מחשבון היפותנוזה - כלי משפט פיתגורס

מחשבון יתר

מחשבון יתר מוצא את אורך הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר־זווית, הנקראת יתר. הוא משתמש במשפט פיתגורס, כלל המקשר בין שלוש הצלעות של כל משולש ישר־זווית.

מהו יתר?

במשולש ישר־זווית יש זווית אחת בת 90 מעלות, הנוצרת במקום שבו שתי צלעות נפגשות בפינה ישרה. שתי הצלעות האלה נקראות ניצבים. הצלע השלישית, שממול לזווית הישרה, היא היתר. היא תמיד הצלע הארוכה ביותר במשולש.

נוסחת משפט פיתגורס

משפט פיתגורס קובע שריבוע היתר שווה לסכום ריבועי שני הניצבים.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

• c הוא היתר
• a ו־b הם שני הניצבים

כדי למצוא ניצב חסר במקום את היתר, אפשר לסדר מחדש את הנוסחה:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי היווני פיתגורס, שחי בערך בין 570 ל־495 לפני הספירה. הקשר המתמטי היה ידוע עוד קודם לכן. לוחות חרס בבליים המתוארכים בערך לשנת 1800 לפני הספירה מראים שמתמטיקאים בבליים כבר השתמשו בו, יותר מאלף שנים לפני פיתגורס.

כיצד מחשבים את היתר

כדי למצוא את היתר באופן ידני, יש לבצע ארבעה שלבים.

1. העלו בריבוע את אורך צלע A (כפלו אותה בעצמה).
2. העלו בריבוע את אורך צלע B.
3. חברו את שני הערכים שהועלו בריבוע.
4. הוציאו שורש ריבועי מהסכום.

המחשבון בדף זה מבצע את אותם ארבעה שלבים. בחרו בתפריט באפשרות "מציאת יתר", "מציאת צלע A" או "מציאת צלע B", ולאחר מכן הזינו את שני האורכים הידועים. התוצאה מתעדכנת מיד לאחר הזנת מספרים תקפים, ומעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

שתי הצלעות חייבות להשתמש באותה יחידת מידה, כגון אינצ׳ים או מטרים. המחשבון אינו ממיר בין יחידות, ולכן ערך שהוזן ברגל וערך שהוזן באינצ׳ים לא יניבו יחד תוצאה בעלת משמעות.

דוגמה פתורה

במשולש ישר־זווית יש צלע A באורך 3 רגל (0.91 m) וצלע B באורך 4 רגל (1.2 m).

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.00 רגל (1.52 m)

תבנית 3-4-5 זו היא קיצור דרך שנגרים משתמשים בו כדי לבדוק שפינה היא ישרה. מדדו 3 רגל (0.91 m) לאורך קצה אחד ו־4 רגל (1.2 m) לאורך הקצה המאונך. המרחק האלכסוני בין שתי הנקודות האלה צריך להיות בדיוק 5 רגל (1.5 m). כל כפולה של התבנית פועלת באותה דרך, כגון 6-8-10 או 30-40-50.

בדוגמה השנייה משתמשים בערכים עשרוניים. במשולש ישר־זווית יש צלע A באורך 2.5 אינצ׳ים (6.35 cm) וצלע B באורך 6.8 אינצ׳ים (17.3 cm).

c = √(2.5² + 6.8²) = √(6.25 + 46.24) = √52.49 ≈ 7.24 אינצ׳ים (18.4 cm)

כך מודדים את הגדלים של מסכי טלוויזיה וצגים. גודל המסך המצוין הוא האלכסון, שהוא היתר של המלבן שנוצר מרוחב המסך ומגובהו.

מציאת צלע חסרה

אם היתר וניצב אחד כבר ידועים, המחשבון יכול למצוא את הניצב האחר. בחרו באפשרות "מציאת צלע A" או "מציאת צלע B", ולאחר מכן הזינו את היתר ואת הניצב הידוע.

לדוגמה, במשולש ישר־זווית יש יתר באורך 10 מטרים וצלע B באורך 6 מטרים.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8.00 מטרים

היתר חייב תמיד להיות ארוך יותר מכל אחד מהניצבים, מכיוון שהוא הצלע הארוכה ביותר במשולש. אם הערך שהוזן עבור היתר אינו גדול מהניצב הידוע, המחשבון מציג שגיאה במקום תוצאה, משום שמשולש ישר־זווית כזה אינו קיים.

שימושים נפוצים

משתמשים במשפט פיתגורס בכל פעם שצריך למצוא מרחק אלכסוני ישר מתוך שתי מדידות מאונכות.

• בנייה ונגרות: בדיקה שפינה של מסגרת או קיר היא ישרה, וחישוב אורכי קורות גג או קורות צד של מדרגות.
• מדידות: המרת מרחקים אופקיים ואנכיים למרחק ישיר בקו הראייה.
• ניווט וגרפיקה ממוחשבת: נוסחת המרחק בין שתי נקודות בגרף, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], היא אותו משפט המיושם על קואורדינטות.
• חינוך: זו אחת ההוכחות הגאומטריות הראשונות שרוב התלמידים פוגשים, ואפשר לבדוק אותה באמצעות דוגמאות פשוטות במספרים שלמים, כגון 3-4-5 או 5-12-13.

המשפט חל רק על משולשים ישרי־זווית. עבור משולש ללא זווית בת 90 מעלות, משתמשים במשפט הקוסינוסים.

שאלות נפוצות

מהי הנוסחה ליתר? c = √(a² + b²), כאשר a ו־b הם שני הניצבים במשולש ישר־זווית ו־c הוא היתר.

האם אפשר להשתמש בזה עבור משולשים ללא זווית ישרה? לא. משפט פיתגורס חל רק על משולשים ישרי־זווית. משולש ללא זווית בת 90 מעלות מצריך שימוש במשפט הקוסינוסים.

מהו כלל 3-4-5? זהו קיצור דרך לבדיקת פינה ישרה. אם צלע אחת באורך 3 יחידות, צלע מאונכת סמוכה באורך 4 יחידות, והאלכסון בין קצותיהן באורך 5 יחידות, הפינה היא זווית ישרה. כל כפולה של 3-4-5, כגון 6-8-10 או 30-40-50, פועלת באותה דרך.

האם שתי הצלעות צריכות להשתמש באותה יחידת מידה? כן. יש להזין את שני הניצבים באותה יחידה, כגון שניהם ברגל או שניהם במטרים. ערבוב יחידות, כמו רגל ואינצ׳ים, מניב תוצאה נכונה מבחינה מתמטית אך חסרת משמעות מבחינה פיזית.

מדוע המחשבון מציג שגיאה עבור שילובים מסוימים של יתר וצלע? היתר הוא תמיד הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר־זווית. אם הערך שהוזן עבור היתר אינו גדול מהניצב הידוע, לא קיים משולש ישר־זווית תקף, ולכן המחשבון מחזיר שגיאה במקום תוצאה.

כמה ספרות אחרי הנקודה העשרונית מציגה התוצאה? שתיים. המחשבון שומר על מלוא הדיוק במהלך החישוב ומעגל רק את המספר המוצג.

האם זו אותה נוסחה כמו נוסחת המרחק? כן. נוסחת המרחק בגאומטריה של קואורדינטות, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], היא משפט פיתגורס המיושם על שתי נקודות בגרף. הפערים האופקי והאנכי בין הנקודות יוצרים את שני הניצבים של משולש ישר־זווית.