Gitterenergie-Rechner | Kostenloses Born-Landé Gleichungstool

Was ist Gitterenergie?

Gitterenergie ist die Energie, die frei wird, wenn sich getrennte Ionen in der Gasphase zu einem Mol einer festen ionischen Verbindung zusammenlagern. Ein Gitterenergie-Rechner verwendet die Born-Landé-Gleichung, um diesen Wert aus den Ionenladungen, den Ionengrößen und einem einstellbaren Parameter, dem Born-Exponenten, zu schätzen.

Der von der Gitterenergie beschriebene Prozess ist:

$M^{n+}(g) + X^{n-}(g) \rightarrow MX(s)$

Hier ist $M^{n+}$ ein Metallkation (ein positiv geladenes Ion) und $X^{n-}$ ein Nichtmetallanion (ein negativ geladenes Ion). Die Gitterenergie ist immer negativ, weil Energie aus dem System abgegeben wird, wenn sich die Ionen zu einem Kristallgitter verbinden. Chemiker nennen einen Prozess, bei dem Energie frei wird, „exotherm“.

Drei Dinge bestimmen die Größe der Gitterenergie:

1. Ionenladung. Ionen mit größeren Ladungen ziehen sich stärker an.
2. Ionengröße. Kleinere Ionen können näher zusammenkommen, wodurch die Anziehung stärker wird.
3. Kristallstruktur. Das geometrische Muster, das die Ionen bilden, verändert die Anzahl der Nachbarn jedes Ions. Dies wird durch eine Zahl erfasst, die Madelung-Konstante genannt wird.

Formel der Gitterenergie (Born-Landé-Gleichung)

Die im Jahr 1918 von den Physikern Max Born und Alfred Landé veröffentlichte Born-Landé-Gleichung lautet:

$U = -\frac{N_0 A |z_1 z_2| e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} \left(1-\frac{1}{n}\right)$

Dabei gilt:

• $U$ = Gitterenergie in Kilojoule pro Mol (kJ/mol)
• $N_0$ = Avogadro-Konstante, 6,022 × 10²³ pro Mol
• $A$ = Madelung-Konstante (dieser Rechner verwendet 1,7476, den Wert für die Steinsalzstruktur, den NaCl, MgO und viele andere einfache Salze gemeinsam haben)
• $z_1$, $z_2$ = die Ladungen des Kations und des Anions
• $e$ = die Ladung eines Elektrons, 1,602 × 10⁻¹⁹ Coulomb
• $\varepsilon_0$ = Permittivität des Vakuums, 8,854 × 10⁻¹² F/m
• $r_0$ = interionischer Abstand, also der Abstand zwischen den Zentren der beiden Ionen
• $n$ = Born-Exponent, eine Zahl, die angibt, wie stark sich die Ionen gegen ein Zusammendrücken wehren (gewöhnlich zwischen 5 und 12 und immer größer als 1)

Der erste Teil der Gleichung berechnet die Anziehung zwischen zwei entgegengesetzten Ladungen. Der Term $(1 - 1/n)$ zieht die Abstoßung ab, die einsetzt, sobald sich die Elektronenwolken der Ionen zu überlappen beginnen. Dieser Term ist nur für $n$ größer als 1 sinnvoll. Bei $n = 1$ ist er null, und unterhalb von 1 wird er negativ, weshalb der Rechner diese Werte ablehnt.

Interionischer Abstand

Der Abstand zwischen den Ionenzentren, $r_0$, ist einfach die Summe der beiden Ionenradien:

$r_0 = r_{cation} + r_{anion}$

Ionenradien werden gewöhnlich in Pikometern (pm) angegeben, wobei ein Pikometer ein Billionstel eines Meters ist.

So wird die Gitterenergie berechnet

1. Kationladung als positive ganze Zahl eingeben (1 für Na⁺, 2 für Mg²⁺).
2. Anionladung als negative ganze Zahl eingeben (-1 für Cl⁻, -2 für O²⁻).
3. Den Kationenradius in Pikometern eingeben.
4. Den Anionenradius in Pikometern eingeben.
5. Einen Born-Exponenten eingeben. Ein Wert von 9 funktioniert für viele Verbindungen. Der Exponent muss größer als 1 sein.
6. Den interionischen Abstand und die Gitterenergie im Ergebnisbereich ablesen.

Beispiel: Gitterenergie von Natriumchlorid (NaCl)

Natriumchlorid, das gewöhnliche Kochsalz, ist ein nützliches erstes Beispiel, weil seine Ionen jeweils eine einfache Ladung tragen.

• Kationladung: +1 (Na⁺)
• Anionladung: -1 (Cl⁻)
• Kationenradius: 102 pm
• Anionenradius: 181 pm
• Born-Exponent: 9

Schritt 1: Den interionischen Abstand bestimmen.

$r_0 = 102\text{ pm} + 181\text{ pm} = 283\text{ pm}$

Schritt 2: Die Born-Landé-Gleichung anwenden.

$U = -\frac{(6.022\times10^{23})(1.7476)(1)(1.602\times10^{-19})^2}{4\pi(8.854\times10^{-12})(2.83\times10^{-10})}\left(1-\frac{1}{9}\right)$

$U \approx -762\text{ kJ/mol}$

Dieser Wert liegt nahe bei dem in Lehrbüchern gewöhnlich angegebenen Wert von etwa -787 kJ/mol, ist aber nicht mit ihm identisch. Letzterer stammt aus experimentellen thermodynamischen Daten, die mithilfe eines Born-Haber-Kreisprozesses ermittelt wurden, und nicht aus dieser Gleichung. Die Abweichung besteht, weil die Born-Landé-Gleichung Ionen als vollkommen starre Kugeln behandelt und für den gesamten Kristall einen einzigen Abstoßungsexponenten verwendet. Sie ist daher eine Näherung und keine exakte Abbildung der Realität.

Beispiel: Gitterenergie von Magnesiumoxid (MgO)

Magnesiumoxid enthält doppelt geladene Ionen und eignet sich daher gut zum Vergleich.

• Kationladung: +2 (Mg²⁺), Radius 72 pm
• Anionladung: -2 (O²⁻), Radius 140 pm
• Born-Exponent: 9
• Interionischer Abstand: 72 pm + 140 pm = 212 pm

Werden diese Zahlen in dieselbe Gleichung eingesetzt, ergibt sich eine Gitterenergie von etwa -4071 kJ/mol, die mehr als fünfmal negativer ist als die von NaCl. Der experimentell gemessene Wert beträgt etwa -3795 kJ/mol. Die Verdopplung beider Ionenladungen vervierfacht die elektrostatische Anziehung ungefähr, da die Gleichung $z_1$ mit $z_2$ multipliziert. Der kürzere interionische Abstand in MgO verstärkt die Anziehung zusätzlich.

Häufige Ionenradien und Born-Exponenten

Ausgewählte Kationenradien

Ausgewählte Anionenradien

Typische Born-Exponenten

Dies sind Ausgangswerte. Veröffentlichte Quellen geben manchmal geringfügig andere Zahlen an.

Faktoren, die die Gitterenergie beeinflussen

Die Gitterenergie steht mit mehreren Eigenschaften in Zusammenhang, die Chemiker direkt messen können.

• Schmelzpunkt. Eine stärkere Ionenanziehung bedeutet gewöhnlich einen höheren Schmelzpunkt. Die Ionen von Magnesiumoxid tragen die doppelte Ladung der Ionen von Natriumchlorid und liegen näher beieinander, wodurch MgO eine deutlich negativere Gitterenergie aufweist. Dies ist ein Grund dafür, dass MgO bei etwa 2852 °C schmilzt, während NaCl bei etwa 801 °C schmilzt.
• Härte. Kristalle mit höherer Gitterenergie widerstehen Kratzern und Verformung in der Regel besser.
• Löslichkeit. Verbindungen mit sehr hoher Gitterenergie lösen sich oft schwerer in Wasser, weil das Aufbrechen des Kristallgitters mehr Energie erfordert, als die Wassermoleküle durch die Umhüllung der Ionen bereitstellen können.

Die Gitterenergie ist außerdem ein Term im Born-Haber-Kreisprozess, einer Bilanzierungsmethode, mit der Chemiker Energieänderungen bei der Bildung einer ionischen Verbindung aus ihren Elementen bestimmen.

Grenzen der Born-Landé-Gleichung und dieses Rechners

Dieser Rechner verwendet immer die Madelung-Konstante der Steinsalzstruktur (1,7476). Dieser Wert ist für Verbindungen korrekt, die wie NaCl und MgO kristallisieren, aber nicht für Verbindungen mit anderen Strukturen, etwa Cäsiumchlorid oder Calciumfluorid, die andere Madelung-Konstanten besitzen. Die Born-Landé-Gleichung nimmt außerdem an, dass die Ionen vollkommene Kugeln sind, und lässt Effekte wie den kovalenten Bindungscharakter außer Acht. Ihre Ergebnisse sind daher gute Näherungen, aber keine exakten experimentellen Werte.

Häufig gestellte Fragen

Was ist Gitterenergie in einfachen Worten? Sie ist die Energie, die frei wird, wenn geladene Teilchen, die Ionen genannt werden, zusammenkommen und sich zu einem festen Kristallgitter verbinden. Eine negativere Zahl bedeutet, dass die Ionen stärker zusammengehalten werden.

Warum ist die Gitterenergie immer negativ? Weil bei der Bildung des Feststoffs Energie freigesetzt und nicht aufgenommen wird. Manche Lehrbücher definieren „Gitterenthalpie“ stattdessen als die positive Energie, die zum Aufbrechen des Kristallgitters benötigt wird. Beide Größen beschreiben dieselbe Bindungsstärke, nur mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Welchen Born-Exponenten sollte ich verwenden? Neun ist ein häufig verwendeter Standardwert, der für viele ionische Verbindungen hinreichend gut funktioniert. Für eine bestimmte Verbindung gibt ein chemisches Nachschlagewerk oder eine kristallografische Datenbank einen genaueren Wert an, der auf den Elektronenkonfigurationen ihrer Ionen beruht.

Warum stimmt der Rechner nicht genau mit der Zahl in meinem Lehrbuch überein? Lehrbuchwerte stammen häufig aus Experimenten (einem Born-Haber-Kreisprozess), während dieser Rechner die theoretische Born-Landé-Gleichung verwendet. Die beiden Methoden stimmen gewöhnlich innerhalb weniger Prozent überein, aber nur selten exakt.

Bedeutet ein größeres Ion immer eine niedrigere Gitterenergie? Gewöhnlich ja. Größere Ionen vergrößern den interionischen Abstand $r_0$, der im Nenner der Gleichung steht. Daher wird die Gitterenergie bei größeren Ionen weniger negativ, wenn alle anderen Bedingungen gleich bleiben.

Kann dieser Rechner jede ionische Verbindung behandeln? Er funktioniert am besten für einfache Verbindungen mit der Steinsalzstruktur, etwa NaCl, MgO und CaO. Für Verbindungen mit anderen Kristallstrukturen oder einem ausgeprägten kovalenten Bindungscharakter ist er weniger zuverlässig.

Referenzen

1. Atkins, P. W., & De Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (10. Aufl.). Oxford University Press.
2. Housecroft, C. E., & Sharpe, A. G. (2018). Inorganic Chemistry (5. Aufl.). Pearson.
3. Born, M., & Landé, A. (1918). Über die Berechnung der Kompressibilität regulärer Kristalle aus der Gittertheorie. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 20, 210-216.
4. Shannon, R. D. (1976). Überarbeitete effektive Ionenradien und systematische Untersuchungen interatomarer Abstände in Halogeniden und Chalkogeniden. Acta Crystallographica Section A, 32(5), 751-767.