helium gegenüber Methan, gleiche Temperatur

Helium (He) hat eine molare Masse von 4,00 g/mol. Methan (CH₄) hat eine molare Masse von 16,04 g/mol. Beide haben 298 K.

$\frac{\text{Rate}_{He}}{\text{Rate}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

Helium effundiert etwa 2,00-mal schneller als Methan.

Beispiel 2: Wasserstoff gegenüber Sauerstoff, unterschiedliche Temperaturen

Wasserstoff (H₂) hat eine molare Masse von 2,02 g/mol und eine Temperatur von 400 K. Sauerstoff (O₂) hat eine molare Masse von 32,00 g/mol und eine Temperatur von 300 K.

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{Rate}_{H_2}}{\text{Rate}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

Wasserstoff bei 400 K effundiert etwa 4,60-mal schneller als Sauerstoff bei 300 K. Wenn man jede Quadratwurzel vor dem Multiplizieren auf zwei Dezimalstellen rundet, wie es manche Rechenbeispiele im Internet tun, erhält man 3,98 × 1,15 = 4,58, was etwas danebenliegt. Behält man bis zum letzten Schritt mehr Dezimalstellen bei, vermeidet man diesen Fehler.

Anwendungen des Grahamschen Gesetzes

• Isotopentrennung. Das Manhattan-Projekt nutzte die Gasdiffusion von Uranhexafluorid, um Uran-235 von Uran-238 zu trennen. Die beiden Isotope bilden Uranhexafluoridgas mit leicht unterschiedlichen molaren Massen, sodass sie mit leicht unterschiedlichen Raten effundieren.
• Lecksuche. Helium ist ein gängiges Prüfgas zum Auffinden von Lecks in Vakuumsystemen und Druckbehältern, weil es dank seiner geringen molaren Masse schnell durch kleine Lecks effundiert.
• Gastrennung mit Membranen. Industrielle Membranen, die Gasgemische reinigen oder trennen, beruhen teilweise auf den unterschiedlichen Effusionsraten der einzelnen Gase.

Historie

Der schottische Chemiker Thomas Graham maß, wie schnell verschiedene Gase durch kleine Öffnungen entweichen. Er stellte fest, dass die Effusionsrate umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der molaren Masse des Gases ist. Seine Ergebnisse stützten später die kinetische Gastheorie, die James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann weiterentwickelten.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Effusion und Diffusion? Effusion ist das Entweichen von Gasmolekülen durch ein kleines Loch in ein Vakuum oder einen Bereich niedrigeren Drucks, wobei das Loch kleiner ist als die mittlere Strecke, die ein Molekül zwischen zwei Zusammenstößen zurücklegt. Diffusion ist die Ausbreitung von Gasmolekülen in einem anderen Gas oder Medium, angetrieben durch Konzentrationsunterschiede, und sie schließt Zusammenstöße der Moleküle untereinander ein.

Warum muss die Temperatur in Kelvin angegeben werden? Die kinetische Energie von Gasmolekülen ist proportional zur absoluten Temperatur. Die Celsius- und die Fahrenheit-Skala beginnen nicht am absoluten Nullpunkt, daher würde ihre Verwendung ein falsches Verhältnis ergeben.

Beeinflusst der Druck die relative Effusionsrate? Haben beide Gase dieselbe Temperatur und denselben Druck, kürzt sich der Druck aus dem Verhältnis heraus. Wenn sich die Temperaturen unterscheiden, setzt der Temperaturterm des Rechners voraus, dass beide Gase dieselbe Moleküldichte haben, nicht denselben Druck.

Kann man mit dem Grahamschen Gesetz die molare Masse eines unbekannten Gases bestimmen? Ja. Wird die Effusionsrate eines unbekannten Gases im Vergleich zu einem Gas bekannter molarer Masse gemessen, lässt sich die Formel umstellen:

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{Rate}_{known}}{\text{Rate}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

Gilt das Grahamsche Gesetz für Flüssigkeiten? Nein. Es gilt nur für Gase. Die Moleküle einer Flüssigkeit liegen viel dichter beieinander und wechselwirken weit stärker, daher beschreibt dieselbe Formel nicht, wie Flüssigkeiten durch kleine Öffnungen strömen.

Um wie viel schneller effundiert ein Gas, wenn sich seine Temperatur verdoppelt? Die Effusionsrate ist proportional zur Quadratwurzel der absoluten Temperatur. Eine Verdopplung der Temperatur multipliziert die Rate mit √2, also etwa 1,41, sofern molare Masse und Moleküldichte gleich bleiben.

Referenzen

1. OpenStax. Chemistry 2e, Abschnitt 9.4. Effusion und Diffusion von Gasen — Grahamsches Gesetz, Rate ∝ 1/√ℳ für Gase bei gleicher Temperatur und gleichem Druck; Gasdiffusion von UF₆ im Manhattan-Projekt.
2. Eames, E. V. (City College of San Francisco), über LibreTexts. General Chemistry Supplement: Diffusion and Effusion. Diffusion und Effusion — Die Effusionsrate hängt davon ab, wie oft Teilchen auf die Öffnung treffen, und das hängt von ihrer Dichte und Geschwindigkeit ab.
3. National Institute of Standards and Technology. NIST Chemistry WebBook: Helium. Helium — Molekulargewicht 4,002602.
4. National Institute of Standards and Technology. NIST Chemistry WebBook: Methane. Methan — Molekulargewicht 16,0425.
5. LibreTexts. Physical Chemistry, Abschnitt 27.4. Die Stoßhäufigkeit mit einer Wand — Wandstoßfluss z_w = ¼ (N/V)⟨v⟩ mit ⟨v⟩ = (8RT/πM)^½; Grundlage der Annahme gleicher Teilchendichte hinter dem Temperaturterm.