એકમ વર્તુળ ગણક: ચોક્કસ સાઇન, કોસાઇન અને ટેન્જન્ટ
ડિગ્રી અથવા રેડિયનમાં કોણ દાખલ કરીને એકમ વર્તુળ પરનું તેનું બિંદુ, સાઇન, કોસાઇન, ટેન્જન્ટ, સંદર્ભ કોણ અને ચતુર્થાંશ મેળવો. પ્રમાણભૂત કોણોના ચોક્કસ મૂલ્યો મેળવો.
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
લોડિંગ કેલ્ક્યુલેટર...
📚
દસ્તાવેજીકરણ
એકમ વર્તુળ ગણક
એકમ વર્તુળ એ આલેખના મૂળબિંદુની આસપાસ દોરાયેલું 1 ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ છે. એકમ વર્તુળ ગણક એક કોણ લે છે અને તે કોણ વર્તુળને જ્યાં છેદે છે તે જણાવે છે: બિંદુ (x, y), સાઇન, કોસાઇન અને ટેન્જન્ટ, સંદર્ભ કોણ તથા ચતુર્થાંશ. આ પાનું કોણને અંશોમાં અથવા રેડિયનમાં વાંચે છે અને સોળ પ્રમાણભૂત કોણો માટે √3/2 જેવા ચોક્કસ મૂલ્યો આપે છે.
ગણતરી સાધનનું કાર્ય
વપરાશકર્તા એક કોણ લખે છે અને અંશ અથવા રેડિયન પસંદ કરે છે. પાનું આપે છે:
- જ્યાં કોણ વર્તુળને છેદે છે તે બિંદુ (x, y)
- cos θ, sin θ અને tan θ
- સંદર્ભ કોણ, અંશોમાં અને રેડિયનમાં
- ચતુર્થાંશ, અથવા કોણ કોઈ અક્ષ પર પડે ત્યારે તે અક્ષ
- બંને એકમોમાં કોણ અને એક પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં સમેટાયેલો એ જ કોણ
સોળ પ્રમાણભૂત કોણો પર જવાબો દશાંશ મૂલ્યો સાથે ચોક્કસ બંધ સ્વરૂપોમાં છપાય છે. અન્ય કોઈપણ કોણને આઠ સાર્થક અંકો સુધી દર્શાવવામાં આવે છે. માત્ર દર્શાવટને પૂર્ણાંકિત કરવામાં આવે છે.
એકમ વર્તુળનું સૂત્ર
કોણો ધનાત્મક x-અક્ષથી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં માપવામાં આવે છે. θ કોણે દોરેલી કિરણ વર્તુળને એક બિંદુએ છેદે છે, અને તે બિંદુના બે નિર્દેશાંકો કોસાઇન અને સાઇન હોય છે:
જ્યાં આડું નિર્દેશાંક, ઊભું નિર્દેશાંક અને કોણ છે.
ત્રિજ્યા 1 છે, તેથી નિર્દેશાંકો અને બંને વિધેય મૂલ્યો બે નામોથી ઓળખાતી સંખ્યાઓની સમાન જોડી છે. આ કારણે વર્તુળને અન્ય કોઈ કદને બદલે 1 ત્રિજ્યા સાથે દોરવામાં આવે છે. ટેન્જન્ટ એ જ જોડી પરથી બને છે:
વર્તુળ પરનું દરેક બિંદુ સમકોણ ત્રિકોણ પર લાગુ પાયથાગોરસના પ્રમેયને પણ સંતોષે છે, જેમાં બાજુઓ અને તથા કર્ણ 1 છે:
ડિગ્રી અને રેડિયન
પાનું કોઈપણ એકમ સ્વીકારે છે અને બંનેમાં પરિણામ આપે છે. બંને વચ્ચેનો સંબંધ એ છે કે અડધું પરિભ્રમણ π રેડિયન બરાબર હોય છે:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ અહીં $\theta_{\mathrm{deg}}$ અંશમાંનો કોણ છે અને $\theta_{\mathrm{rad}}$ એ જ કોણ રેડિયનમાં છે. ### એક પરિભ્રમણમાં સમેટવું કોણ ઋણ હોઈ શકે છે અને પૂર્ણ પરિભ્રમણ પાર કરી શકે છે. વર્તુળ પરનું બિંદુ દર 360° પછી પુનરાવર્તિત થાય છે, તેથી પાનું પહેલાં કોણને 0°થી શરૂ થઈને 360°થી ઓછા પરિસરમાં સમેટે છે: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ જ્યાં $\theta$ લખાયેલો કોણ અંશોમાં છે અને $\theta_0$ એ જ દિશા એક પરિભ્રમણની અંદર લખાયેલી છે. 750° સમેટાઈને 30° થાય છે અને −30° સમેટાઈને 330° થાય છે. જ્યાં શેષ ચોક્કસ હોય તેવા અંશોમાં આ સમેટાણું કરવામાં આવે છે. ### સંદર્ભ કોણ અને ચતુર્થાંશ સંદર્ભ કોણ કિરણ અને x-અક્ષ વચ્ચેનો લઘુકોણ છે. તે ક્યારેય 90°થી મોટો હોતો નથી: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{અન્યથા} \end{cases}$$ જ્યાં $\theta_0$ અંશોમાં સમેટાયેલો કોણ છે. સાઇન, કોસાઇન અને ટેન્જન્ટનું પરિમાણ માત્ર સંદર્ભ કોણ પર આધારિત છે. ચતુર્થાંશ ચિહ્નો નક્કી કરે છે. | ચતુર્થાંશ | સમેટાયેલો કોણ | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0°થી 90° સુધી | + | + | + | | II | 90°થી 180° સુધી | − | + | − | | III | 180°થી 270° સુધી | − | − | + | | IV | 270°થી 360° સુધી | + | − | − | 0°, 90°, 180° અને 270°ના કોણો કોઈ અક્ષ પર આવેલા છે. ચતુર્થાંશ બે અક્ષો વચ્ચેનો ખુલ્લો પ્રદેશ છે, તેથી આ ચાર પૈકી કોઈપણ એક તેની અંદર નથી આવતો અને પાનું પડોશી ચતુર્થાંશ પસંદ કરવાને બદલે અક્ષનું નામ આપે છે. ### સોળ પ્રમાણભૂત કોણો પાંચ સંદર્ભ કોણો ચોક્કસ બંધ સ્વરૂપો ધરાવે છે. | સંદર્ભ કોણ | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | અવ્યાખ્યાયિત | આ પંક્તિઓને અન્ય ત્રણ ચતુર્થાંશોમાં પ્રતિબિંબિત કરવાથી સોળ કોણો મળે છે: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 અને 330 અંશ. ચાર વખત કોષ્ટક નકલ કરવાને બદલે પાનું પ્રથમ ચતુર્થાંશનાં બિંદુઓને એક સમયે ચોથા પરિભ્રમણ જેટલા ફેરવીને આ કોણો બનાવે છે, કારણ કે ખોટી નિશાની નકલ કરતી વખતે જ ઉમેરાઈ જાય છે. 15°, 75° અને 105°ના પણ ચોક્કસ બંધ સ્વરૂપો છે, પરંતુ તેમાં 2 − √3 જેવા બે પદ હોય છે. તેઓ આ સમૂહની બહાર આવે છે અને દશાંશ તરીકે આપવામાં આવે છે. 15° માટે cos 0.96592583, sin 0.25881905 અને tan 0.26794919 મળે છે. ### ઉદાહરણ: 210 અંશ 210° 180°થી વધુ અને 270°થી ઓછો છે, તેથી તે ચતુર્થાંશ IIIમાં આવે છે. 180 બાદ કરતાં સંદર્ભ કોણ 30° રહે છે. 30°ના સંદર્ભ કોણે ત્રણ પરિમાણો √3/2, 1/2 અને √3/3 છે. ચતુર્થાંશ III બંને નિર્દેશાંકોને ઋણ બનાવે છે, તેથી બિંદુ (−√3/2, −1/2) છે. ટેન્જન્ટ ઋણને ઋણ વડે ભાગવાથી મળે છે, તેથી તે √3/3 પર ધન રહે છે. રેડિયનમાં કોણ 7π/6 અને સંદર્ભ કોણ π/6 છે. દશાંશ તરીકે પાનું cos −0.8660254, sin −0.5 અને tan 0.57735027 દર્શાવે છે. 570° અને −150° સમાન જવાબ આપે છે, કારણ કે બંને 210° પર સમેટાય છે. ### કયા અચળાંકો ચોક્કસ છે | અચળાંક | મૂલ્ય | ચોક્કસ? | સ્ત્રોત | |---|---|---|---| | એક પરિભ્રમણમાં અંશો | 360 | વ્યાખ્યા મુજબ ચોક્કસ | ISO 80000-3 | | એક પરિભ્રમણમાં રેડિયન | 2π | વ્યાખ્યા મુજબ ચોક્કસ | ISO 80000-3; SI પુસ્તિકા | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | ચોક્કસ | NIST DLMF §4.14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | ચોક્કસ | NIST DLMF §4.14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | ચોક્કસ | NIST DLMF §4.14 | | tan 90°, tan 270° | કોઈ મૂલ્ય નથી | ચોક્કસ, ધ્રુવ | NIST DLMF §4.15 | π અપરિમેય છે, તેથી તેનું કોઈ ચોક્કસ દશાંશ અથવા દ્વિઆધારી સ્વરૂપ નથી અને તેનો સંગ્રહિત કોઈપણ મૂલ્ય પૂર્ણાંકિત હોય છે. પાનું બે રીતે આ પૂર્ણાંકનને તેના જવાબોથી દૂર રાખે છે. સમેટાણું અંશોમાં થાય છે, જ્યાં 360 કોઈ શેષ વિના ભાગે છે. અને પ્રમાણભૂત કોણો ઉપરના ચોક્કસ બંધ સ્વરૂપોના કોષ્ટકમાંથી લેવામાં આવે છે, ફ્લોટિંગ-પોઇન્ટ સાઇનમાંથી ક્યારેય નહીં. ### રેડિયનમાં લખાયેલો કોણ વાંચવો રેડિયનમાં લખાયેલી એન્ટ્રી પહેલેથી જ પૂર્ણાંકિત દશાંશ હોય છે. π/2ને 1.5707963267948966 તરીકે લખવામાં આવે છે, અને તેને પાછું રૂપાંતરિત કરતાં 90થી લગભગ દસ ટ્રિલિયનમા અંશ જેટલું દૂરનું કોણ મળે છે, બરાબર 90 નહીં. તેથી પાનું કોઈ પ્રમાણભૂત કોણથી અંશના દસ લાખમા ભાગ જેટલા અંતરની અંદર આવેલા કોઈપણ કોણને તે પ્રમાણભૂત કોણ તરીકે વાંચે છે. સહનશીલતા નક્કી કરે છે કે કયું કોષ્ટક વપરાશે; તે જવાબને ક્યારેય વિસ્તૃત કરતી નથી. 30.001° 30°માં બદલાતું નથી. એક અબજ અંશથી વધુના કોણો નકારવામાં આવે છે. આ ભૂમિતિની નહીં પરંતુ અંકગણિતની મર્યાદા છે: કમ્પ્યુટર સંગ્રહ કરી શકે તેવી સંખ્યાઓ વચ્ચેનું અંતર તેમના કદ સાથે વધે છે, અને આશરે સાડા ચાર અબજ અંશ પછી આ અંતર અંશના દસ લાખમા ભાગની સહનશીલતા કરતાં વધુ પહોળું થઈ જાય છે, તેથી સમેટાણું કોણનું નામ આપવા જેટલી વિગતો જાળવી શકતું નથી. એક અબજ આ બિંદુથી નીચે પૂરતું અંતર રાખે છે. ### વારંવાર પૂછાતા પ્રશ્નો **એકમ વર્તુળનો ઉપયોગ શા માટે થાય છે?** તે સાઇન અને કોસાઇનને નિર્દેશાંકોમાં ફેરવે છે. વર્તુળ પરથી એક બિંદુ વાંચવાથી બંને મૂલ્યો એકસાથે મળે છે, અને આકૃતિ બતાવે છે કે તેઓ દરેક પૂર્ણ પરિભ્રમણ પછી શા માટે પુનરાવર્તિત થાય છે તથા એક ચતુર્થાંશથી બીજા ચતુર્થાંશમાં જતાં તેમના ચિહ્નો શા માટે બદલાય છે. **sin 30°નું ચોક્કસ મૂલ્ય શું છે?** એક અર્ધ. cos 30° એ √3/2, આશરે 0.8660254 છે અને tan 30° એ √3/3, આશરે 0.57735027 છે. **tan 90° શા માટે અવ્યાખ્યાયિત છે?** ટેન્જન્ટ એ સાઇનને કોસાઇન વડે ભાગવાથી મળે છે અને cos 90°નું મૂલ્ય 0 છે. શૂન્ય વડે ભાગાકારનો કોઈ જવાબ નથી. ગણાયેલો ટેન્જન્ટ મોટો આવ્યો કે નહીં તે તપાસવાને બદલે પાનું કોણનું નામ આપીને ધ્રુવ શોધે છે, કારણ કે 90°થી થોડો ઓછો તીવ્ર ટેન્જન્ટ સામાન્ય સંખ્યા હોય છે. **સંદર્ભ કોણ એટલે શું?** તે કિરણ અને x-અક્ષ વચ્ચેનો લઘુકોણ છે, તેથી તે હંમેશાં 0° અને 90°ની વચ્ચે રહે છે. 150°, 210° અને 330° ત્રણેયનો સંદર્ભ કોણ 30° છે, તેથી તેમના સાઇન અને કોસાઇનમાં સમાન ત્રણ પરિમાણો હોય છે અને માત્ર ચિહ્નમાં ફરક હોય છે. **શું ઋણ કોણ કામ કરે છે?** હા. ઋણ કોણ ઘડિયાળની દિશામાં ફરે છે. −30° અને 330° એક જ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે, તેથી પાનું બિંદુ (√3/2, −1/2) અને ચતુર્થાંશ IV આપે છે. **પાનું કોણને બે વાર શા માટે દર્શાવે છે?** 750° અને 30° વર્તુળને સમાન બિંદુએ છેદે છે, પરંતુ તે સમાન પરિભ્રમણ નથી. પાનું લખાયેલો કોણ, બીજા એકમમાં રૂપાંતરિત કોણ અને તેની બાજુમાં સમેટાયેલો કોણ દર્શાવે છે.