محاسبهگر برنامه پسانداز: ارزش آتی با واریز
ارزش آتی برنامه پسانداز را بر اساس مبلغ اولیه و واریزهای منظم محاسبه کنید. تناوب واریز و دوره ترکیب سود را به انتخاب خود تعیین کنید.
Savings Plan Calculator
مستندات
محاسبهگر برنامه پسانداز
محاسبهگر برنامه پسانداز برآورد میکند که حساب پسانداز یا سرمایهگذاری پس از تعداد سالهای انتخابشده چقدر ارزش خواهد داشت. این محاسبهگر سپرده اولیه یکباره را با واریز منظم ماهانه، سهماهه یا سالانه ترکیب میکند و هر دو را با بهره مرکب افزایش میدهد.
کارکرد ماشینحساب
این محاسبهگر هفت ورودی دریافت میکند: سپرده اولیه، واریز منظم، دفعات واریزها (ماهانه، سهماهه یا سالانه)، اینکه هر واریز در آغاز یا پایان دوره انجام شود، نرخ بهره سالانه، دفعات ترکیب بهره، و تعداد سالهایی که پول رشد میکند.
خروجی آن سه رقم است: ارزش آتی (موجودی نهایی)، مجموع واریزها (سپرده اولیه بهعلاوه همه واریزهای منظم)، و کل بهره کسبشده (تفاوت میان این دو). نمودار موجودی را در پایان هر دوره واریز نشان میدهد.
سپرده اولیه میتواند از $۰ تا $۱ تریلیون و واریز در هر دوره میتواند از $۰ تا $۱ میلیارد باشد. نرخ بهره میتواند از ۰٪ تا ۱۰۰٪ باشد. تعداد سالها باید بیشتر از ۰ و حداکثر ۱۰۰ باشد. دستکم یکی از سپرده و واریز باید بیشتر از $۰ باشد.
نحوه محاسبه ارزش آتی برنامه پسانداز
دو نتیجه استاندارد با هم ترکیب میشوند که هر دو در مقالههای ویکیپدیا با عنوانهای «ارزش آتی» و «مستمری» توضیح داده شدهاند.
سپرده اولیه تنها با بهره مرکب رشد میکند:
FV(سپرده) = P₀ × (۱ + i)ˣ
جریان سپردههای منظم مانند یک مستمری رشد میکند:
FV(واریزها) = PMT × (۱ + i)ˣ⁻ᴺ × A
- P₀ سپرده اولیه است.
- PMT واریز منظم است.
- i نرخ بهره برای یک دوره واریز است.
- x افق زمانی برحسب دورههای واریز است (سالها × تعداد دورهها در سال).
- N تعداد سپردههایی است که واقعاً انجام شدهاند.
- A ضریب مستمری است؛ یعنی ارزش آتی $۱ که در هر دوره و به مدت N دوره سپردهگذاری میشود.
ضریب مستمری به زمان انجام سپردهها بستگی دارد:
| زمانبندی | نام | A |
|---|---|---|
| پایان دوره | مستمری عادی | ((۱ + i)ᴺ − ۱) / i |
| آغاز دوره | مستمری پیشپرداختی | ((۱ + i)ᴺ − ۱) / i × (۱ + i) |
سپردهای که در آغاز هر دوره انجام شود، یک دوره اضافی بهره دریافت میکند؛ عامل اضافی (۱ + i) از همینجا ناشی میشود. وقتی نرخ ۰٪ باشد، ضریب مستمری برابر N است؛ یعنی سپردهها بدون رشد با هم جمع میشوند.
ارزش آتی برابر مجموع این دو بخش است. کل بهره برابر ارزش آتی منهای تمام مبالغ پرداختشده است.
وقتی دفعات ترکیب بهره و واریزها متفاوت است
ممکن است بهره با دفعاتی بیشتر یا کمتر از دفعات انجام سپردهها ترکیب شود؛ برای مثال، ترکیب ماهانه بهره همراه با واریزهای سهماهه. این محاسبهگر نرخ اسمی سالانه r را که n بار در سال ترکیب میشود، به نرخ مؤثر برای یک دوره واریز تبدیل میکند (رجوع کنید به مقاله ویکیپدیا با عنوان «نرخ بهره مؤثر»):
i = (۱ + r/n)^(n/m) − ۱
که در آن m تعداد واریزها در سال است. با نرخ سالانه ۵٪ که بهصورت ماهانه ترکیب میشود و واریزهای سهماهه، i = (۱ + ۰٫۰۵/۱۲)³ − ۱ ≈ ۱٫۲۵۵۲٪ در هر سهماهه است. وقتی دو بسامد یکسان باشند، i مستقیماً برابر r/n است.
مثال حلشده
یک برنامه با $۱٬۰۰۰ آغاز میشود و به مدت ۱۰ سال، در آغاز هر ماه $۱۰۰ اضافه میکند؛ نرخ سالانه ۵٪ است و بهره بهصورت ماهانه ترکیب میشود. اینها مقادیر پیشفرض محاسبهگر هستند.
- تعداد دورهها در سال m = ۱۲ است؛ بنابراین افق زمانی x = ۱۲۰ دوره و N = ۱۲۰ سپرده است.
- نرخ ماهانه i = ۰٫۰۵ / ۱۲ ≈ ۰٫۰۰۴۱۶۶۷ است.
- ضریب رشد: (۱ + i)¹²⁰ ≈ ۱٫۶۴۷۰۰۹.
- سپرده اولیه: $۱٬۰۰۰ × ۱٫۶۴۷۰۰۹ ≈ $۱٬۶۴۷٫۰۱.
- ضریب مستمری (عادی): (۱٫۶۴۷۰۰۹ − ۱) / ۰٫۰۰۴۱۶۶۷ ≈ ۱۵۵٫۲۸۲۲۷۹. سپردهها در آغاز هر ماه انجام میشوند، پس در (۱ + i) ضرب میشود: ۱۵۵٫۹۲۹۲۸۹.
- واریزها: $۱۰۰ × ۱۵۵٫۹۲۹۲۸۹ ≈ $۱۵٬۵۹۲٫۹۳.
- ارزش آتی: $۱٬۶۴۷٫۰۱ + $۱۵٬۵۹۲٫۹۳ = $۱۷٬۲۳۹٫۹۴.
مجموع واریزها برابر است با $۱٬۰۰۰ + ۱۲۰ × $۱۰۰ = $۱۳٬۰۰۰؛ بنابراین کل بهره برابر است با $۱۷٬۲۳۹٫۹۴ − $۱۳٬۰۰۰ = $۴٬۲۳۹٫۹۴. با همین برنامه، اما با سپردهگذاری در پایان هر ماه، ارزش آتی $۱۷٬۱۷۵٫۲۴ خواهد بود که حدود $۶۵ کمتر است.
نمونه دوم با سپردهگذاری در پایان ماه: سپرده اولیه $۵٬۰۰۰، $۲۰۰ در ماه، نرخ ۶٪ با ترکیب ماهانه، و ۲۰ سال. در اینجا (۱٫۰۰۵)²⁴⁰ ≈ ۳٫۳۱۰۲۰۴، سپرده به $۱۶٬۵۵۱٫۰۲ رشد میکند، ضریب مستمری ۴۶۲٫۰۴۰۸۹۵ است و واریزها به $۹۲٬۴۰۸٫۱۸ میرسند. ارزش آتی $۱۰۸٬۹۵۹٫۲۰ است: $۵۳٬۰۰۰ پرداخت شده و $۵۵٬۹۵۹٫۲۰ بهره به دست آمده است. این نتیجه با محاسبهگر بهره مرکب کمیسیون بورس و اوراق بهادار ایالات متحده در investor.gov مطابقت دارد؛ موتور این ابزار با آن بررسی شده است.
قراردادهای مورد استفادهٔ این محاسبهگر
سپردهها بهطور پیشفرض در آغاز دوره انجام میشوند. بیشتر برنامههای واقعی پسانداز در آغاز هر ماه از حساب برداشت میکنند، بنابراین حالت پیشفرض مستمری پیشپرداختی است. بسیاری از کتابهای درسی و محاسبهگرها در عوض مستمری عادی را فرض میکنند؛ گزینه زمانبندی میان این دو حالت جابهجا میشود.
در سالهای کسری، تعداد سپردهها بر اساس زمانبندی محاسبه میشود. در ۲٫۵ سال سپردهگذاری سالانه، برنامه پایاندوره ۲ سپرده انجام میدهد (فقط سالهای کامل پرداخت دارند)، درحالیکه برنامه آغازدوره ۳ سپرده انجام میدهد (هر سال ثبتشده در آغاز خود پرداخت دارد). هر سپرده انجامشده و مبلغ اولیه همچنان تا افق زمانی دقیق رشد میکند، از جمله در آخرین دوره ناقص.
نتایج اسمی هستند. هیچ مبلغی بابت تورم، مالیات یا کارمزد کسر نمیشود. ارزش آتی مبلغی است که صورتحساب حساب نشان میدهد، نه قدرت خرید آن.
گرد کردن فقط یکبار و در پایان انجام میشود. ارزش آتی و مجموع واریزها هرکدام تا نزدیکترین سنت گرد میشوند و کل بهره برابر تفاوت آنهاست؛ بنابراین سه رقم نمایشدادهشده همیشه دقیقاً با هم سازگارند.
سؤالات رایج
ارزش آتی برنامه پسانداز چیست؟ ارزش آتی، موجودی حساب در پایان برنامه است: سپرده اولیه و همه سپردههای منظم که هرکدام از زمان واریز تا پایان، با بهره مرکب رشد کردهاند.
آیا واریز در آغاز ماه واقعاً اهمیت دارد؟ بله، اندکی. هر سپرده یک دوره اضافی بهره دریافت میکند و در نتیجه بخش مربوط به واریزها در موجودی در (۱ + i) ضرب میشود. در نمونه پیشفرض، تفاوت طی ۱۰ سال برابر $۶۴٫۷۰ است.
چرا دفعات ترکیب بهره نتیجه را تغییر میدهد؟ ترکیب مکررتر بهره، بهره را زودتر به حساب منظور میکند؛ بنابراین بهره زودتر شروع به کسب بهره میکند. محاسبهگر این اثر را در نرخ مؤثر هر دوره، یعنی i = (۱ + r/n)^(n/m) − ۱، منظور میکند؛ بنابراین هر ترکیبی از دفعات ترکیب بهره و واریزها دقیقاً پردازش میشود.
در نرخ بهره ۰٪ چه اتفاقی میافتد؟ ارزش آتی فقط برابر مجموع تمام مبالغ پرداختشده است. برنامه پیشفرض با نرخ ۰٪ دقیقاً با $۱۳٬۰۰۰ پایان مییابد و بهره آن $۰ است.
آیا محاسبهگر تورم یا مالیات را در نظر میگیرد؟ خیر. همه نتایج مبالغ اسمی دلاری هستند. برای برآورد قدرت خرید میتوان بهجای آن نرخ «واقعی» کمتری وارد کرد، اما این ابزار نرخهای منفی را نمیپذیرد.
چرا کل بهره برابر ارزش آتی منهای مجموع واریزهاست؟ بهره شامل هر دلاری در حساب است که پرداخت نشده باشد. چون سپردهها در مجموع واریزها شمرده میشوند، هرچه از ارزش آتی باقی بماند باید از ترکیب بهره به دست آمده باشد.
منابع
- "Future value." ویکیپدیا، https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
- "Annuity." ویکیپدیا، https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
- "Effective interest rate." ویکیپدیا، https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
- "Compound Interest Calculator." کمیسیون بورس و اوراق بهادار ایالات متحده، Investor.gov، https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.