Rješavač Young-Laplace jednadžbe | Tlak sučelja

Što je Young-Laplaceova jednadžba?

Young-Laplaceova jednadžba je formula u mehanici fluida koja određuje razliku tlakova preko zakrivljenog sučelja između dviju fluida, poput površine vodene kapljice ili mjehurića od sapunice. Pokazuje da ta razlika tlakova ovisi o površinskoj napetosti fluida i o tome koliko je oštro sučelje zakrivljeno. Jednadžba objašnjava zašto se tlak povećava unutar kapljica i mjehurića te zašto manje kapljice i mjehurići imaju veći unutarnji tlak od većih.

Nazvana je po Thomasu Youngu i Pierreu-Simonu Laplaceu, koji su svaki zasebno opisali taj odnos početkom 1800-ih.

Formula Young-Laplaceove jednadžbe

Opći oblik jednadžbe glasi:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ je razlika tlakova preko sučelja, izražena u paskalima (Pa)
• $\gamma$ (gama) je površinska napetost fluida, izražena u njutnima po metru (N/m)
• $R_1$ i $R_2$ dva su glavna polumjera zakrivljenosti površine, izražena u metrima (m)

Površina se zakrivljuje različito u različitim smjerovima. $R_1$ i $R_2$ opisuju zakrivljenost duž dvaju međusobno okomitih smjerova. Za kuglu, poput kapljice ili mjehurića, $R_1$ jednako je $R_2$, pa se formula pojednostavnjuje na:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Konvencija predznaka

Tlak je uvijek viši na konkavnoj strani zakrivljenog sučelja, odnosno na strani od koje se površina izbočuje. Za kapljicu ili mjehurić to znači da je tlak unutar njih viši od vanjskog tlaka. Polumjer se smatra pozitivnim kada se njegovo središte zakrivljenosti nalazi na strani s višim tlakom. Ako se površina u jednom smjeru zakrivljuje na suprotnu stranu, taj se polumjer smatra negativnim. Sedlasto sučelje, poput tekućeg vrata između dviju dodirujućih čestica, ima jedan pozitivan i jedan negativan polumjer, pa se ta dva člana djelomično poništavaju.

Ovaj kalkulator upotrebljava samo pozitivne polumjere.

Posebni slučajevi

• Ravna površina: kako polumjer raste prema beskonačnosti, njegov se član u formuli smanjuje prema nuli. Savršeno ravno sučelje uopće nema razliku tlakova.
• Cilindar: duga cilindrična površina, poput mlaza tekućine koji izlazi iz mlaznice, zakrivljena je samo u jednom smjeru. Jedan je polumjer polumjer cilindra, a drugi je beskonačan duž njegove duljine, pa se formula svodi na $\Delta P = \gamma / R$. To je polovica razlike tlakova kugle istog polumjera.
• Vrlo male skale: ispod približno 10 do 20 nanometara dodatni učinci, poput linijske napetosti, postaju značajni pa jednostavna jednadžba gubi točnost.

Kako izračunati razliku tlakova Young-Laplaceovom jednadžbom

1. Odredite površinsku napetost fluida, u N/m, pri temperaturi koja vas zanima. Površinska napetost smanjuje se s porastom temperature.
2. Izmjerite ili procijenite prvi glavni polumjer zakrivljenosti, $R_1$, u metrima.
3. Izmjerite ili procijenite drugi glavni polumjer zakrivljenosti, $R_2$, u metrima. Za kuglu upotrijebite istu vrijednost kao za $R_1$. Za cilindar upotrijebite vrlo velik broj kao zamjenu za beskonačnost.
4. Pomnožite površinsku napetost sa zbrojem $1/R_1$ i $1/R_2$. Rezultat je razlika tlakova u paskalima.

Sve vrijednosti izražavajte u jedinicama SI. Miješanje milimetara i metara, na primjer, dovodi do pogreške faktora tisuću.

Primjer izračuna

Uzmimo vodenu kapljicu sferičnog oblika, polumjera 1 milimetra (0,001 m) i površinske napetosti 0,072 N/m, što je tipična vrijednost za vodu blizu sobne temperature.

Budući da je kapljica kugla, $R_1 = R_2 = R$, pa:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Tlak unutar kapljice viši je za 144 Pa od tlaka okolnog zraka. To je malo u usporedbi s normalnim atmosferskim tlakom, koji iznosi oko 101.325 Pa, ali učinak brzo raste kako se kapljica smanjuje. Kapljica čiji je polumjer deset puta manji, 0,1 mm, ima deset puta veću razliku tlakova: 1.440 Pa. Kapljica polumjera 0,01 mm doseže 14.400 Pa, što je više od 14 % atmosferskog tlaka.

Gdje se jednadžba primjenjuje

• Kapljice i mjehurići: povišeni tlak unutar malih kapljica pokreće Ostwaldovo zrenje, proces u kojem se male kapljice u emulziji smanjuju, dok veće rastu jer njihov sadržaj difundira iz područja visokog tlaka u područje niskog tlaka.
• Kapilarno djelovanje: zakrivljena površina unutar uske cijevi povlači tekućinu prema gore. Zato se voda podiže u papirnatim ručnicima i uskim staklenim cijevima.
• Disanje: sitne zračne vrećice u plućima, koje se nazivaju alveolama, ponašaju se poput malih mjehurića. Sloj koji se naziva plućni surfaktant smanjuje površinsku napetost pa se male alveole ne urušavaju pod tlakom koji predviđa jednadžba. Nedonoščad kojoj nedostaje dovoljno surfaktanta zbog toga može imati poteškoće s disanjem.
• Inkjetni ispis: mlaznice pisača oblikuju kapljice široke nekoliko desetaka mikrometara, pri čemu je tlak koji proizlazi iz zakrivljenosti dovoljno velik da oblikuje način na koji tinta izlazi iz mlaznice.
• Znanost o materijalima: instrumenti koji mjere kako tekućine moče površinu i kako se ponašaju tanki premazi upotrebljavaju jednadžbu za povezivanje oblika kapljice s njezinom površinskom energijom.

Povijest

Ljudi su opažali kako se tekućine podižu u uskim cijevima mnogo prije nego što je itko objasnio zašto. Početkom 1700-ih Francis Hauksbee eksperimentalno je pokazao da uže cijevi uzrokuju veći kapilarni uspon, a 1718. James Jurin opisao je uspon kao obrnuto proporcionalan promjeru cijevi.

Thomas Young objasnio je temeljnu fiziku u radu iz 1805., uvevši površinsku napetost kao svojstvo fluida i povezujući je s tlakom preko zakrivljenih površina, premda je njegov pristup uglavnom bio opisni. Godine 1806. Pierre-Simon Laplace izveo je matematički oblik primjenom diferencijalnog računa i neovisno došao do istog odnosa. Njihov zajednički rad postao je Young-Laplaceova jednadžba. Kasniji znanstvenici, među njima Carl Friedrich Gauss i Joseph Plateau, provjeravali su i proširivali teoriju tijekom 1800-ih.

Često postavljana pitanja

Što izračunava Young-Laplaceova jednadžba? Izračunava razliku tlakova preko zakrivljenog sučelja između dviju fluida na temelju površinske napetosti fluida i zakrivljenosti sučelja.

Zašto je tlak viši unutar manje kapljice? Površinska napetost djeluje duž ruba kapljice, a ta sila raste razmjerno polumjeru. Površina na koju tlak mora djelovati raste s kvadratom polumjera. Izjednačavanjem tih dviju veličina dobiva se $\Delta P = 2\gamma/R$, pa je razlika tlakova obrnuto proporcionalna polumjeru: prepolovite polumjer i razlika tlakova udvostručuje se.

Kako temperatura utječe na jednadžbu? Temperatura mijenja vrijednost površinske napetosti, a površinska napetost smanjuje se s porastom temperature. Kod vode površinska napetost pada s približno 0,073 N/m pri 20 °C na otprilike 0,063 N/m pri 80 °C, što je smanjenje od približno 0,17 mN/m za svaki Celzijev stupanj. Površinska napetost pri sobnoj temperaturi veća je nego kod vruće vode, pa se uporabom vrijednosti za sobnu temperaturu u vrućem sustavu precjenjuje razlika tlakova.

Vrijedi li jednadžba za oblike različite od kugle? Da. Opći oblik, s dvama zasebnim polumjerima $R_1$ i $R_2$, obuhvaća svaku zakrivljenu površinu, uključujući elipsoide i sedlasto oblikovana sučelja. Samo je pojednostavljena verzija $2\gamma/R$ ograničena na kugle.

Po čemu se Young-Laplaceova jednadžba razlikuje od Youngove jednadžbe? Young-Laplaceova jednadžba daje razliku tlakova uzrokovanu zakrivljenim sučeljem. Youngova jednadžba, zaseban odnos koji također potječe od Thomasa Younga, daje kontaktni kut koji kapljica zatvara na mjestu dodira s čvrstom površinom, na temelju površinskih energija triju uključenih materijala. One opisuju različite pojave i ponekad se upotrebljavaju zajedno za analizu kapljice koja miruje na površini.

Koliko mala može biti kapljica prije nego što jednadžba prestane vrijediti? Jednadžba ostaje točna do približno 1 mikrometra. Ispod otprilike 10 do 20 nanometara dodatne sile koje jednadžba zanemaruje, uključujući linijsku napetost i molekularne sile između površina, postaju dovoljno velike da utječu na rezultat pa su potrebni detaljniji modeli.

Reference

1. Young, T. (1805). „An Essay on the Cohesion of Fluids.” Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P. S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, dodatak knjizi 10.
3. de Gennes, P. G., Brochard-Wyart, F. i Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A. W. i Gast, A. P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6. izdanje). Wiley-Interscience.