Yhteistekijättömien lukujen laskin

Yhteistekijättömät luvut ovat kaksi tai useampia kokonaislukuja, joiden ainoa yhteinen positiivinen tekijä on 1. Tämä laskin tarkistaa, ovatko syöttämäsi luvut yhteistekijättömiä, laskemalla niiden suurimman yhteisen tekijän (SYT). Jos SYT on 1, luvut ovat yhteistekijättömiä.

Yhteistekijättömistä luvuista käytetään myös nimityksiä suhteelliset alkuluvut tai keskenään jaottomat luvut.

Mitä yhteistekijättömyys tarkoittaa?

Kaksi kokonaislukua on yhteistekijätöntä, kun mikään 1:tä suurempi kokonaisluku ei jaa molempia. Lukujen itsensä ei tarvitse olla alkulukuja. Esimerkiksi 8 ja 15 ovat yhteistekijättömiä: luvun 8 tekijät ovat 1, 2, 4 ja 8, kun taas luvun 15 tekijät ovat 1, 3, 5 ja 15. Ainoa yhteinen tekijä on 1, joten luvut ovat yhteistekijättömiä.

Sen sijaan 12 ja 18 eivät ole yhteistekijättömiä. Molemmat voidaan jakaa luvuilla 2, 3 ja 6, joten niiden suurin yhteinen tekijä on 6.

Miten tarkistaa, ovatko luvut yhteistekijättömiä

1. Laske kaikkien lukujen suurin yhteinen tekijä (SYT). SYT on suurin kokonaisluku, joka jakaa jokaisen luvun jäännöksettä.
2. Vertaa SYT:tä lukuun 1. Jos SYT on 1, luvut ovat yhteistekijättömiä. Jos SYT on suurempi kuin 1, luvut eivät ole yhteistekijättömiä.

Lukujoukon SYT lasketaan soveltamalla eukleidista algoritmia kahteen lukuun kerrallaan: kolmen luvun a, b ja c SYT on GCD(GCD(a, b), c).

Yhteistekijättömyyden kaava

Luvut a₁, a₂, …, aₙ ovat yhteistekijättömiä, kun:

GCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

Esimerkki

Tarkista, ovatko 6, 10 ja 15 yhteistekijättömiä.

• GCD(6, 10) = 2
• GCD(2, 15) = 1

Kaikkien kolmen luvun suurin yhteinen tekijä on 1, joten 6, 10 ja 15 ovat yhteistekijättömiä joukkona.

Huomaa, että nämä kolme lukua eivät ole parittain yhteistekijättömiä. Luvuilla 6 ja 10 on yhteinen tekijä 2, luvuilla 6 ja 15 yhteinen tekijä 3, ja luvuilla 10 ja 15 yhteinen tekijä 5. Joukkona yhteistekijättömyys (kaikkien lukujen yhteinen SYT on 1) on heikompi ehto kuin parittainen yhteistekijättömyys (jokaisen parin SYT on 1). Tämä laskin näyttää molemmat.

Parittainen yhteistekijättömyys vs. joukon yhteistekijättömyys

Lukujoukko on joukkona yhteistekijätön, kun koko joukon SYT on 1. Se on parittain yhteistekijätön, kun jokaisen joukon sisällä olevan parin SYT on 1. Parittain yhteistekijättömät luvut ovat aina yhteistekijättömiä myös joukkona, mutta päinvastainen ei aina pidä paikkaansa, kuten yllä oleva esimerkki osoittaa.

Usein kysytyt kysymykset

Ovatko 1 ja mikä tahansa luku yhteistekijättömiä?

Kyllä. Luvulla 1 ei ole yhteistä 1:tä suurempaa tekijää minkään kokonaisluvun kanssa, joten 1 on yhteistekijätön jokaisen kokonaisluvun kanssa, myös itsensä kanssa.

Täytyykö yhteistekijättömien lukujen olla alkulukuja?

Ei. Yhteistekijättömät luvut voivat olla myös yhdistettyjä lukuja. Sekä 8 että 15 ovat yhdistettyjä lukuja, mutta ne ovat silti yhteistekijättömiä, koska niillä ei ole muuta yhteistä tekijää kuin 1.

Ovatko kaksi eri alkulukua aina yhteistekijättömiä?

Kyllä. Kahdella eri alkuluvulla ei ole muuta yhteistä tekijää kuin 1, joten mitkä tahansa kaksi eri alkulukua ovat yhteistekijättömiä.

Voivatko negatiiviset luvut olla yhteistekijättömiä?

Yhteistekijättömyys määritellään yleensä positiivisille kokonaisluvuille. Tämä laskin hyväksyy positiivisia kokonaislukuja, jotka ovat vähintään 1.

Mitä eroa on SYT:llä ja yhteistekijättömyydellä?

SYT on suurin luku, joka jakaa kaikki syötetyt luvut. ”Yhteistekijätön” on erikoistapaus, jossa tämä SYT on 1.