Kalkulator mjera kruga

Uvod

Krug je osnovni oblik u geometriji, simbolizirajući cjelovitost i simetriju. Naš kalkulator mjera kruga omogućava vam izračunavanje radijusa, promjera, opsega i površine kruga na temelju jednog poznatog parametra. Ovaj alat je neprocjenjiv za studente, inženjere, arhitekte i svakoga tko je zainteresiran za razumijevanje svojstava krugova.

Kako koristiti ovaj kalkulator

1. Odaberite parametar koji znate:

   • Radijus
   • Promjer
   • Opseg
   • Površina

2. Unesite vrijednost:

   • Unesite numeričku vrijednost za odabrani parametar.
   • Osigurajte da je vrijednost pozitivni realni broj.

3. Izračunaj:

   • Kalkulator će izračunati preostale mjere kruga.
   • Prikazane rezultate uključuju:
     • Radijus ($r$)
     • Promjer ($d$)
     • Opseg ($C$)
     • Površina ($A$)

Provjera unosa

Kalkulator provodi sljedeće provjere na korisničkim unosima:

• Pozitivni brojevi: Svi unosi moraju biti pozitivni realni brojevi.
• Valjane numeričke vrijednosti: Unosi moraju biti numerički i ne smiju sadržavati nenumeričke znakove.

Ako se otkriju nevaljani unosi, bit će prikazana poruka o pogrešci, a izračun neće nastaviti dok se ne isprave.

Formule

Odnosi između radijusa, promjera, opsega i površine kruga definirani su sljedećim formulama:

1. Promjer ($d$):

   $d = 2r$

2. Opseg ($C$):

   $C = 2\pi r = \pi d$

3. Površina ($A$):

   $A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

4. Radijus ($r$) iz opsega:

   $r = \frac{C}{2\pi}$

5. Radijus ($r$) iz površine:

   $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Izračun

Evo kako kalkulator izračunava svaku mjeru na temelju unosa:

1. Kada je radijus ($r$) poznat:

   • Promjer: $d = 2r$
   • Opseg: $C = 2\pi r$
   • Površina: $A = \pi r^2$

2. Kada je promjer ($d$) poznat:

   • Radijus: $r = \frac{d}{2}$
   • Opseg: $C = \pi d$
   • Površina: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

3. Kada je opseg ($C$) poznat:

   • Radijus: $r = \frac{C}{2\pi}$
   • Promjer: $d = \frac{C}{\pi}$
   • Površina: $A = \pi r^2$

4. Kada je površina ($A$) poznata:

   • Radijus: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
   • Promjer: $d = 2r$
   • Opseg: $C = 2\pi r$

Rubne situacije i obrada unosa

• Negativni unosi:

  • Negativne vrijednosti nisu valjane za mjere kruga.
  • Kalkulator će prikazati poruku o pogrešci za negativne unose.

• Nula kao unos:

  • Nula je valjan unos, ali rezultira time da su sve druge mjere nula.
  • Fizički, krug s nultim dimenzijama ne postoji, pa unos nule služi kao teorijski slučaj.

• Izuzetno velike vrijednosti:

  • Kalkulator može obraditi vrlo velike brojeve, ograničene preciznošću korištenog programskog jezika.
  • Budite svjesni mogućih pogrešaka zaokruživanja s izuzetno velikim vrijednostima.

• Nenumerički unosi:

  • Unosi moraju biti numerički.
  • Svaki nenumerički unos rezultirat će porukom o pogrešci.

Primjene

Kalkulator mjera kruga je koristan u raznim stvarnim primjenama:

1. Inženjerstvo i arhitektura:

   • Dizajniranje kružnih komponenti poput cijevi, kotača i lukova.
   • Izračunavanje potrebnih materijala za građevinske projekte koji uključuju kružne oblike.

2. Proizvodnja:

   • Određivanje dimenzija dijelova i alata.
   • Izračunavanje putanja rezanja za CNC strojeve.

3. Astronomija i svemirska znanost:

   • Izračunavanje planetarnih orbita, koje se često aproksimiraju kao krugovi.
   • Procjena površine nebeskih tijela.

4. Sv everyday život:

   • Planiranje kružnih vrtova, fontana ili okruglih stolova.
   • Određivanje količine ograde potrebne za kružne ograde.

Alternativa

Iako su krugovi temeljni, postoje alternativni oblici i formule za različite primjene:

• Elipse:

  • Za primjene koje zahtijevaju izdužene krugove.
  • Izračuni uključuju poluvelike i polusitne osi.

• Sekcije i segmenti:

  • Dijelovi kruga.
  • Korisno za izračunavanje površina ili perimetara komadića u obliku pite.

• Redovni mnogokuti:

  • Aproksimacije krugova koristeći oblike poput heksagona ili oktagona.
  • P pojednostavljuje konstrukciju i izračun u nekim inženjerskim kontekstima.

Povijest

Proučavanje krugova datira još od drevnih civilizacija:

• Drevna matematika:

  • Babilonci i Egipćani koristili su aproksimacije za $\pi$.
  • Arhimed (c. 287–212 pr. Kr.) pružio je jedan od prvih zabilježenih algoritama za izračunavanje $\pi$, procjenjujući ga između $\frac{22}{7}$ i $\frac{223}{71}$.

• Razvoj $\pi$:

  • Simbol $\pi$ popularizirao je velški matematičar William Jones 1706. godine, a kasnije ga je usvojio Leonhard Euler.
  • $\pi$ je iracionalni broj koji predstavlja omjer opsega kruga i njegovog promjera.

• Moderna matematika:

  • Krug je bio središnja tema u razvoju trigonometrije, kalkulusa i kompleksne analize.
  • Služi kao temeljni koncept u geometriji i matematičkim dokazima.

Primjeri

Ispod su primjeri koda koji demonstriraju kako izračunati mjere kruga u raznim programskim jezicima:

1## Python kod za izračun mjera kruga
2import math
3
4def calculate_circle_from_radius(radius):
5    diameter = 2 * radius
6    circumference = 2 * math.pi * radius
7    area = math.pi * radius ** 2
8    return diameter, circumference, area
9
10## Primjer korištenja:
11radius = 5
12d, c, a = calculate_circle_from_radius(radius)
13print(f"Radijus: {radius}")
14print(f"Promjer: {d}")
15print(f"Opseg: {c:.2f}")
16print(f"Površina: {a:.2f}")
17

1// JavaScript kod za izračun mjera kruga
2function calculateCircleFromDiameter(diameter) {
3  const radius = diameter / 2;
4  const circumference = Math.PI * diameter;
5  const area = Math.PI * Math.pow(radius, 2);
6  return { radius, circumference, area };
7}
8
9// Primjer korištenja:
10const diameter = 10;
11const { radius, circumference, area } = calculateCircleFromDiameter(diameter);
12console.log(`Radijus: ${radius}`);
13console.log(`Promjer: ${diameter}`);
14console.log(`Opseg: ${circumference.toFixed(2)}`);
15console.log(`Površina: ${area.toFixed(2)}`);
16

1// Java kod za izračun mjera kruga
2public class CircleCalculator {
3    public static void calculateCircleFromCircumference(double circumference) {
4        double radius = circumference / (2 * Math.PI);
5        double diameter = 2 * radius;
6        double area = Math.PI * Math.pow(radius, 2);
7
8        System.out.printf("Radijus: %.2f%n", radius);
9        System.out.printf("Promjer: %.2f%n", diameter);
10        System.out.printf("Opseg: %.2f%n", circumference);
11        System.out.printf("Površina: %.2f%n", area);
12    }
13
14    public static void main(String[] args) {
15        double circumference = 31.42;
16        calculateCircleFromCircumference(circumference);
17    }
18}
19

1// C# kod za izračun mjera kruga
2using System;
3
4class CircleCalculator
5{
6    static void CalculateCircleFromArea(double area)
7    {
8        double radius = Math.Sqrt(area / Math.PI);
9        double diameter = 2 * radius;
10        double circumference = 2 * Math.PI * radius;
11
12        Console.WriteLine($"Radijus: {radius:F2}");
13        Console.WriteLine($"Promjer: {diameter:F2}");
14        Console.WriteLine($"Opseg: {circumference:F2}");
15        Console.WriteLine($"Površina: {area:F2}");
16    }
17
18    static void Main()
19    {
20        double area = 78.54;
21        CalculateCircleFromArea(area);
22    }
23}
24

1## Ruby kod za izračun mjera kruga
2def calculate_circle_from_radius(radius)
3  diameter = 2 * radius
4  circumference = 2 * Math::PI * radius
5  area = Math::PI * radius ** 2
6  return diameter, circumference, area
7end
8
9## Primjer korištenja:
10radius = 5.0
11diameter, circumference, area = calculate_circle_from_radius(radius)
12puts "Radijus: #{radius}"
13puts "Promjer: #{diameter}"
14puts "Opseg: #{circumference.round(2)}"
15puts "Površina: #{area.round(2)}"
16

1<?php
2// PHP kod za izračun mjera kruga
3function calculateCircleFromDiameter($diameter) {
4    $radius = $diameter / 2;
5    $circumference = pi() * $diameter;
6    $area = pi() * pow($radius, 2);
7    return array($radius, $circumference, $area);
8}
9
10// Primjer korištenja:
11$diameter = 10.0;
12list($radius, $circumference, $area) = calculateCircleFromDiameter($diameter);
13echo "Radijus: " . $radius . "\n";
14echo "Promjer: " . $diameter . "\n";
15echo "Opseg: " . round($circumference, 2) . "\n";
16echo "Površina: " . round($area, 2) . "\n";
17?>
18

1// Rust kod za izračun mjera kruga
2fn calculate_circle_from_circumference(circumference: f64) -> (f64, f64, f64) {
3    let radius = circumference / (2.0 * std::f64::consts::PI);
4    let diameter = 2.0 * radius;
5    let area = std::f64::consts::PI * radius.powi(2);
6    (radius, diameter, area)
7}
8
9fn main() {
10    let circumference = 31.42;
11    let (radius, diameter, area) = calculate_circle_from_circumference(circumference);
12    println!("Radijus: {:.2}", radius);
13    println!("Promjer: {:.2}", diameter);
14    println!("Opseg: {:.2}", circumference);
15    println!("Površina: {:.2}", area);
16}
17

1// Go kod za izračun mjera kruga
2package main
3
4import (
5    "fmt"
6    "math"
7)
8
9func calculateCircleFromArea(area float64) (radius, diameter, circumference float64) {
10    radius = math.Sqrt(area / math.Pi)
11    diameter = 2 * radius
12    circumference = 2 * math.Pi * radius
13    return
14}
15
16func main() {
17    area := 78.54
18    radius, diameter, circumference := calculateCircleFromArea(area)
19    fmt.Printf("Radijus: %.2f\n", radius)
20    fmt.Printf("Promjer: %.2f\n", diameter)
21    fmt.Printf("Opseg: %.2f\n", circumference)
22    fmt.Printf("Površina: %.2f\n", area)
23}
24

1// Swift kod za izračun mjera kruga
2import Foundation
3
4func calculateCircleFromRadius(radius: Double) -> (diameter: Double, circumference: Double, area: Double) {
5    let diameter = 2 * radius
6    let circumference = 2 * Double.pi * radius
7    let area = Double.pi * pow(radius, 2)
8    return (diameter, circumference, area)
9}
10
11// Primjer korištenja:
12let radius = 5.0
13let results = calculateCircleFromRadius(radius: radius)
14print("Radijus: \(radius)")
15print("Promjer: \(results.diameter)")
16print("Opseg: \(String(format: "%.2f", results.circumference))")
17print("Površina: \(String(format: "%.2f", results.area))")
18

1% MATLAB kod za izračun mjera kruga
2function [radius, diameter, circumference, area] = calculateCircleFromRadius(radius)
3    diameter = 2 * radius;
4    circumference = 2 * pi * radius;
5    area = pi * radius^2;
6end
7
8% Primjer korištenja:
9radius = 5;
10[~, diameter, circumference, area] = calculateCircleFromRadius(radius);
11fprintf('Radijus: %.2f\n', radius);
12fprintf('Promjer: %.2f\n', diameter);
13fprintf('Opseg: %.2f\n', circumference);
14fprintf('Površina: %.2f\n', area);
15

1' Excel formula to calculate circle measurements from radius
2' Assuming radius is in cell A1
3Promjer: =2*A1
4Opseg: =2*PI()*A1
5Površina: =PI()*A1^2
6

Numerički primjeri

1. Dani radijus (( r = 5 ) jedinica):

   • Promjer: ( d = 2 \times 5 = 10 ) jedinica
   • Opseg: ( C = 2\pi \times 5 \approx 31.42 ) jedinica
   • Površina: ( A = \pi \times 5^2 \approx 78.54 ) kvadratnih jedinica

2. Dani promjer (( d = 10 ) jedinica):

   • Radijus: ( r = \frac{10}{2} = 5 ) jedinica
   • Opseg: ( C = \pi \times 10 \approx 31.42 ) jedinica
   • Površina: ( A = \frac{\pi \times 10^2}{4} \approx 78.54 ) kvadratnih jedinica

3. Dani opseg (( C = 31.42 ) jedinica):

   • Radijus: ( r = \frac{31.42}{2\pi} \approx 5 ) jedinica
   • Promjer: ( d = 2 \times 5 = 10 ) jedinica
   • Površina: ( A = \pi \times 5^2 \approx 78.54 ) kvadratnih jedinica

4. Dana površina (( A = 78.54 ) kvadratnih jedinica):

   • Radijus: ( r = \sqrt{\frac{78.54}{\pi}} \approx 5 ) jedinica
   • Promjer: ( d = 2 \times 5 = 10 ) jedinica
   • Opseg: ( C = 2\pi \times 5 \approx 31.42 ) jedinica

Dijagrami

Ispod je dijagram kruga koji ilustrira radijus (( r )), promjer (( d )), opseg (( C )) i površinu (( A )).

Slika: Dijagram kruga koji ilustrira radijus (( r )), promjer (( d )), opseg (( C )) i površinu (( A )).

Reference

1. "Krug." Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/Circle.html.
2. "Opseg i površina kruga." Khan Academy, https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles.
3. Beckmann, Petr. Povijest ( \pi ). St. Martin's Press, 1971.
4. Arhimed. Mjerenje kruga, https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf.