Gitterenergie-Rechner | Kostenloses Born-Landé Gleichungstool

Was ist Gitterenergie?

Gitterenergie ist die Energie, die frei wird, wenn sich getrennte Ionen in der Gasphase zu einem Mol einer festen ionischen Verbindung zusammenlagern. Ein Gitterenergie-Rechner verwendet die Born-Landé-Gleichung, um diesen Wert aus den Ionenladungen, den Ionengrößen und einem einstellbaren Parameter, dem Born-Exponenten, zu schätzen.

Der von der Gitterenergie beschriebene Prozess ist:

$M^{n+}(g) + X^{n-}(g) \rightarrow MX(s)$

Hier ist $M^{n+}$ ein Metallkation (ein positiv geladenes Ion) und $X^{n-}$ ein Nichtmetallanion (ein negativ geladenes Ion). Die Gitterenergie ist immer negativ, weil Energie aus dem System abgegeben wird, wenn sich die Ionen zu einem Kristallgitter verbinden. Chemiker nennen einen Prozess, bei dem Energie frei wird, „exotherm“.

Drei Dinge bestimmen die Größe der Gitterenergie:

1. Ionenladung. Ionen mit größeren Ladungen ziehen sich stärker an.
2. Ionengröße. Kleinere Ionen können näher zusammenkommen, wodurch die Anziehung stärker wird.
3. Kristallstruktur. Das geometrische Muster, das die Ionen bilden, verändert die Anzahl der Nachbarn jedes Ions. Dies wird durch eine Zahl erfasst, die Madelung-Konstante genannt wird.

Formel der Gitterenergie (Born-Landé-Gleichung)

Die Born-Landé-Gleichung, die von den Physikern Max Born und Alfred Landé im Jahr 1918 veröffentlicht wurde, lautet:

$U = -\frac{N_0 A |z_1 z_2| e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_0} \left(1-\frac{1}{n}\right)$

Dabei gilt:

• $U$ = Gitterenergie in Kilojoule pro Mol (kJ/mol)
• $N_0$ = Avogadro-Konstante, 6,022 × 10²³ pro Mol (dieser Wert sowie $e$ und $\varepsilon_0$ sind gerundete CODATA-Werte)
• $A$ = Madelung-Konstante (dieser Rechner verwendet 1,7476, den Steinsalz-Wert von 1,74756, den NaCl, MgO und viele andere einfache Salze gemeinsam haben)
• $z_1$, $z_2$ = die Ladungen des Kations und des Anions
• $e$ = die Ladung eines Elektrons, 1,602 × 10⁻¹⁹ Coulomb
• $\varepsilon_0$ = Permittivität des Vakuums, 8,854 × 10⁻¹² F/m
• $r_0$ = interionischer Abstand, also der Abstand zwischen den Zentren der beiden Ionen
• $n$ = der Born-Exponent, eine Zahl, die angibt, wie stark sich die Ionen dagegen wehren, zusammengedrückt zu werden (typischerweise zwischen 5 und 12)

Der erste Teil der Gleichung berechnet die Anziehung zwischen zwei entgegengesetzten Ladungen. Der Term $(1 - 1/n)$ zieht die Abstoßung ab, die auftritt, sobald sich die Elektronenwolken der Ionen zu überlappen beginnen.

Interionischer Abstand

Der Abstand zwischen den Ionenzentren, $r_0$, ist einfach die Summe der beiden Ionenradien:

$r_0 = r_{cation} + r_{anion}$

Ionenradien werden gewöhnlich in Pikometern (pm) angegeben, wobei ein Pikometer ein Billionstel eines Meters ist.

So wird die Gitterenergie berechnet

1. Geben Sie die Kationladung als positive ganze Zahl ein (1 für Na⁺, 2 für Mg²⁺).
2. Geben Sie die Anionladung als negative ganze Zahl ein (-1 für Cl⁻, -2 für O²⁻).
3. Geben Sie den Kationenradius in Pikometern ein.
4. Geben Sie den Anionenradius in Pikometern ein.
5. Geben Sie einen Born-Exponenten ein. Ein Wert von 9 passt für viele Verbindungen; der Exponent darf nicht genau 1 sein.
6. Lesen Sie den interionischen Abstand und die Gitterenergie im Ergebnisbereich ab.

Beispiel: Gitterenergie von Natriumchlorid (NaCl)

Natriumchlorid, das gewöhnliche Kochsalz, ist ein nützliches erstes Beispiel, weil seine Ionen jeweils eine einfache Ladung tragen.

• Kationladung: +1 (Na⁺)
• Anionladung: -1 (Cl⁻)
• Kationenradius: 102 pm (sechsfach koordiniertes Na⁺, Shannon-Radien)
• Anionenradius: 181 pm (sechsfach koordiniertes Cl⁻)
• Born-Exponent: 9

Schritt 1: Den interionischen Abstand bestimmen.

$r_0 = 102\text{ pm} + 181\text{ pm} = 283\text{ pm}$

Schritt 2: Die Born-Landé-Gleichung anwenden.

$U = -\frac{(6.022\times10^{23})(1.7476)(1)(1.602\times10^{-19})^2}{4\pi(8.854\times10^{-12})(2.83\times10^{-10})}\left(1-\frac{1}{9}\right)$

$U \approx -762\text{ kJ/mol}$

Das liegt nahe an dem Wert aus dem thermochemischen Kreisprozess von 786 kJ/mol (−786 kJ/mol in dieser Vorzeichenkonvention), ist aber nicht dasselbe. Dieser Wert stammt aus experimentellen thermodynamischen Daten über einen Born-Haber-Kreisprozess und nicht aus dieser Gleichung. Die Abweichung besteht, weil die Born-Landé-Gleichung Ionen als vollkommen starre Kugeln behandelt und einen einzigen Abstoßungsexponenten für den ganzen Kristall verwendet. Sie ist deshalb eine Näherung und keine exakte Übereinstimmung mit der Wirklichkeit.

Beispiel: Gitterenergie von Magnesiumoxid (MgO)

Magnesiumoxid enthält doppelt geladene Ionen und eignet sich daher gut zum Vergleich.

• Kationladung: +2 (Mg²⁺), Radius 72 pm
• Anionladung: -2 (O²⁻), Radius 140 pm
• Born-Exponent: 9
• Interionischer Abstand: 72 pm + 140 pm = 212 pm

Setzt man diese Zahlen in dieselbe Gleichung ein, ergibt sich eine Gitterenergie von etwa -4071 kJ/mol, die mehr als fünfmal stärker negativ ist als die von NaCl. Der Wert aus dem thermochemischen Kreisprozess beträgt 3791 kJ/mol, in dieser Vorzeichenkonvention −3791 kJ/mol. Eine Verdopplung beider Ionenladungen vervierfacht die elektrostatische Anziehung ungefähr, da die Gleichung $z_1$ mit $z_2$ multipliziert, und der kürzere interionische Abstand in MgO verstärkt die Anziehung zusätzlich.

Häufige Ionenradien und Born-Exponenten

Ausgewählte Kationenradien

Ausgewählte Anionenradien

Dies sind Shannon-Ionenradien für die Koordinationszahl sechs, die in der Steinsalzstruktur vorliegt. Born-Exponenten liegen typischerweise zwischen 5 und 12; der Standardwert des Rechners ist 9.

Faktoren, die die Gitterenergie beeinflussen

Die Gitterenergie steht mit mehreren Eigenschaften in Zusammenhang, die Chemiker direkt messen können.

• Schmelzpunkt. Eine stärkere Ionenanziehung bedeutet meist einen höheren Schmelzpunkt. Die Ionen von Magnesiumoxid tragen die doppelte Ladung der Ionen von Natriumchlorid und liegen näher beieinander, wodurch MgO eine weit stärker negative Gitterenergie hat. Das ist ein Grund dafür, dass MgO bei etwa 2825 °C schmilzt, NaCl dagegen bei etwa 801 °C.
• Härte. Kristalle mit höherer Gitterenergie widerstehen Kratzern und Verformung in der Regel besser.
• Löslichkeit. Verbindungen mit sehr hoher Gitterenergie lösen sich oft schwerer in Wasser, weil das Aufbrechen des Kristallgitters mehr Energie erfordert, als die Wassermoleküle durch die Umhüllung der Ionen bereitstellen können.

Die Gitterenergie ist außerdem ein Term im Born-Haber-Kreisprozess, einer Bilanzierungsmethode, mit der Chemiker Energieänderungen bei der Bildung einer ionischen Verbindung aus ihren Elementen bestimmen.

Grenzen der Born-Landé-Gleichung und dieses Rechners

Dieser Rechner verwendet stets die Madelung-Konstante der Steinsalzstruktur (1,7476). Dieser Wert gilt für Verbindungen, die wie NaCl und MgO kristallisieren, ist aber für Verbindungen mit anderen Strukturen nicht korrekt, etwa Caesiumchlorid (1,76267) oder Calciumfluorid (2,51939), die andere Madelung-Konstanten haben. Die Born-Landé-Gleichung nimmt außerdem an, dass die Ionen vollkommene Kugeln sind, und ignoriert Effekte wie kovalenten Bindungscharakter. Ihre Ergebnisse sind daher gute Schätzwerte und keine exakten experimentellen Werte.

Häufig gestellte Fragen

Was ist Gitterenergie in einfachen Worten? Sie ist die Energie, die frei wird, wenn geladene Teilchen, die Ionen genannt werden, zusammenkommen und sich zu einem festen Kristallgitter verbinden. Eine negativere Zahl bedeutet, dass die Ionen stärker zusammengehalten werden.

Warum ist die Gitterenergie immer negativ? Weil bei der Bildung des Feststoffs Energie freigesetzt und nicht aufgenommen wird. Manche Lehrbücher definieren „Gitterenthalpie“ stattdessen als die positive Energie, die zum Aufbrechen des Kristallgitters benötigt wird. Beide Größen beschreiben dieselbe Bindungsstärke, nur mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Welchen Born-Exponenten sollte ich verwenden? Neun ist ein häufig verwendeter Standardwert, der für viele ionische Verbindungen hinreichend gut funktioniert. Für eine bestimmte Verbindung gibt ein chemisches Nachschlagewerk oder eine kristallografische Datenbank einen genaueren Wert an, der auf den Elektronenkonfigurationen ihrer Ionen beruht.

Warum stimmt der Rechner nicht genau mit der Zahl in meinem Lehrbuch überein? Lehrbuchwerte stammen oft aus Experimenten (einem Born-Haber-Kreisprozess), während dieser Rechner die theoretische Born-Landé-Gleichung verwendet. In den obigen Beispielen beträgt die Abweichung etwa 3 Prozent bei NaCl und etwa 7 Prozent bei MgO.

Bedeutet ein größeres Ion immer eine niedrigere Gitterenergie? Gewöhnlich ja. Größere Ionen vergrößern den interionischen Abstand $r_0$, der im Nenner der Gleichung steht. Daher wird die Gitterenergie bei größeren Ionen weniger negativ, wenn alle anderen Bedingungen gleich bleiben.

Kann dieser Rechner jede ionische Verbindung behandeln? Er funktioniert am besten für einfache Verbindungen mit der Steinsalzstruktur, etwa NaCl, MgO und CaO. Für Verbindungen mit anderen Kristallstrukturen oder einem ausgeprägten kovalenten Bindungscharakter ist er weniger zuverlässig.

Referenzen

1. LibreTexts Chemistry. The Born-Landé equation. LibreTexts: Die Born-Landé-Gleichung – von Born und Landé 1918 formuliert; Born-Exponent typischerweise 5 bis 12.
2. National Institute of Standards and Technology. CODATA Fundamental Physical Constants (ASCII table). NIST: CODATA-Konstanten – Avogadro-Konstante 6,022 140 76 × 10²³ mol⁻¹; Elementarladung 1,602 176 634 × 10⁻¹⁹ C; elektrische Feldkonstante des Vakuums 8,854 187 8188 × 10⁻¹² F/m.
3. LibreTexts Chemistry (Housecroft map). Madelung Constants. LibreTexts: Madelung-Konstanten – NaCl (Steinsalz) 1,74756; CsCl 1,76267; CaF₂ 2,51939.
4. Imperial College London, Atomistic Simulation Group. Database of Ionic Radii (Shannon), Na. Shannon-Radien: Na – Ionenradius von Na⁺ bei Koordinationszahl sechs 1,02 Å (102 pm).
5. Imperial College London, Atomistic Simulation Group. Database of Ionic Radii (Shannon), Cl. Shannon-Radien: Cl – Ionenradius von Cl⁻ bei Koordinationszahl sechs 1,81 Å (181 pm).
6. WebElements. Sodium: compound properties. WebElements: Natriumverbindungen – Gitterenergie von NaCl 786 kJ/mol (thermochemischer Kreisprozess).
7. WebElements. Magnesium: compound properties. WebElements: Magnesiumverbindungen – Gitterenergie von MgO 3791 kJ/mol (thermochemischer Kreisprozess).
8. National Library of Medicine. PubChem: Magnesium oxide. PubChem: Magnesiumoxid – Schmelzpunkt 2825 °C.
9. National Library of Medicine. PubChem: Sodium chloride. PubChem: Natriumchlorid – Schmelzpunkt 800,7 °C.