Arrhenius-Gleichungsrechner - Reaktionsraten schnell vorhersagen

Was ist die Arrhenius-Gleichung?

Die Arrhenius-Gleichung beschreibt, wie sich die Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion mit der Temperatur verändert. Der schwedische Wissenschaftler Svante Arrhenius stellte sie im Jahr 1889 auf. Chemiker verwenden sie, um vorherzusagen, wie viel schneller eine Reaktion bei Erwärmung abläuft oder wie viel langsamer sie bei Abkühlung wird.

Formel der Arrhenius-Gleichung

$k = A \times e^{-E_a/RT}$

Dabei gilt:

• $k$ ist die Geschwindigkeitskonstante, eine Zahl, die angibt, wie schnell die Reaktion abläuft.
• $A$ ist der präexponentielle Faktor, auch Frequenzfaktor genannt. Er gibt an, wie häufig Moleküle auf eine Weise zusammenstoßen, die eine Reaktion ermöglichen könnte.
• $E_a$ ist die Aktivierungsenergie, die Mindestenergie, die Moleküle für eine Reaktion benötigen, meist angegeben in Kilojoule pro Mol (kJ/mol).
• $R$ ist die molare Gaskonstante, 8,31446261815324 J/(mol·K). Seit der 2019 erfolgten Überarbeitung des SI ist dieser Wert exakt, da er das Produkt zweier definierter Konstanten ist.
• $T$ ist die absolute Temperatur in Kelvin.

Chemiker verwenden häufig eine logarithmische Form der Gleichung, um aus Labordaten die Aktivierungsenergie zu bestimmen:

$\ln(k) = \ln(A) - \frac{E_a}{R} \times \frac{1}{T}$

Trägt man ln(k) gegen 1/T auf, erhält man eine gerade Linie. Die Steigung dieser Linie entspricht $-E_a/R$. Dies wird als Arrhenius-Diagramm bezeichnet.

So wird die Geschwindigkeitskonstante einer Reaktion berechnet

1. Bestimmen Sie die Aktivierungsenergie in kJ/mol anhand einer Referenztabelle oder aus Labormessungen bei mehreren Temperaturen.
2. Rechnen Sie die Temperatur in Kelvin um. Addieren Sie 273,15 zu einem Celsiuswert.
3. Bestimmen Sie den präexponentiellen Faktor. Er wird häufig in wissenschaftlicher Schreibweise angegeben, etwa als 1,0 × 10¹³ s⁻¹.
4. Rechnen Sie die Aktivierungsenergie in Joule pro Mol um, indem Sie sie mit 1000 multiplizieren, damit die Einheiten mit der Gaskonstanten R übereinstimmen.
5. Teilen Sie die Aktivierungsenergie in J/mol durch R mal T.
6. Potenzieren Sie e mit dem Negativen dieses Ergebnisses und multiplizieren Sie anschließend mit A.

Dieser Rechner führt die Schritte 4 bis 6 automatisch aus. Geben Sie die Aktivierungsenergie, die Temperatur und den präexponentiellen Faktor ein; der Rechner gibt die Geschwindigkeitskonstante k zurück.

Alle drei Eingaben müssen größer als null sein, daher zeigt der Rechner bei einem Wert von null oder einem negativen Wert kein Ergebnis an. Das Ergebnis wird in wissenschaftlicher Schreibweise mit fünf signifikanten Stellen angezeigt. Bei den Ausgangswerten 50 kJ/mol, 298 K und 1,0 × 10¹³ s⁻¹ lautet das Ergebnis 1,7217 × 10⁴ s⁻¹.

Durchgerechnetes Beispiel

Betrachten wir eine Reaktion mit einer Aktivierungsenergie von 75 kJ/mol, die bei 350 K mit einem präexponentiellen Faktor von 5,0 × 10¹² s⁻¹ abläuft.

Zunächst wird die Aktivierungsenergie in Joule pro Mol umgerechnet: 75 kJ/mol entspricht 75.000 J/mol.

$k = 5.0 \times 10^{12} \times e^{-75{,}000/(8.31446261815324 \times 350)}$

R mal T beträgt 2910,06 J/mol, daher ergibt sich für den Exponenten -25,7726.

$k = 5.0 \times 10^{12} \times e^{-25.7726}$

$k = 5.0 \times 10^{12} \times 6.4133 \times 10^{-12}$

$k \approx 32.07 \text{ s}^{-1}$

Die Geschwindigkeitskonstante beträgt bei 350 K etwa 32,07 s⁻¹. Der Rechner zeigt sie als 3,2066 × 10¹ an.

Wird der Exponent zu früh gerundet, verändert sich das Ergebnis. Die Exponentialfunktion steigt sehr steil an, sodass bereits die Verkürzung von -25,7726 auf -25,77 k um etwa 0,3 % verschiebt.

Warum die Temperatur die Reaktionsgeschwindigkeit verändert

Moleküle müssen mit ausreichender Energie zusammenstoßen, damit sie reagieren. Bei jeder gegebenen Temperatur besitzt nur ein Teil der Moleküle diese Energiemenge. Der Exponentialterm $e^{-E_a/RT}$ in der Gleichung steht für diesen Anteil.

Eine höhere Temperatur verleiht mehr Molekülen genügend Energie für eine Reaktion, sodass der Anteil wächst und die Reaktion schneller abläuft. Da der Zusammenhang exponentiell und nicht linear ist, kann bereits ein geringer Temperaturanstieg die Geschwindigkeit merklich erhöhen, insbesondere bei Reaktionen mit hoher Aktivierungsenergie. Derselbe Effekt erklärt, warum das Kühlen von Lebensmitteln, etwa im Kühlschrank, die Reaktionen verlangsamt, die zum Verderb führen.

Wo die Arrhenius-Gleichung verwendet wird

• Chemische Verfahrenstechnik. Ingenieure verwenden sie, um Betriebstemperaturen für industrielle Reaktoren festzulegen.
• Pharmazeutische Industrie. Arzneimittelhersteller lagern Proben kurze Zeit bei hohen Temperaturen, messen, wie schnell sie zerfallen, und verwenden die Gleichung anschließend, um die Haltbarkeit bei normaler Lagertemperatur abzuschätzen.
• Lebensmittelwissenschaft. Sie erklärt, warum warme Lebensmittel schneller verderben als gekühlte, und hilft bei der Festlegung von Dauer und Temperatur der Pasteurisierung.
• Materialwissenschaft. Sie hilft vorherzusagen, wie schnell Kunststoffe, Beschichtungen und elektronische Bauteile bei ihrer Betriebstemperatur altern.
• Geowissenschaften. Bodenwissenschaftler verwenden sie, um zu modellieren, wie die Erwärmung die Geschwindigkeit verändert, mit der Mikroorganismen Kohlendioxid aus dem Boden freisetzen.

Geschichte

Svante Arrhenius (1859–1927) stellte die Gleichung im Jahr 1889 auf, als er untersuchte, wie die Reaktionsgeschwindigkeit von der Temperatur abhängt. Er erhielt den 1903 Nobelpreis für Chemie, hauptsächlich für seine Theorie der elektrolytischen Dissoziation. In den 1930er-Jahren entwickelten Henry Eyring und Michael Polanyi die Theorie des Übergangszustands, die dem Exponentialterm in Arrhenius' Gleichung eine solidere theoretische Grundlage gab.

Grenzen der Arrhenius-Gleichung

Die Gleichung beschreibt viele einfache Reaktionen über einen moderaten Temperaturbereich gut, aber nicht jeden Fall:

• Enzymkatalysierte Reaktionen werden bei hohen Temperaturen langsamer, weil das Enzym denaturiert. Daher steigt die Geschwindigkeit nicht weiter so an, wie es die Gleichung vorhersagt.
• Reaktionen, deren Geschwindigkeit dadurch begrenzt ist, wie schnell Moleküle aufeinander zudiffundieren, zeigen eine schwächere Temperaturabhängigkeit als von der Gleichung vorhergesagt.
• Reaktionen mit leichten Atomen, insbesondere Wasserstoff, können bei niedrigen Temperaturen aufgrund des quantenmechanischen Tunneleffekts schneller ablaufen als vorhergesagt.

Ein Diagramm von ln(k) gegen 1/T, das gekrümmt ist, statt eine gerade Linie zu bilden, weist darauf hin, dass die Reaktion in diesem Temperaturbereich nicht der Arrhenius-Gleichung folgt.

Häufig gestellte Fragen

Welche Einheiten verwendet die Arrhenius-Gleichung?

Die Aktivierungsenergie wird in kJ/mol eingegeben und im Rechner in J/mol umgerechnet, die Temperatur wird in Kelvin angegeben, und die molare Gaskonstante R beträgt 8,31446261815324 J/(mol·K). Der präexponentielle Faktor A und die Geschwindigkeitskonstante k haben stets dieselben Einheiten. Der Rechner gibt das Ergebnis in s⁻¹ an, was für eine Reaktion erster Ordnung korrekt ist. Bei einer anderen Reaktionsordnung hat k die Einheiten, in denen A angegeben wurde.

Warum muss die Temperatur in Kelvin und nicht in Celsius angegeben werden?

Die Gleichung beruht auf der Boltzmann-Verteilung, die Energie relativ zum absoluten Nullpunkt misst. Die Kelvin-Skala beginnt beim absoluten Nullpunkt und liefert daher ein sinnvolles Verhältnis zwischen Energie und Temperatur. Die Verwendung von Celsius würde zu falschen Ergebnissen führen.

Was bedeutet der präexponentielle Faktor?

Er stellt die theoretische maximale Geschwindigkeitskonstante dar, also den Wert, den k erreichen würde, wenn jeder Molekülstoß genügend Energie für eine Reaktion besäße. Er berücksichtigt, wie häufig Moleküle zusammenstoßen und ob sie dabei richtig zueinander ausgerichtet sind.

Wie wird die Aktivierungsenergie aus experimentellen Daten bestimmt?

Dazu wird die Geschwindigkeitskonstante bei mehreren Temperaturen gemessen, ln(k) gegen 1/T aufgetragen und die Steigung der entstehenden Geraden abgelesen. Die Aktivierungsenergie entspricht der Steigung multipliziert mit −R.

Ist die Geschwindigkeitskonstante dasselbe wie die Reaktionsgeschwindigkeit?

Nein. Die Geschwindigkeitskonstante k hängt nur von der Temperatur und der Reaktion selbst ab. Die Reaktionsgeschwindigkeit hängt außerdem von den Konzentrationen der Reaktanden ab. Bei einer Reaktion erster Ordnung entspricht die Geschwindigkeit k multipliziert mit der Konzentration des Reaktanden. Bei zwei Reaktionen gleicher Ordnung und gleichen Konzentrationen ist diejenige mit dem größeren k die schnellere.

Kann die Arrhenius-Gleichung die Geschwindigkeit bei jeder Temperatur vorhersagen?

Nur innerhalb des Bereichs, in dem der Reaktionsmechanismus gleich bleibt. Eine Extrapolation weit über die Temperaturen hinaus, bei denen Ea und A gemessen wurden, kann zu ungenauen Ergebnissen führen, da sich der Mechanismus oder der geschwindigkeitsbestimmende Reaktionsschritt ändern kann.