מחשבון תדר חצי-טון - שינוי גובה צליל בחצאי-טונים וסנטים

מהו מחשבון תדר חצי-טון?

מחשבון תדר חצי-טון מוצא את גובה הצליל, בהרץ (Hz), הנמצא מספר נתון של חצאי-טונים מעל או מתחת לתדר התחלתי. חצי-טון הוא הצעד הקטן ביותר במוזיקה המערבית הסטנדרטית, המרחק בין מקש אחד בפסנתר למקש הבא אחריו. כלי זה פועל גם בכיוון ההפוך: בהינתן שני תדרים, הוא מוצא את המרווח ביניהם בחצאי-טונים ובסנטים.

כיצד לחשב תדר מחצאי-טונים

גובה הצליל המוזיקלי פועל לפי טמפרמנט שווה, שיטת כוונון שבה כל אוקטבה מתחלקת ל-12 חצאי-טונים שווים. מכיוון שגובה הצליל נשמע בסולם יחסי, ולא בקו ישר, כל צעד של חצי-טון מכפיל את התדר בגורם קבוע במקום להוסיף מספר קבוע של הרץ. הגורם הזה הוא השורש ה-12 של 2, כ-1.05946.

הנוסחה לתדר היעד היא:

f = f₀ × 2^(n / 12)

• f הוא תדר היעד בהרץ.
• f₀ הוא תדר הבסיס בהרץ.
• n הוא מספר חצאי-הטונים; חיובי לצעד כלפי מעלה ושלילי לצעד כלפי מטה.

כלי זה מוסיף איבר כוונון עדין אופציונלי בסנטים, כאשר 100 סנטים שווים לחצי-טון אחד:

f = f₀ × 2^((n + c / 100) / 12)

כאן c הוא היסט הסנטים. הצבת c כ-0 נותנת את נוסחת חצי-הטון הפשוטה שלמעלה.

מציאת שם התו הקרוב ביותר

לאחר שתדר היעד ידוע, המחשבון מדווח על שם התו והאוקטבה הקרובים ביותר באמצעות טמפרמנט שווה, כאשר A4 (הלה שמעל הדו המרכזי) מכוון ל-440 הרץ, גובה הקונצרט הסטנדרטי. תחילה הוא ממיר את התדר למספר תו MIDI:

midi = 69 + 12 × log₂(f / 440)

התוצאה מעוגלת למספר השלם הקרוב ביותר, מכיוון ש-69 הוא מספר ה-MIDI של A4. שם התו נגזר מהתבנית C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B, החוזרת על עצמה כל 12 מספרים, והאוקטבה מתקבלת מחלוקת מספר ה-MIDI ב-12.

דוגמה מחושבת

נתחיל מ-A4, 440 הרץ, ונעלה 7 חצאי-טונים ללא היסט סנטים.

1. n = 7, f₀ = 440.
2. f = 440 × 2^(7/12).
3. 2^(7/12) ≈ 1.498307.
4. f ≈ 440 × 1.498307 ≈ 659.26 הרץ.

התו הקרוב ביותר ל-659.26 הרץ הוא E5, שבעה חצאי-טונים מעל A4, מרווח מוזיקלי הנקרא קווינטה מושלמת.

דוגמה שנייה משתמשת באוקטבה מלאה: 12 חצאי-טונים מעל A4 נותנים 440 × 2^(12/12) = 440 × 2 = 880 הרץ, התו A5. הכפלת התדר תמיד מעלה את גובה הצליל בדיוק באוקטבה אחת.

כיצד לחשב את המרווח בין שני תדרים

השאלה ההפוכה, בהינתן שני תדרים, שואלת כמה חצאי-טונים מפרידים ביניהם. הנוסחה היא:

semitones = 12 × log₂(f₂ / f₁)

cents = semitones × 100

כאן f₁ הוא התדר הראשון (הייחוס) ו-f₂ הוא התדר השני. תוצאה חיובית פירושה ש-f₂ גבוה מ-f₁; תוצאה שלילית פירושה שהוא נמוך יותר.

לדוגמה, מ-440 הרץ ל-880 הרץ מתקבל 12 × log₂(880/440) = 12 × log₂(2) = 12 חצאי-טונים, או בדיוק 1200 סנטים, מה שמאשר את יחס האוקטבה מהדוגמה המחושבת שלמעלה.

סנטים כיחידה עדינה יותר

סנט הוא אחד ממאה של חצי-טון. סנטים מאפשרים למוזיקאים ולמהנדסי סאונד לתאר הבדלי גובה קטנים מכדי להיות צעד שלם של חצי-טון, כגון חוסר כוונון קל בין שני כלים או שגיאת כוונון. רוב המאזינים יכולים להבחין בהבדל גובה של כ-5 עד 10 סנטים, אם כי הדבר משתנה מאדם לאדם ובהתאם לצליל הנבחן.

שאלות נפוצות

מהו חצי-טון? חצי-טון הוא המרווח הקטן ביותר במוזיקה המערבית הסטנדרטית, השווה למרחק ממקש אחד בפסנתר למקש הבא, שחור או לבן.

מדוע עלייה של אוקטבה מכפילה את התדר? אוקטבה שווה ל-12 חצאי-טונים. מכיוון שכל חצי-טון מכפיל את התדר ב-2^(1/12), 12 חצאי-טונים מכפילים אותו ב-(2^(1/12))^12 = 2, שהוא בדיוק כפול.

באיזה גובה ייחוס משתמש המחשבון? המחשבון משתמש ב-A4 = 440 הרץ, תקן גובה הקונצרט הנפוץ ביותר, עם כוונון בטמפרמנט שווה בכל 12 התווים.

האם ערך חצי-הטון יכול להיות שלילי? כן. ערך שלילי מוריד את גובה הצליל. לדוגמה, -12 חצאי-טונים מ-440 הרץ נותנים 220 הרץ, אוקטבה מתחת ל-A4.

מה ההבדל בין חצאי-טונים לסנטים בכלי זה? חצאי-טונים הם צעדים שלמים בסולם. שדה הסנטים הוא היסט עדין ואופציונלי המתווסף מעליהם, כאשר 100 סנטים שווים לחצי-טון אחד; הדבר שימושי לגבהים הנמצאים בין שני תווים.

מדוע ייתכן שהתו הקרוב ביותר לא יתאים בדיוק לתדר? טמפרמנט שווה מייצר תדרי תווים מדויקים רק בצעדים שלמים של חצי-טון מ-A4. כל תדר שאינו נמצא בדיוק על אחד מהצעדים הללו, כולל תדר עם היסט סנטים, מעוגל לתו הקרוב אליו ביותר.