Calculateur d'intervalle de confiance vers écart type

Ce calculateur convertit un intervalle de confiance rapporté en erreur standard et en écart-type. Il nécessite les deux bornes de l’intervalle, la taille de l’échantillon et le niveau de confiance. Les articles indiquent souvent une moyenne avec son intervalle de confiance, mais omettent l’écart-type, dont la méta-analyse et les calculs de puissance ont besoin.

Fonctionnement du calculateur

Un intervalle de confiance pour une moyenne est normalement construit comme suit :

$CI = m \pm Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

où CI est l’intervalle de confiance, m l’estimation rapportée, Z la valeur critique, σ l’écart-type et n la taille de l’échantillon.

La partie qui suit le signe ± est la marge d’erreur. Elle est égale à la valeur critique Z multipliée par l’erreur standard. Comme l’intervalle est symétrique, la moitié de sa largeur correspond à la marge d’erreur. En inversant la formule, on retrouve l’erreur standard, puis l’écart-type.

Formule

$w = u - l$

$SE = \frac{w}{2 \times Z}$

$\sigma = SE \times \sqrt{n}$

Ici, w est la largeur de l’intervalle, u la borne supérieure et l la borne inférieure. SE est l’erreur standard de la moyenne. σ est l’écart-type. Z est la valeur critique bilatérale de la loi normale standard correspondant au niveau de confiance.

Valeurs critiques

Pour tout autre niveau, Z est la valeur qui laisse la moitié de la probabilité restante dans chacune des queues. Le calculateur la calcule pour le niveau saisi.

Exemple détaillé

Une étude rapporte une différence moyenne de −2,6 avec un intervalle de confiance de 95 % allant de −5,2 à −0,01, sur la base de 78 participants.

1. Largeur = −0,01 − (−5,2) = 5,19
2. Z pour un niveau de confiance de 95 % = 1,96
3. SE = 5,19 ÷ (2 × 1,96) = 1,324
4. σ = 1,324 × √78 = 1,324 × 8,832 = 11,69

L’écart-type est d’environ 11,69.

Quand cette méthode est approximative

La formule suppose que l’intervalle est symétrique autour de l’estimation et qu’il a été construit à partir de la loi normale. Deux situations remettent cette hypothèse en cause.

Les petits échantillons utilisent souvent la loi t plutôt que la loi normale. La valeur critique t est plus grande, de sorte que l’utilisation de Z sous-estime légèrement l’écart-type. L’écart diminue lorsque l’échantillon augmente et devient faible au-delà d’environ 30 observations.

Les intervalles relatifs à des rapports, comme les rapports de cotes ou les rapports de risques instantanés, sont symétriques sur l’échelle logarithmique, et non sur l’échelle d’origine. Ces bornes doivent être converties à l’aide de logarithmes avant d’appliquer cette formule.

Si l’estimation ponctuelle ne se trouve pas au milieu de l’intervalle, le calculateur signale que l’intervalle est asymétrique et le résultat doit être considéré comme une estimation.

Foire aux questions

Quelle est la différence entre l’erreur standard et l’écart-type ?

L’écart-type décrit la dispersion des valeurs individuelles. L’erreur standard décrit la précision avec laquelle la moyenne est connue. Ils sont liés par SE = σ / √n : l’erreur standard diminue donc lorsque l’échantillon augmente, tandis que l’écart-type ne diminue pas.

Pourquoi diviser par 2Z plutôt que par Z ?

La largeur totale couvre les deux côtés de l’estimation. Une marge d’erreur correspond à la moitié de la largeur ; la demi-largeur est donc divisée par Z, ce qui revient à diviser la largeur totale par 2Z.

Cette méthode peut-elle être utilisée avec un intervalle fondé sur la loi t ?

Oui, mais il faut remplacer Z par la valeur critique t correspondant à n − 1 degrés de liberté. Utiliser Z avec un petit échantillon donne un écart-type légèrement sous-estimé.

Que faire si seule la marge d’erreur est rapportée ?

Doublez-la pour obtenir la largeur, puis suivez les mêmes étapes.

L’estimation ponctuelle modifie-t-elle le résultat ?

Non. Seuls la largeur, le niveau de confiance et la taille de l’échantillon interviennent dans la formule. L’estimation sert à vérifier que l’intervalle est symétrique.