Calcolatore del piano di risparmio: valore futuro

Calcolatore del piano di risparmio

Un calcolatore del piano di risparmio stima quanto varrà un conto di risparmio o d'investimento dopo un numero di anni scelto. Combina un versamento iniziale una tantum con un contributo periodico effettuato mensilmente, trimestralmente o annualmente, facendo crescere entrambi con l'interesse composto.

Cosa fa il calcolatore

Il calcolatore richiede sette dati: il versamento iniziale, il contributo periodico, la frequenza dei contributi (mensile, trimestrale o annuale), se ciascun contributo viene accreditato all'inizio o alla fine del periodo, il tasso d'interesse annuo, la frequenza di capitalizzazione degli interessi e il numero di anni per cui il denaro cresce.

Restituisce tre valori: il valore futuro (il saldo finale), i contributi totali (il versamento iniziale più tutti i versamenti periodici) e gli interessi totali maturati (la differenza tra i due). Un grafico mostra il saldo alla fine di ogni periodo contributivo.

Il versamento iniziale può andare da 0 USD a 1 USD trilioni e il contributo da 0 USD a 1 USD miliardi per periodo. Il tasso d'interesse può variare da 0% a 100%. Il numero di anni deve essere maggiore di 0 e non superiore a 100. Almeno uno tra il versamento e il contributo deve essere superiore a 0 USD.

Come calcolare il valore futuro di un piano di risparmio

Vengono combinati due risultati standard, descritti entrambi negli articoli di Wikipedia «Valore futuro» e «Rendita».

Il versamento iniziale cresce esclusivamente grazie all'interesse composto:

VF(deposito) = P₀ × (1 + i)ˣ

La serie di versamenti periodici cresce come una rendita:

VF(contributi) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ è il versamento iniziale.
• PMT è il contributo periodico.
• i è il tasso d'interesse per un periodo contributivo.
• x è l'orizzonte temporale misurato in periodi contributivi (anni × periodi all'anno).
• N è il numero di versamenti effettivamente effettuati.
• A è il fattore di rendita, cioè il valore futuro di 1 USD versato a ogni periodo per N periodi.

Il fattore di rendita dipende dal momento in cui vengono effettuati i versamenti:

Un versamento all'inizio di ogni periodo matura interessi per un periodo aggiuntivo, da cui deriva il fattore extra (1 + i). Quando il tasso è 0%, il fattore di rendita è N: i versamenti si sommano senza crescita.

Il valore futuro è la somma delle due componenti. Gli interessi totali sono il valore futuro meno tutto ciò che è stato versato.

Quando la capitalizzazione e i contributi hanno frequenze diverse

Gli interessi possono essere capitalizzati più o meno spesso rispetto alla frequenza dei versamenti, per esempio con capitalizzazione mensile e versamenti trimestrali. Il calcolatore converte il tasso annuo nominale r, capitalizzato n volte all'anno, nel tasso effettivo per un periodo contributivo (vedere l'articolo di Wikipedia «Tasso d'interesse effettivo»):

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

dove m è il numero di contributi all'anno. Con un tasso annuo del 5% capitalizzato mensilmente e versamenti trimestrali, i = (1 + 0,05/12)³ − 1 ≈ 1,2552% per trimestre. Quando le due frequenze coincidono, i è direttamente uguale a r/n.

Esempio svolto

Un piano inizia con 1000 USD e aggiunge 100 USD all'inizio di ogni mese per 10 anni, a un tasso annuo del 5% capitalizzato mensilmente. Questi sono i valori predefiniti del calcolatore.

1. Periodi all'anno m = 12, quindi l'orizzonte è x = 120 periodi e N = 120 versamenti.
2. Il tasso mensile è i = 0,05 / 12 ≈ 0,0041667.
3. Fattore di crescita: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1,647009.
4. Versamento iniziale: 1000 USD × 1,647009 ≈ 1647,01 USD.
5. Fattore di rendita (ordinaria): (1,647009 − 1) / 0,0041667 ≈ 155,282279. I versamenti vengono effettuati all'inizio di ogni mese, quindi si moltiplica per (1 + i): 155,929289.
6. Contributi: 100 USD × 155,929289 ≈ 15.592,93 USD.
7. Valore futuro: 1647,01 USD + 15.592,93 USD = 17.239,94 USD.

I contributi totali sono 1000 USD + 120 × 100 USD = 13.000 USD, quindi gli interessi totali sono 17.239,94 USD − 13.000 USD = 4239,94 USD. Con lo stesso piano, ma con versamenti alla fine di ogni mese, il valore futuro è 17.175,24 USD, circa 65 USD in meno.

Un secondo esempio con versamenti alla fine del mese: 5000 USD iniziali, 200 USD al mese, capitalizzati mensilmente al 6% per 20 anni. In questo caso (1,005)²⁴⁰ ≈ 3,310204, il versamento cresce fino a 16.551,02 USD, il fattore di rendita è 462,040895 e i contributi crescono fino a 92.408,18 USD. Il valore futuro è 108.959,20 USD: 53.000 USD versati e 55.959,20 USD di interessi. Il risultato coincide con quello del calcolatore dell'interesse composto della U.S. Securities and Exchange Commission su investor.gov, rispetto al quale è stato verificato il motore dello strumento.

Convenzioni utilizzate dal calcolatore

Per impostazione predefinita, i versamenti avvengono all'inizio del periodo. La maggior parte dei piani di risparmio effettua l'addebito sul conto all'inizio di ogni mese, quindi l'impostazione predefinita è una rendita anticipata. Molti manuali e calcolatori assumono invece una rendita ordinaria; l'opzione relativa alla tempistica consente di passare dall'una all'altra.

Con gli anni frazionari, il numero di versamenti dipende dalla tempistica. In 2,5 anni di versamenti annuali, un piano con versamenti a fine periodo effettua 2 versamenti (vengono pagati solo gli anni completi), mentre un piano con versamenti a inizio periodo ne effettua 3 (ogni anno inserito prevede un versamento all'inizio). Ogni versamento effettuato, così come la somma iniziale, cresce comunque fino all'orizzonte esatto, incluso l'ultimo periodo parziale.

I risultati sono nominali. Non vengono sottratti inflazione, imposte o commissioni. Il valore futuro è quello che apparirebbe nell'estratto conto, non il suo potere d'acquisto.

L'arrotondamento avviene una sola volta, alla fine. Il valore futuro e i contributi totali vengono arrotondati ciascuno al centesimo, mentre gli interessi totali sono la loro differenza, così i tre valori visualizzati risultano sempre esattamente coerenti.

Domande frequenti

Qual è il valore futuro di un piano di risparmio? È il saldo del conto alla fine del piano: il versamento iniziale e ogni versamento periodico, ciascuno cresciuto con l'interesse composto dal momento del versamento fino alla fine.

Versare all'inizio del mese fa davvero differenza? Sì, anche se di poco. Ogni versamento matura interessi per un periodo aggiuntivo, moltiplicando per (1 + i) la componente dei contributi nel saldo. Nell'esempio predefinito, la differenza dopo 10 anni è di 64,70 USD.

Perché la frequenza di capitalizzazione modifica il risultato? Una capitalizzazione più frequente accredita prima gli interessi, che iniziano quindi a produrre interessi prima. Il calcolatore incorpora questo effetto nel tasso effettivo per periodo i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, gestendo così esattamente qualsiasi combinazione di frequenza di capitalizzazione e di contributi.

Cosa accade con un tasso d'interesse dello 0%? Il valore futuro è semplicemente la somma di tutto il denaro versato. Il piano predefinito allo 0% termina esattamente a 13.000 USD, con 0 USD di interessi.

Il calcolatore tiene conto dell'inflazione o delle imposte? No. Tutti i risultati sono importi nominali in dollari. Per stimare il potere d'acquisto si può inserire invece un tasso «reale» più basso, ma lo strumento non accetta tassi negativi.

Perché gli interessi totali sono il valore futuro meno i contributi totali? Gli interessi sono tutti i dollari presenti nel conto che non sono stati versati. Poiché i versamenti sono inclusi nei contributi totali, ciò che resta del valore futuro deve provenire dalla capitalizzazione.

Riferimenti

1. "Future value." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.