Kalkulator Indeks Miller - Konversi Intersep Bidang Kristal ke (hkl)

Apa itu indeks Miller?

Indeks Miller adalah sekumpulan tiga bilangan bulat, yang ditulis (h,k,l), untuk mengidentifikasi suatu bidang dalam kisi kristal. Kisi kristal adalah susunan atom yang berulang dan teratur dalam bahan padat. Indeks Miller memberi tahu ilmuwan secara tepat irisan mana melalui kisi yang diwakili oleh suatu bidang, tanpa perlu menjelaskan geometrinya dengan kata-kata. Indeks ini diperkenalkan oleh ahli mineralogi Inggris William Hallowes Miller pada 1839 dan tetap menjadi notasi baku dalam kristalografi hingga saat ini.

Kalkulator ini mengonversi titik potong suatu bidang pada sumbu kristalografi x, y, dan z menjadi indeks Miller (h,k,l).

Rumus indeks Miller

Indeks Miller diperoleh dari kebalikan titik potong bidang dengan sumbu. Jika suatu bidang memotong sumbu x, y, dan z pada jarak a, b, dan c dari titik asal, indeksnya memenuhi:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

Cara menghitung indeks Miller dari titik potong

1. Tentukan tempat bidang memotong setiap sumbu, yang diukur dalam satuan panjang rusuk sel satuan. Sebut titik potong ini a, b, dan c.
2. Ambil kebalikan dari setiap titik potong: 1/a, 1/b, 1/c.
3. Kalikan ketiga nilai kebalikan dengan bilangan yang sama sehingga masing-masing menjadi bilangan bulat.
4. Bagi ketiga bilangan bulat tersebut dengan faktor persekutuan terbesar, sehingga tidak dapat disederhanakan lebih lanjut.

Ketiga bilangan bulat yang dihasilkan adalah h, k, dan l. Bidang yang tidak pernah memotong suatu sumbu dianggap memotongnya di tak terhingga, dan 1 dibagi tak terhingga adalah 0, sehingga sumbu tersebut mendapat indeks Miller 0.

Contoh perhitungan

Suatu bidang memotong sumbu x pada 2, sumbu y pada 3, dan sumbu z pada 6.

1. Titik potong: (2, 3, 6)
2. Kebalikan: (1/2, 1/3, 1/6)
3. Kalikan dengan kelipatan persekutuan terkecil penyebut, 6: (3, 2, 1)
4. Faktor persekutuan terbesar dari 3, 2, dan 1 adalah 1, sehingga bilangan-bilangan tersebut tidak dapat disederhanakan lebih lanjut.

Indeks Miller tersebut adalah (321).

Contoh lain

• Suatu bidang yang melalui (1, ∞, 2)—sejajar dengan sumbu y—memiliki kebalikan (1, 0, 1/2). Mengalikannya dengan 2 menghasilkan (2, 0, 1). Nilai 0 menunjukkan bahwa bidang tersebut tidak pernah memotong sumbu y.
• Suatu bidang yang melalui (-1, 2, 3) memiliki kebalikan (-1, 1/2, 1/3). Mengalikannya dengan 6 menghasilkan (-6, 3, 2), yang biasanya ditulis (6̄32) dengan garis di atas indeks negatif.
• Suatu bidang yang melalui (1, ∞, ∞) memiliki kebalikan (1, 0, 0), sehingga menghasilkan (100). Ini adalah salah satu dari enam sisi kubus.

Kasus khusus

Bidang yang sejajar dengan suatu sumbu tidak pernah memotongnya, sehingga titik potong tersebut dianggap tak terhingga dan indeks Millernya adalah 0. Bidang yang memotong sumbu di sisi negatif titik asal mendapat indeks negatif, yang dalam notasi formal ditulis dengan garis di atas bilangan, atau dengan tanda minus dalam teks biasa. Bidang yang melalui titik asal itu sendiri tidak memiliki indeks Miller yang terdefinisi, karena setiap keluarga bidang sejajar dalam kisi harus berjarak dari titik asal agar dapat diberi indeks; titik asal harus digeser sebelum bidang tersebut dapat dideskripsikan. Titik potong pecahan ditangani dengan cara yang sama seperti bilangan bulat: ambil kebalikan masing-masing, lalu hilangkan pecahannya.

Indeks selalu direduksi menjadi bilangan bulat terkecil yang mungkin. (622) dan (311) menggambarkan keluarga bidang yang sama, tetapi kristalografer selalu menulis (311).

Cara menggunakan kalkulator ini

Masukkan titik potong bidang pada sumbu x, y, dan z.

• Gunakan bilangan positif untuk titik potong di sisi positif titik asal, dan bilangan negatif untuk sisi negatif.
• Ketik "infinity", "inf", atau "∞" untuk bidang yang sejajar dengan suatu sumbu.
• Titik potong nol tidak diterima, karena bidang yang melalui titik asal tidak dapat diberi indeks Miller dengan metode ini.

Kalkulator menghitung indeks secara langsung dan menampilkan diagram bidang di dalam sel satuan.

Penerapan indeks Miller

Difraksi sinar-X. Setiap titik atau puncak dalam pola difraksi sinar-X berhubungan dengan sekumpulan bidang kisi dengan (hkl) tertentu. Hukum Bragg menghubungkan jarak antarbidang tersebut dengan sudut difraksi:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

Di sini d_hkl adalah jarak antarbidang (h,k,l), λ adalah panjang gelombang sinar-X, dan θ adalah sudut difraksi. Mencocokkan puncak yang diamati dengan nilai (hkl), suatu proses yang disebut pengindeksan, merupakan langkah dasar untuk mengidentifikasi struktur kristal yang tidak diketahui.

Ilmu bahan. Bidang kristal yang berbeda menyingkap susunan atom yang berbeda, sehingga memiliki energi permukaan dan laju reaksi kimia yang berbeda, serta berperan berbeda dalam deformasi logam. Pada logam berstruktur kubik berpusat muka seperti aluminium, bidang atom paling mudah bergeser satu sama lain sepanjang bidang {111}. Wafer silikon untuk cip komputer biasanya dipotong sepanjang bidang (100) atau (111), karena pilihan tersebut memengaruhi perilaku tahap-tahap manufaktur berikutnya.

Mineralogi. Permukaan datar pada kristal alami dan arah yang memungkinkan mineral terbelah dengan bersih (belahannya) sama-sama berhubungan dengan bidang berindeks rendah tertentu. Halit (garam dapur) membelah sepanjang bidang {100}, sedangkan fluorit membelah sepanjang bidang {111}.

Indeks Miller-Bravais untuk kristal heksagonal

Kristal heksagonal, seperti magnesium, seng, dan titanium, biasanya dideskripsikan dengan sistem empat indeks (hkil), bukan tiga indeks. Indeks tambahan i tidak independen; nilainya selalu i = -(h+k). Bentuk ini memudahkan pengenalan bahwa dua bidang termasuk dalam keluarga yang ekuivalen secara simetri, yang tidak selalu terlihat jelas hanya dari notasi Miller tiga indeks dalam kisi heksagonal.

Sejarah

Indeks Miller diperkenalkan oleh William Hallowes Miller dalam bukunya A Treatise on Crystallography pada 1839. Sistem pelabelan permukaan kristal yang lebih awal sudah ada, tetapi metode Miller yang menggunakan kebalikan titik potong memudahkan penanganan bidang yang sejajar dengan suatu sumbu, karena titik potongnya tak terhingga dan kebalikannya cukup berupa 0. Setelah Max von Laue menemukan difraksi sinar-X oleh kristal pada 1912, William Henry Bragg dan William Lawrence Bragg menunjukkan bahwa indeks Miller secara tepat mendeskripsikan bidang yang bertanggung jawab atas puncak difraksi; atas karya ini, mereka berbagi Hadiah Nobel Fisika 1915.

Pertanyaan yang sering diajukan

Untuk apa indeks Miller digunakan? Indeks ini mengidentifikasi bidang tertentu dalam kisi kristal. Indeks tersebut digunakan untuk mengindeks puncak difraksi sinar-X dan elektron, mendeskripsikan bidang gelincir pada logam, menentukan orientasi wafer semikonduktor, serta memberi label pada permukaan dan belahan mineral.

Apa arti angka nol dalam indeks Miller? Artinya bidang tersebut sejajar dengan sumbu itu dan tidak pernah memotongnya. Sebagai contoh, (201) sejajar dengan sumbu y.

Apa arti indeks Miller negatif? Indeks tersebut berarti bidang memotong sumbu itu di sisi negatif titik asal. Indeks negatif ditulis dengan garis di atas bilangan, seperti (2̄11), atau dengan tanda minus, seperti (-2,1,1).

Mengapa bidang yang melalui titik asal tidak dapat memiliki indeks Miller? Indeks Miller diperoleh dari kebalikan titik potong. Bidang yang melalui titik asal memotong setiap sumbu pada 0, dan 1/0 tidak terdefinisi, sehingga metode ini tidak dapat memberikan indeks kecuali bidang tersebut digeser.

Apa perbedaan antara indeks Miller dan Miller-Bravais? Indeks Miller (hkl) menggunakan tiga bilangan dan berlaku untuk semua sistem kristal. Indeks Miller-Bravais (hkil) menambahkan indeks keempat yang bergantung pada indeks lainnya dan terutama digunakan untuk kristal heksagonal, karena memudahkan pengenalan bidang yang ekuivalen secara simetri.

Bagaimana jarak antarbidang berkaitan dengan indeks Miller? Dalam kristal kubik dengan panjang rusuk a, jarak antara bidang (hkl) yang berdekatan adalah d = a / √(h² + k² + l²). Bidang dengan indeks lebih tinggi memiliki jarak yang lebih rapat. Sistem kristal lain menggunakan rumus yang serupa tetapi lebih kompleks, yang memperhitungkan panjang sumbu yang tidak sama dan sudut yang bukan 90°.

Referensi

1. Miller, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. Cambridge: J. & J. J. Deighton.
2. Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (edisi ke-4). Oxford University Press.
4. Cullity, B. D., & Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (edisi ke-3). Pearson Education.
5. International Union of Crystallography. (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley.