Kör kalkulátor: Sugár, átmérő, terület és kerület meghatározása

Körszámoló

A körszámoló a kör sugarát, átmérőjét, kerületét és területét határozza meg e négy érték bármelyikéből. Adjon meg egyetlen ismert mérési értéket, a számoló pedig szabványos geometriai képletekkel kiszámítja a másik hármat.

A kör egy sík azon pontjainak halmaza, amelyek egy középponttól rögzített távolságra helyezkednek el. Ez a rögzített távolság a sugár. Az átmérő, a kerület és a terület mind önmagában a sugárból következik.

A kalkulátor használata

1. Válassza ki az ismert paramétert: sugár, átmérő, kerület vagy terület.
2. Adja meg a numerikus értékét. Az értéknek nullának vagy annál nagyobbnak kell lennie; a negatív hosszúságoknak és területeknek nincs fizikai értelmük.
3. A számoló megjeleníti a sugarat, az átmérőt, a kerületet és a területet, mindegyiket két tizedesjegyre kerekítve.

A számoló a kört is megrajzolja. A rajz vázlatos, nem méretarányos, ezért egy apró kör és egy hatalmas kör körülbelül azonos méretűnek látszik.

A nulla megadása engedélyezett, és mind a négy mérési értékre nullát ad eredményül, mivel a nulla sugarú kör egyetlen pont. A nem numerikus bejegyzések eredmény helyett érvényesítési hibát okoznak.

Körképletek

Legyen r a sugár, d pedig az átmérő jele. A π (pí) konstans megközelítőleg 3,14159; ez a kör kerületének és átmérőjének hányadosa.

Átmérő a sugárból:

$d = 2r$

Kerület:

$C = 2\pi r = \pi d$

Terület:

$A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Sugár a kerületből:

$r = \frac{C}{2\pi}$

Sugár a területből:

$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$

Bármely egyetlen értékből kiszámítható a másik három: először meghatározzuk a sugarat, majd alkalmazzuk a fenti átmérő-, kerület- és területképleteket.

Körmérési értékek kiszámítása az egyes kiinduló értékekből

Kiindulás a sugárból (r):

• Átmérő: $d = 2r$
• Kerület: $C = 2\pi r$
• Terület: $A = \pi r^2$

Kiindulás az átmérőből (d):

• Sugár: $r = \frac{d}{2}$
• Kerület: $C = \pi d$
• Terület: $A = \frac{\pi d^2}{4}$

Kiindulás a kerületből (C):

• Sugár: $r = \frac{C}{2\pi}$
• Átmérő: $d = \frac{C}{\pi}$
• Terület: $A = \pi r^2$

Kiindulás a területből (A):

• Sugár: $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
• Átmérő: $d = 2r$
• Kerület: $C = 2\pi r$

Megoldott példa

Egy kör sugara 5 egység.

• Átmérő: d = 2 × 5 = 10 egység.
• Kerület: C = 2π × 5 ≈ 31,42 egység.
• Terület: A = π × 5² ≈ 78,54 négyzetegység.

Ugyanez a kör megadható a körülbelül 31,42 egységnyi kerületével is. Ha 31,42-et elosztjuk 2π-vel, kerekítés után 5,00 egységet kapunk, így visszakapjuk a sugarat, az átmérő és a terület pedig a korábbiak szerint következik. A négy érték bármelyike meghatározza a másik hármat.

Körképletek a geometriában

A π szám irracionális, vagyis tizedesjegyei soha nem érnek véget és nem ismétlődnek. Az ókori matematikusok közelítéseket használtak: a babilóniaiak és az egyiptomiak durva törteket alkalmaztak, Szürakuszai Arkhimédész pedig körülbelül 250-ben megmutatta, hogy a π 223/71 és 22/7 közé esik, egy körbe írt és köré írt sokszögek segítségével. A π jelet a matematikus Leonhard Euler tette széles körben használttá a 18. században. A modern számológépek a π-nek sokkal több tizedesjegyét használják, mint amennyit bármely fizikai mérés igényel.

A körképleteket csövek, fogaskerekek és kerekek méretezésére, egy kör alakú szerkezet anyagszükségletének kiszámítására, valamint a csillagászati pályák modellezésére használják.

Gyakran ismételt kérdések

Hogyan számítható ki egy kör kerülete? Szorozza meg a sugarat 2π-vel, vagy az átmérőt π-vel: C = 2πr = πd. Egy 5 egység sugarú kör kerülete körülbelül 31,42 egység.

Mi a kör területének képlete? A terület a π és a sugár négyzetének szorzata: A = πr². Egy 5 egység sugarú kör területe körülbelül 78,54 négyzetegység.

Hogyan határozható meg a sugár a kerületből? Ossza el a kerületet 2π-vel (körülbelül 6,2832-del). A 31,42 egységnyi kerület körülbelül 5 egység sugarat ad.

Hogyan határozható meg a sugár a területből? Ossza el a területet π-vel, majd vonjon négyzetgyököt: r = √(A / π). A 78,54 négyzetegységnyi terület körülbelül 5 egység sugarat ad.

Mi az átmérő és a sugár kapcsolata? Az átmérő mindig a sugár kétszerese (d = 2r), a sugár pedig mindig az átmérő fele (r = d / 2).

Használható bármilyen mértékegység a kör mérési értékeihez? Igen. A sugár, az átmérő és a kerület ugyanazt a hosszmértékegységet használja, például centimétert vagy hüvelyket, a területet pedig ennek a mértékegységnek a négyzetében adjuk meg. A számoló nem vált át a mértékegységek között; az eredmények a megadott mértékegységet használják.

Hivatkozások

1. "Circle." Wolfram MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/Circle.html
2. "Circumference and Area of a Circle." Khan Academy. https://www.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-circles
3. Beckmann, Petr. A History of π. St. Martin's Press, 1971.
4. Arkhimédész. Measurement of a Circle. https://www.math.ubc.ca/~vjungic/students/Archimedes-Measurement%20of%20a%20Circle.pdf