מחשבון אחוזים

אחוז הוא דרך לכתוב מספר כשבר מתוך 100. מחשבון האחוזים הזה עונה על שלוש שאלות נפוצות: כמה הם X% ממספר, איזה אחוז מהווה מספר אחד מתוך מספר אחר, ומהו השינוי באחוזים בין שני ערכים.

מהו אחוז?

המילה אחוז פירושה "מתוך מאה". כתיבת 25% שקולה לכתיבת השבר 25/100 או לכתיבת המספר העשרוני 0.25. אחוזים מקלים על השוואה בין מספרים בגדלים שונים. קשה להשוות ישירות בין אמירה ש־45 מתוך 60 שאלות היו נכונות לבין אמירה ש־30 מתוך 40 היו נכונות. האמירה 75% בשני המקרים מבהירה שהציונים שווים.

למחשבון שלושה מצבים. כל מצב עונה על שאלה אחרת, ולכן כל אחד מהם משתמש בנוסחה אחרת.

כיצד לחשב אחוז ממספר

מצב זה עונה על השאלה "מהו X% מתוך Y?". הוא ממיר את האחוז לשבר שמכנהו 100 ומכפיל:

$P = \frac{X}{100} \times Y$

כאשר P הוא החלק, X הוא האחוז ו־Y הוא הערך שממנו נלקח האחוז.

דוגמה פתורה

מהו 25% מתוך 200?

1. חלקו את האחוז ב־100: 25 / 100 = 0.25
2. הכפילו בערך: 0.25 × 200 = 50

לכן 25% מתוך 200 הם 50.

אותם שלבים פועלים גם עבור סכומים יומיומיים. תשר של 15% על חשבון בסך 48.00 הוא (15 / 100) × 48 = 7.20. הנחה של 20% על פריט שמחירו 60.00 מפחיתה (20 / 100) × 60 = 12.00.

כיצד למצוא איזה אחוז מספר אחד מהווה ממספר אחר

מצב זה עונה על השאלה "X הוא איזה אחוז מתוך Y?". הוא מחלק את החלק בשלם ומכפיל את התוצאה כך שתהיה מתוך 100:

$Q = \frac{X}{Y} \times 100$

כאשר Q הוא האחוז המתקבל, X הוא החלק ו־Y הוא השלם.

השלם (Y) אינו יכול להיות אפס, משום שחלוקה באפס אינה מוגדרת. במקרה כזה המחשבון מציג הודעת שגיאה במקום תוצאה.

דוגמה פתורה

איזה אחוז מהווה 30 מתוך 120?

1. חלקו את החלק בשלם: 30 / 120 = 0.25
2. הכפילו ב־100: 0.25 × 100 = 25

לכן 30 הם 25% מתוך 120. באותו אופן, ציון של 45 מתוך 60 הוא (45 / 60) × 100 = 75%.

כיצד לחשב שינוי באחוזים

מצב זה עונה על השאלה "בכמה אחוזים השתנה ערך מ־A ל־B?". הוא משווה את ההפרש לגודל הערך ההתחלתי:

$C = \frac{B - A}{|A|} \times 100$

כאשר C הוא השינוי באחוזים, A הוא הערך ההתחלתי ו־B הוא הערך הסופי. הקווים סביב A מציינים את הערך המוחלט שלו, כלומר את A ללא סימן המינוס.

הערך ההתחלתי (A) אינו יכול להיות אפס, משום שאין סכום התחלתי שניתן להשוות אליו. תוצאה חיובית היא עלייה, תוצאה שלילית היא ירידה, ואפס פירושו שלא חל שינוי. המחשבון מציין את כיוון השינוי לצד המספר.

דוגמה פתורה

מחיר עולה מ־80 ל־100. מהו השינוי באחוזים?

1. מצאו את ההפרש: 100 − 80 = 20
2. חלקו בערך ההתחלתי: 20 / 80 = 0.25
3. הכפילו ב־100: 0.25 × 100 = 25

המחיר עלה ב־25%. ירידה מ־50 ל־40 מחושבת באותו אופן: (40 − 50) / 50 × 100 = -20%, כלומר ירידה של 20%.

מדוע הנוסחה משתמשת בערך המוחלט

חלוקה בערך המוחלט של A שומרת על משמעות הסימן של התוצאה כאשר הערך ההתחלתי שלילי. שינוי מ־−10 ל־−5 הוא רווח של 5. כאשר מחלקים בערך המוחלט הזה, התוצאה היא ((−5) − (−10)) / 10 × 100 = 50%, כלומר עלייה. חלוקה ב־−10 במקום זאת תהפוך את הסימן ותדווח בטעות על ירידה.

השינוי באחוזים אינו סימטרי

כיוון השינוי חשוב. מעבר מ־80 ל־100 הוא עלייה של 25%, אך מעבר מ־100 ל־80 הוא ירידה של 20% בלבד. שתי התוצאות שונות משום שכל אחת מהן נמדדת ביחס לערך התחלתי אחר.

עיגול ותצוגה

התוצאות מוצגות עם עד שש ספרות אחרי הנקודה העשרונית. תוצאות הקטנות מ־1 שומרות על שש ספרות משמעותיות, כך שערך כמו 0.0000001 אינו מעוגל לאפס. תוצאות גדולות מאוד (10^15 ומעלה) ותוצאות קטנות מאוד (מתחת ל־10^-9) מוצגות בכתיב מדעי עם שש ספרות משמעותיות. תוצאה מוצגת כ־0 רק כאשר היא שווה בדיוק לאפס.

שאלות נפוצות

כיצד לחשב אחוז ממספר באופן ידני?

חלקו את האחוז ב־100, ולאחר מכן הכפילו במספר. עבור 30% מתוך 250: 30 / 100 = 0.3, ואז 0.3 × 250 = 75.

האם אחוז יכול להיות גדול מ־100?

כן. 150% מתוך 40 הם (150 / 100) × 40 = 60. גם שינוי באחוזים יכול להיות גדול מ־100: מעבר מ־50 ל־120 הוא ((120 − 50) / 50) × 100 = 140% עלייה.

מדוע המחשבון דוחה ערך שלם או ערך התחלתי השווה לאפס?

שתי הנוסחאות מחלקות בערך זה, וחלוקה באפס אינה מוגדרת. לשאלות "X הוא איזה אחוז מתוך 0" ו"מהו השינוי באחוזים מ־0" אין תשובה מספרית, ולכן המחשבון מציג שגיאה במקום זאת.

מה ההבדל בין שינוי באחוזים לבין נקודות אחוז?

נקודות אחוז מודדות הפרש פשוט בין שני אחוזים. שינוי באחוזים מודד את ההפרש ביחס לערך ההתחלתי. אם ריבית משתנה מ־4% ל־5%, היא עולה ב־1 נקודת אחוז, אך השינוי באחוזים הוא ((5 − 4) / 4) × 100 = 25%.

מדוע עלייה של 25% אינה מתבטלת בירידה של 25%?

כל שלב נמדד ביחס לערך ההתחלתי שלו. הגדלת 80 ב־25% נותנת 100. הקטנת 100 ב־25% נותנת 75, ולא 80, משום שה־25% השני נלקח מהמספר הגדול יותר.