Υπολογιστής: διάστημα εμπιστοσύνης σε τυπική απόκλιση

Αυτός ο υπολογιστής μετατρέπει ένα δηλωμένο διάστημα εμπιστοσύνης πίσω σε τυπικό σφάλμα και τυπική απόκλιση. Χρειάζεται τα δύο όρια του διαστήματος, το μέγεθος του δείγματος και το επίπεδο εμπιστοσύνης. Οι δημοσιεύσεις συχνά αναφέρουν μια μέση τιμή με το διάστημα εμπιστοσύνης της, αλλά παραλείπουν την τυπική απόκλιση, την οποία χρειάζονται οι μετα-αναλύσεις και οι υπολογισμοί στατιστικής ισχύος.

Τι υπολογίζει ο υπολογιστής

Ένα διάστημα εμπιστοσύνης για μια μέση τιμή συνήθως κατασκευάζεται ως εξής:

CI = estimate ± Z × (σ / √n)

Το μέρος μετά το σύμβολο ± είναι το περιθώριο σφάλματος. Ισούται με την κρίσιμη τιμή Z επί το τυπικό σφάλμα. Επειδή το διάστημα είναι συμμετρικό, το μισό του εύρους του είναι το περιθώριο σφάλματος. Αντιστρέφοντας τον τύπο, ανακτάται το τυπικό σφάλμα και στη συνέχεια η τυπική απόκλιση.

Τύπος

width = upper bound − lower bound

SE = width ÷ (2 × Z)

σ = SE × √n

Το SE είναι το τυπικό σφάλμα της μέσης τιμής. Το σ είναι η τυπική απόκλιση. Το Z είναι η αμφίπλευρη κρίσιμη τιμή της τυπικής κανονικής κατανομής για το επίπεδο εμπιστοσύνης.

Κρίσιμες τιμές

Για οποιοδήποτε άλλο επίπεδο, το Z είναι η τιμή που αφήνει τον μισό υπόλοιπο πιθανότητας σε κάθε άκρο. Ο υπολογιστής τον υπολογίζει για όποιο επίπεδο εισαχθεί.

Παράδειγμα

Μια μελέτη αναφέρει μια μέση διαφορά −2.6 με διάστημα εμπιστοσύνης 95% από −5.2 έως −0.01, με βάση 78 συμμετέχοντες.

1. Εύρος = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. Z για επίπεδο εμπιστοσύνης 95% = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

Η τυπική απόκλιση είναι περίπου 11.69.

Πότε αυτή η μέθοδος είναι μόνο προσεγγιστική

Ο τύπος υποθέτει ότι το διάστημα είναι συμμετρικό γύρω από την εκτίμηση και κατασκευάστηκε με βάση την κανονική κατανομή. Δύο περιπτώσεις παραβιάζουν αυτή την υπόθεση.

Τα μικρά δείγματα συχνά χρησιμοποιούν την κατανομή t αντί της κανονικής. Η κρίσιμη τιμή t είναι μεγαλύτερη, οπότε η χρήση του Z υποεκτιμά ελαφρώς την τυπική απόκλιση. Η διαφορά μειώνεται καθώς το δείγμα μεγαλώνει και είναι μικρή πάνω από περίπου 30 παρατηρήσεις.

Τα διαστήματα για λόγους, όπως ο λόγος πιθανοτήτων (odds ratio) ή ο λόγος κινδύνου (hazard ratio), είναι συμμετρικά στη λογαριθμική κλίμακα, όχι στην αρχική κλίμακα. Αυτά τα όρια πρέπει να μετατραπούν με λογαρίθμους πριν εφαρμοστεί αυτός ο τύπος.

Αν η σημειακή εκτίμηση δεν βρίσκεται στο μέσο του διαστήματος, ο υπολογιστής επισημαίνει το διάστημα ως ασύμμετρο και το αποτέλεσμα πρέπει να αντιμετωπίζεται ως εκτίμηση.

Συχνές ερωτήσεις

Ποια είναι η διαφορά μεταξύ τυπικού σφάλματος και τυπικής απόκλισης;

Η τυπική απόκλιση περιγράφει πόσο διασκορπισμένες είναι οι μεμονωμένες τιμές. Το τυπικό σφάλμα περιγράφει πόσο ακριβώς είναι γνωστή η μέση τιμή. Συνδέονται με τη σχέση SE = σ / √n, οπότε το τυπικό σφάλμα μικραίνει καθώς μεγαλώνει το δείγμα, ενώ η τυπική απόκλιση παραμένει η ίδια.

Γιατί διαιρούμε με 2Z αντί με Z;

Το συνολικό εύρος καλύπτει και τις δύο πλευρές της εκτίμησης. Ένα περιθώριο σφάλματος είναι το μισό του εύρους, οπότε το μισό εύρος διαιρείται με το Z, κάτι που ισοδυναμεί με τη διαίρεση του συνολικού εύρους με 2Z.

Μπορεί αυτό να χρησιμοποιηθεί με διάστημα βασισμένο στην κατανομή t;

Ναι, αλλά το Z πρέπει να αντικατασταθεί με την κρίσιμη τιμή t για n − 1 βαθμούς ελευθερίας. Η χρήση του Z σε μικρό δείγμα δίνει ελαφρώς χαμηλή τυπική απόκλιση.

Τι γίνεται αν αναφέρεται μόνο το περιθώριο σφάλματος;

Διπλασιάζεται για να προκύψει το εύρος και στη συνέχεια ακολουθούνται τα ίδια βήματα.

Η σημειακή εκτίμηση αλλάζει την απάντηση;

Όχι. Στον τύπο εισέρχονται μόνο το εύρος, το επίπεδο εμπιστοσύνης και το μέγεθος του δείγματος. Η εκτίμηση χρησιμοποιείται μόνο για να ελεγχθεί αν το διάστημα είναι συμμετρικό.