Effusionsratenrechner | Kostenloses Graham'sches Gesetz-Tool

Was ist ein Rechner für die Effusionsgeschwindigkeit?

Ein Rechner für die Effusionsgeschwindigkeit ermittelt, wie schnell ein Gas im Vergleich zu einem anderen Gas durch eine winzige Öffnung entweicht. Dazu verwendet er das Graham’sche Gesetz der Effusion, das die Austrittsgeschwindigkeit eines Gases mit seiner molaren Masse und seiner Temperatur verknüpft. Effusion tritt auf, wenn Gasmoleküle einzeln durch eine so kleine Öffnung gelangen, dass sie auf dem Weg hindurch nicht miteinander zusammenstoßen.

Formel für das Graham’sche Gesetz der Effusion

Das Graham’sche Gesetz vergleicht die Effusionsgeschwindigkeiten zweier Gase, Gas 1 und Gas 2:

$\frac{\text{Rate}_1}{\text{Rate}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Rate₁ und Rate₂ sind die Effusionsgeschwindigkeiten von Gas 1 und Gas 2.
• M₁ und M₂ sind die molaren Massen von Gas 1 und Gas 2 in Gramm pro Mol (g/mol).
• T₁ und T₂ sind die absoluten Temperaturen von Gas 1 und Gas 2 in Kelvin (K).

Ein Ergebnis über 1 bedeutet, dass Gas 1 schneller effundiert als Gas 2. Ein Ergebnis unter 1 bedeutet, dass Gas 2 schneller ist. Ein Ergebnis von genau 1 bedeutet, dass beide Gase mit derselben Geschwindigkeit effundieren.

Warum die Formel funktioniert

Die Formel beruht auf der kinetischen Gastheorie. Alle Gase haben bei derselben Temperatur dieselbe durchschnittliche kinetische Energie, ½mv² = (3/2)kT, wobei m die Masse eines einzelnen Moleküls, v seine Geschwindigkeit, k die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur ist. Nach dem Auflösen nach der Geschwindigkeit ergibt sich v = √(3kT/m). Ein leichteres Molekül muss sich schneller bewegen als ein schwereres, um dieselbe kinetische Energie zu besitzen. Die Anzahl der Moleküle, die pro Sekunde durch die Öffnung austreten, ist proportional zu dieser Geschwindigkeit und zur Anzahl der Moleküle pro Volumeneinheit. Der Rechner vergleicht zwei Gase mit derselben Anzahl von Molekülen pro Volumeneinheit. Dadurch fällt der Dichtefaktor weg, und es bleibt nur √(T/M). Wird der Wert für Gas 1 durch den Wert für Gas 2 geteilt, ergibt sich die oben stehende Formel.

Zwei einfachere Fälle

• Gleiche Temperatur. Wenn T₁ gleich T₂ ist, kürzen sich die Temperaturterme heraus, und die Formel lautet Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁). Es sind nur die molaren Massen relevant.
• Gleiche molare Masse. Wenn M₁ gleich M₂ ist, lautet die Formel Rate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂). Es sind nur die Temperaturen relevant.

So wird der Rechner für die Effusionsgeschwindigkeit verwendet

1. Die molare Masse und die Temperatur von Gas 1 eingeben.
2. Die molare Masse und die Temperatur von Gas 2 eingeben.
3. Die relative Effusionsgeschwindigkeit ablesen. Sie zeigt, wie viel schneller Gas 1 im Vergleich zu Gas 2 effundiert. Der Rechner zeigt das Ergebnis mit vier Nachkommastellen an.

Sowohl die molare Masse als auch die Temperatur müssen positive Zahlen sein. Die Temperatur muss in Kelvin eingegeben werden, nicht in Celsius oder Fahrenheit, da die Formel von der absoluten Temperatur abhängt.

Häufige molare Massen von Gasen

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Helium im Vergleich zu Methan bei gleicher Temperatur

Helium (He) hat eine molare Masse von 4,00 g/mol. Methan (CH₄) hat eine molare Masse von 16,04 g/mol. Beide Gase haben eine Temperatur von 298 K.

$\frac{\text{Rate}_{He}}{\text{Rate}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

Helium effundiert ungefähr 2,00-mal so schnell wie Methan.

Der Rechner wird mit 4,00 und 16,00 g/mol bei 298 K geöffnet, wobei Methan auf eine ganze Zahl gerundet ist. Diese Werte ergeben genau √4 = 2.0000. Dadurch lässt sich das Verhältnis leicht von Hand überprüfen.

Beispiel 2: Wasserstoff im Vergleich zu Sauerstoff bei unterschiedlichen Temperaturen

Wasserstoff (H₂) hat eine molare Masse von 2,02 g/mol und eine Temperatur von 400 K. Sauerstoff (O₂) hat eine molare Masse von 32,00 g/mol und eine Temperatur von 300 K.

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{Rate}_{H_2}}{\text{Rate}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

Wasserstoff bei 400 K effundiert ungefähr 4,60-mal so schnell wie Sauerstoff bei 300 K. Werden wie in manchen Online-Rechenbeispielen die einzelnen Quadratwurzeln vor der Multiplikation auf zwei Dezimalstellen gerundet, ergibt sich 3,98 × 1,15 = 4,58, was leicht abweicht. Wenn bis zum letzten Schritt mehr Dezimalstellen beibehalten werden, lässt sich dieser Fehler vermeiden.

Anwendungen des Graham’schen Gesetzes

• Isotopentrennung. Das Manhattan-Projekt nutzte die Gasdiffusion, um Uran-235 von Uran-238 zu trennen. Die beiden Isotope bilden Uranhexafluoridgas mit leicht unterschiedlichen molaren Massen und effundieren daher mit geringfügig unterschiedlichen Geschwindigkeiten.
• Leckerkennung. Helium ist ein verbreitetes Prüfgas zum Auffinden von Lecks in Vakuumsystemen und Druckbehältern, weil seine geringe molare Masse dazu führt, dass es schnell durch kleine Lecks effundiert.
• Gaschromatografie. Moleküle unterschiedlicher Masse bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten durch eine Chromatografiesäule. Dies hilft dabei, Verbindungen in einem Gasgemisch zu trennen und zu identifizieren.
• Membrantrennung von Gasen. Industrielle Membranen zur Reinigung oder Trennung von Gasgemischen nutzen teilweise die unterschiedlichen Effusionsgeschwindigkeiten der enthaltenen Gase.

Geschichte

Der schottische Chemiker Thomas Graham beschrieb diesen Zusammenhang erstmals 1846. Er maß, wie schnell verschiedene Gase durch kleine Öffnungen entwichen, und stellte fest, dass die Geschwindigkeit umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Gasdichte war. Seine Ergebnisse trugen später zur Bestätigung der kinetischen Gastheorie bei, die in den 1860er- und 1870er-Jahren von James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann weiterentwickelt wurde.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Effusion und Diffusion?
Effusion bezeichnet das Entweichen von Gasmolekülen durch eine kleine Öffnung in ein Vakuum oder einen Bereich mit niedrigerem Druck. Dabei ist die Öffnung kleiner als die durchschnittliche Strecke, die ein Molekül zwischen zwei Zusammenstößen zurücklegt. Diffusion bezeichnet die Ausbreitung von Gasmolekülen durch ein anderes Gas oder Medium, die durch Konzentrationsunterschiede verursacht wird. Dabei stoßen die Moleküle miteinander zusammen.

Warum muss die Temperatur in Kelvin angegeben werden?
Die kinetische Energie von Gasmolekülen ist proportional zur absoluten Temperatur. Die Celsius- und die Fahrenheit-Skala beginnen nicht beim absoluten Nullpunkt. Ihre Verwendung würde daher zu einem falschen Verhältnis führen.

Welche Annahme trifft der Rechner über die beiden Gase?
Er nimmt an, dass beide Gase dieselbe Anzahl von Molekülen pro Volumeneinheit haben. Unter dieser Annahme hängt das Verhältnis nur von der molaren Masse und der absoluten Temperatur ab. Bei gleichen Temperaturen ist der Temperaturterm 1, und das Ergebnis ist das reine Graham’sche Verhältnis √(M₂/M₁), unabhängig vom Druck. Bei unterschiedlichen Temperaturen ist die Annahme relevant: Werden zwei Gase stattdessen bei demselben Druck und nicht bei derselben Konzentration gehalten, gilt Rate₁/Rate₂ = √(M₂T₂ / M₁T₁), weil ein heißeres Gas bei konstantem Druck weniger Moleküle pro Liter enthält.

Kann das Graham’sche Gesetz die molare Masse eines unbekannten Gases bestimmen?
Ja. Wenn die Effusionsgeschwindigkeit eines unbekannten Gases im Vergleich zu einem Gas mit bekannter molarer Masse gemessen wird, kann die Formel umgestellt werden:

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{Rate}_{known}}{\text{Rate}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

Gilt das Graham’sche Gesetz für Flüssigkeiten?
Nein. Es gilt nur für Gase. Flüssigkeitsmoleküle liegen wesentlich dichter beieinander und wechselwirken deutlich stärker miteinander. Daher beschreibt dieselbe Formel nicht, wie sich Flüssigkeiten durch kleine Öffnungen bewegen.

Wie viel schneller effundiert ein Gas, wenn sich seine Temperatur verdoppelt?
Die Effusionsgeschwindigkeit ist proportional zur Quadratwurzel der absoluten Temperatur. Eine Verdopplung der Temperatur multipliziert die Geschwindigkeit mit √2, also ungefähr mit 1,41, sofern die molare Masse gleich bleibt.