Derékszögű kúp kalkulátor - Térfogat, Felszín és Képletek

Mi az egyenes körkúp?

Az egyenes körkúp olyan tömör test, amelynek sík kör alakú alaplapja és egyetlen pontban, a csúcsban végződő, görbült oldalfelülete van. Azért „egyenes”, mert a csúcs közvetlenül az alaplap középpontja fölött helyezkedik el. A csúcsból az alaplapra merőlegesen húzott egyenes derékszögben találkozik az alaplappal. Ez a számológép a kúp térfogatát, alaplapjának területét, palástjának területét és teljes felszínét számítja ki a sugara és magassága alapján.

Ilyen alakú például a közlekedési bója, a tölcsér, a fagylalttölcsér és egyes tornyok teteje.

A kúp méretei

Az egyenes körkúpot két méret írja le:

• Sugár (r): a kör alakú alaplap középpontja és a kerülete közötti távolság.
• Magasság (h): az alaplap és a csúcs közötti egyenes függőleges távolság.

Egy harmadik hosszúság, az alkotó (l), a kúp külső felületén, a csúcstól az alaplap széléig mért távolság. Ezt nem közvetlenül mérjük. Ehelyett a sugárból és a magasságból számítjuk ki, mivel ez a három hosszúság egy derékszögű háromszöget alkot. A számológép az alkotót használja a palást területének kiszámításához, de külön eredményként nem jeleníti meg.

A számológép nem rögzít mértékegységet. A sugarat és a magasságot ugyanabban a mértékegységben kell megadni. Minden terület ennek a mértékegységnek a négyzetében, a térfogat pedig a köbében jelenik meg. Egyik érték sem lehet negatív, mert a hosszúság nem lehet negatív; ilyen esetben a számológép eredmény helyett üzenetet jelenít meg. Az eredmények négy tizedesjegy pontossággal jelennek meg.

A kúp képletei

Az alkotó képlete

A sugár, a magasság és az alkotó derékszögű háromszöget alkot, ezért az alkotó a Pitagorasz-tétel alapján számítható ki:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Az alaplap területének képlete

Az alaplap kör, ezért a területét a kör területének szokásos képletével számítjuk ki:

$$A_b = \pi r^2$$

A palást területének képlete

A palást területe csak a görbült oldalfelületet foglalja magában, az alaplapot nem. Ha a görbült oldalfelületet síkba terítenénk, egy körcikket alkotna, amelynek területe:

$$A_l = \pi r l$$

A teljes felszín képlete

A teljes felszín az alaplap és a palást területének összege:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Egy alul nyitott kúpnak, például egy papírtölcsérnek, az anyagszükséglet kiszámításához csak a palást területére van szüksége.

Kúptérfogat-képlet

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

A kúp térfogata pontosan az azonos alapterületű és magasságú henger térfogatának egyharmada. Arkhimédész ezt az összefüggést az integrálszámítás megjelenése előtti módszerrel bizonyította. Később integrálszámítással is igazolták, amely a kúpot az alaplaptól a csúcsig zsugorodó kör alakú korongok végtelen soraként kezeli.

A kúp térfogatának kiszámítása: részletes példa

Vegyünk egy kúpot, amelynek sugara r = 5 egység, magassága pedig h = 12 egység.

1. Az alkotó meghatározása.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ mértékegység}$$

2. Az alaplap területének meghatározása.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ mértékegység}^2$$

3. A palást területének meghatározása.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ mértékegység}^2$$

4. A teljes felszín meghatározása.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ mértékegység}^2$$

5. A térfogat meghatározása.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ mértékegység}^3$$

Ábra

A szaggatott függőleges vonal a magasságot jelöli az alaplaptól a csúcsig. A szaggatott vízszintes vonal a sugarat jelöli az alaplap középpontjától a széléig.

A kúpok előfordulása a mindennapi életben

A kúp térfogatának és felszínének számítása több gyakorlati területen is előfordul:

• Lemezmegmunkálás: a palást területe megadja a kúpos garat, tölcsér vagy légcsatorna-szűkítő elkészítéséhez szükséges sík anyag mennyiségét, még a varratokhoz és a hulladékhoz hozzáadandó ráhagyás előtt.
• Tárolókapacitás: a térfogat képlete megadja a kúpos tartályok és a silók kúpos fenekének befogadóképességét.
• Építőipar: a toronysisakok, a toronysapkák és más kúpos tetőelemek esetén a palást területéből becsülik meg a tetőfedő anyag mennyiségét.
• Mindennapi tárgyak: a papírpoharak, a fagylalttölcsérek és a közlekedési bóják mind megközelítőleg egyenes körkúpok.

Ez a számológép tökéletes kúpot feltételez, amelynek kör alakú alaplapja van, és a csúcsa az alaplap középpontja fölött helyezkedik el. A felül levágott kúphoz, amelyet csonkakúpnak nevezünk, más képletekre van szükség, mivel egy helyett két sugara van.

Története

Az ókori görög matematikusok már i. e. 300 körül is tanulmányozták a kúpokat. Eukleidész Elemek című műve a kúpot olyan testként határozta meg, amely egy derékszögű háromszög egyik befogója körüli elforgatásával keletkezik. Később pergéi Apollóniosz a kúp különböző szögben történő síkmetszésekor keletkező görbéket tanulmányozta; ezeket ma kúpszeleteknek nevezzük: a kört, az ellipszist, a parabolát és a hiperbolát. A V = (1/3)πr²h térfogatképletet Arkhimédész a kimerítéses módszerrel bizonyította, amely körülbelül 2 000 évvel megelőlegezte az integrálszámítást.

Gyakran ismételt kérdések

Mitől „egyenes körkúp” egy kúp?

Az „egyenes” azt jelenti, hogy a csúcs közvetlenül az alaplap középpontja fölött van, ezért a tengely merőleges az alaplapra. Ferde kúpnál a csúcs az egyik oldal felé eltolódik. A „kör” azt jelenti, hogy az alaplap kör, nem pedig ellipszis vagy más alakzat.

Mi a kúp térfogatának képlete?

V = (1/3)πr²h, ahol r az alaplap sugara, h pedig a merőleges magasság. A térfogat kiszámításához nincs szükség az alkotóra.

Mi a kúp felszínének képlete?

A teljes felszín A = πr² + πrl, ahol r a sugár, l pedig az alkotó. Az első tag az alaplap területe, a második a palást területe. Az első tagot el kell hagyni, ha a kúpnak nincs alaplapja, például nyitott tölcsér esetén.

Mi az alkotó, és miben különbözik a magasságtól?

A magasság az alaplap és a csúcs közötti egyenes függőleges távolság, amelyet a kúp belsején keresztül mérünk. Az alkotó a csúcs és az alaplap széle közötti, a külső felület mentén mért távolság. Kapcsolatuk: l = √(r² + h²); ha a sugár nullánál nagyobb, az alkotó mindig hosszabb a magasságnál.

Hogyan számítható ki a kúp térfogata az átmérőből?

Az átmérőt el kell osztani 2-vel a sugár meghatározásához, majd használható a V = (1/3)πr²h képlet. Például egy 10 cm átmérőjű és 15 cm magasságú kúp sugara 5 cm, ezért V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Működik ez a számológép csonkakúpok esetén is?

Nem. A csonkakúp olyan kúp, amelynek a tetejét levágták, ezért egy helyett két sugara van, és a térfogatához, valamint a felszínéhez saját képletekre van szükség.