લઘુગુણોત્તર સરળીકરણ - तत્કાળ પગલાવાર ઉકેલ

લઘુગણક સરળીકાર

લઘુગણક સરળીકાર એ એવું સાધન છે જે ગુણાકાર નિયમ અથવા ઘાત નિયમ જેવા પ્રમાણભૂત લઘુગણક નિયમો લાગુ કરીને લઘુગણકીય વ્યંજકને નવા સ્વરૂપમાં લખે છે. લઘુગણક સરળીકાર એપ્લિકેશન વ્યંજકને નિશ્ચિત નમૂનાઓના સમૂહ સાથે ચકાસે છે અને સરળીકૃત સ્વરૂપ આપે છે. એક પણ નમૂનો બંધબેસતો ન હોય તો તે વ્યંજકને બદલ્યા વિના પરત કરે છે.

લઘુગણક શું છે?

લઘુગણક એક પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે: આધારને આ સંખ્યામાં ફેરવવા માટે કઈ ઘાત લેવી પડે? જો $b^y = x$ હોય, તો $\log_b(x) = y$. લઘુગણક ઘાતાંકનનું વ્યસ્ત ક્રિયાવિધિ છે. તે ઘાતની ક્રિયા ઉલટાવે છે.

સૌથી વધુ જોવા મળતા ત્રણ પ્રકાર છે:

• log: આધાર 10, સામાન્ય લઘુગણક. log(100) પૂછે છે: "10ને કઈ ઘાત આપવાથી 100 મળે?"
• ln: આધાર $e$ (લગભગ 2.71828), પ્રાકૃતિક લઘુગણક, જે કલનશાસ્ત્રમાં સામાન્ય છે.
• log_a: અંડરસ્કોર વડે લખાતો મનસ્વી આધાર. log_2(8)નો અર્થ આધાર 2 માટે 8નો લઘુગણક થાય છે.

લઘુગણક માત્ર ધનાત્મક યુક્તિમૂલ્ય માટે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે. log(0) અથવા log(-5) જેવા ઇનપુટને એપ્લિકેશન અમાન્ય ગણીને નકારે છે, કારણ કે ધનાત્મક આધારની કોઈ વાસ્તવિક ઘાતથી શૂન્ય અથવા ઋણ સંખ્યા મળતી નથી.

લઘુગણકના નિયમો અને સૂત્રો

સરળીકૃત લઘુગણકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી

એપ્લિકેશન ઇનપુટ બૉક્સમાં લખાયેલા આખા વ્યંજક સામે દરેક નિયમને ક્રમશઃ અજમાવે છે. આખા વ્યંજકના આકાર સાથે બંધબેસતો પહેલો નિયમ લાગુ થાય છે; માત્ર તેના કોઈ ભાગ પર નહીં.

દરેક નિયમ આખા વ્યંજકને ચકાસે છે, તેથી એપ્લિકેશન એક સમયે એક જ ક્રિયા સરળીકૃત કરે છે. એક જ પદમાં ઘાત અને ગુણાકાર ભેળવતું વ્યંજક, જેમ કે log(x^2*y), કોઈ એક નમૂના સાથે બંધબેસતું નથી, તેથી તે બદલાયા વિના પરત આવે છે. લાંબા વ્યંજકને પગથિયે પગથિયે તોડવા માટે સાધન અનેક નિયમોને જોડતું નથી.

log(8), log(100) અથવા ln(20) જેવા સાદા સંખ્યાત્મક લઘુગણક માટે એપ્લિકેશન સાંકેતિક નિયમ લાગુ કરવાને બદલે સંખ્યાની ગણતરી કરે છે. પૂર્ણાંક પરિણામો પૂર્ણાંકો તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે; બાકીના દરેક મૂલ્યને દશાંશના છ સ્થાનો સુધી ગોળ કરવામાં આવે છે. આવું ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આખી એન્ટ્રી કોઈ સંખ્યાનો એક જ લઘુગણક હોય. log(8)/log(2) જેવી બે લઘુગણક ધરાવતી એન્ટ્રીનો અંશતઃ હિસાબ થતો નથી અને તે બદલાયા વિના પરત આવે છે.

ઉદાહરણ સાથે ગણતરી

log(x*y)ને સરળીકૃત કરવા માટે એપ્લિકેશન ગુણાકાર-નિયમના નમૂના log(A*B) સાથે મેળ બેસાડે છે. તે વ્યંજકને સરવાળાથી જોડાયેલા બે અલગ લઘુગણકોમાં વિભાજિત કરે છે:

$\log(x \times y) = \log(x) + \log(y)$

log(x^3) માટે ઘાત-નિયમનો નમૂનો log(A^n) બંધબેસે છે અને ઘાતાંક આગળ આવી જાય છે:

$\log(x^3) = 3 \times \log(x)$

ઘાતાંક ઋણ અથવા દશાંશ હોઈ શકે છે. log(x^-2)થી -2 * log(x) મળે છે, અને log(x^0.5)થી 0.5 * log(x) મળે છે.

log_2(8) જેવા મનસ્વી આધાર માટે એપ્લિકેશન આધાર-પરિવર્તન સૂત્રને સાંકેતિક રીતે લાગુ કરે છે. તે સંખ્યાત્મક જવાબ (જે 3 છે) ગણતી નથી; તેના બદલે ગુણોત્તર log(8) / log(2) પરત કરે છે.

ઉદાહરણરૂપ ઇનપુટ અને પરિણામો

છેલ્લી કૉલમ એ નિયમનું નામ છે, જે એપ્લિકેશન આકૃતિની નીચે છાપે છે.

એપ્લિકેશનનો ઉપયોગ

ગુણાકાર માટે *, ભાગાકાર માટે /, ઘાતાંક માટે ^ અને પદોને જૂથબદ્ધ કરવા માટે કૌંસનો ઉપયોગ કરીને ઇનપુટ ક્ષેત્રમાં વ્યંજક લખો. મનસ્વી આધાર માટે log_2(8) જેવી અંડરસ્કોર સંજ્ઞા વાપરો. માન્ય વ્યંજક લખાતાં જ પરિણામ દેખાય છે; સાથે ઇનપુટ, પરિણામ અને લાગુ થયેલો એકમાત્ર નિયમ દર્શાવતી નાની આકૃતિ પણ દેખાય છે. નકલ બટન વડે કોઈ વ્યક્તિ પરિણામને અન્ય દસ્તાવેજોમાં પેસ્ટ કરી શકે છે.

મર્યાદાઓ

આ એપ્લિકેશન સંપૂર્ણ કમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલી નહીં, પરંતુ નમૂનાઓ મેળવનાર નાનું સાધન છે. તે નીચેની બાબતો કરી શકતી નથી:

• એક જ વ્યંજક પર બે અથવા વધુ નિયમોને ક્રમશઃ લાગુ કરવા; તેથી log(x^2*y/z) જેવા અનેક પદવાળા વ્યંજકો વધુ તૂટતા નથી.
• એકથી વધુ લઘુગણક ધરાવતી એન્ટ્રી પર કામ કરવું. log(8)/log(2)ને 3 તરીકે ગણવાને બદલે બદલ્યા વિના પરત કરવામાં આવે છે.
• મનસ્વી આધારવાળા લઘુગણકને સાદી સંખ્યામાં ગણવું. log_2(8) 3 બનવાને બદલે log(8) / log(2) તરીકે જ રહે છે.
• લઘુગણકની અંદરના સરવાળા અથવા તફાવતોને સરળીકૃત કરવા, જેમ કે log(x + y), કારણ કે ગુણાકાર અને ભાગાકારના નિયમો માત્ર ગુણાકાર અને ભાગાકારને લાગુ પડે છે.
• સમીકરણો ઉકેલવા, વિધેયોના આલેખ બનાવવા અથવા આંતરિક લઘુગણકો સંભાળવા.

આ કાર્યો માટે Wolfram Alpha જેવી સંપૂર્ણ કમ્પ્યુટર બીજગણિત પ્રણાલી અથવા આલેખક ગણક વધુ યોગ્ય છે.

સંક્ષિપ્ત ઇતિહાસ

સ્કૉટિશ ગણિતશાસ્ત્રી જૉન નેપિયરે 1614માં લઘુગણક રજૂ કર્યા, જેથી ગુણાકારને સરવાળામાં ફેરવી શકાય અને ખગોળશાસ્ત્રીઓ તથા નાવિકો માટે હાથથી ગણતરી કરવામાં લાગતો સમય ઘટે. હેનરી બ્રિગ્સે પછી નેપિયર સાથે મળીને આધાર-10 લઘુગણક કોષ્ટકો તૈયાર કર્યા, જે 1617માં પ્રકાશિત થયા અને ત્રણ સદીઓથી વધુ સમય સુધી વપરાયા. 20મી સદીમાં લઘુગણકોએ નવી ભૂમિકા સ્વીકારી: ક્લૉડ શૅનને 1948માં માહિતીના મૂળભૂત એકમ બિટને વ્યાખ્યાયિત કરવા તેનો ઉપયોગ કર્યો, અને કમ્પ્યુટર વૈજ્ઞાનિકો હવે દ્વિ-શોધ જેવા અલ્ગોરિધમો કેટલા કાર્યક્ષમ રીતે વિસ્તરે છે તે વર્ણવવા લઘુગણકોનો ઉપયોગ કરે છે.

વારંવાર પૂછાતા પ્રશ્નો

લઘુગણક સરળીકાર શું છે? તે એવું સાધન છે જે લઘુગણકના નિયમનો ઉપયોગ કરીને લઘુગણકીય વ્યંજકને નવા સ્વરૂપમાં લખે છે, જેમ કે log(x*y)ને log(x) + log(y)માં ફેરવવું. આ એપ્લિકેશન લખાયેલા સંપૂર્ણ વ્યંજક સામે એક સમયે એક નિયમનો મેળ બેસાડે છે.

શું log_2(8)નું સરળીકરણ 3 થાય છે? ના. એપ્લિકેશન આધાર-પરિવર્તન સૂત્રને સાંકેતિક રીતે લાગુ કરે છે અને log(8) / log(2) પરત કરે છે. સંખ્યાત્મક જવાબ પૂર્ણાંક હોય ત્યારે પણ તે મનસ્વી આધારવાળા લઘુગણકને સંખ્યામાં ગણતી નથી.

શું એપ્લિકેશન એક વ્યંજક પર અનેક નિયમો લાગુ કરી શકે છે? ના. દરેક નિયમ એકસાથે આખા વ્યંજકને ચકાસે છે. કોઈ વ્યંજક માટે બે નિયમો જરૂરી હોય, જેમ કે પહેલાં ગુણાકારને અલગ કરવો અને પછી તેની અંદરના ઘાત-નિયમને લાગુ કરવો, તો તે બદલાયા વિના પરત આવે છે.

log(x + y)નું વધુ સરળીકરણ કેમ થતું નથી? ગુણાકાર અને ભાગાકારના નિયમો લઘુગણકની અંદરના ગુણાકાર અને ભાગાકારને જ લાગુ પડે છે, સરવાળા અથવા બાદબાકીને નહીં. log(x + y)ને log(x) + log(y) તરીકે ફરીથી લખી શકાતું નથી; આ સામાન્ય ભૂલ છે.

ગણતરી ક્યાં થાય છે? બ્રાઉઝરમાં, ઉપકરણ પર. વ્યંજક સર્વર પર મોકલાતો નથી અને આ સાધનનો ઉપયોગ કોઈ નોંધણી વિના નિઃશુલ્ક કરી શકાય છે.