Logaritmas atsako į vieną klausimą: kokiu laipsniu reikia pakelti pagrindą, kad gautume šį skaičių? Jei $b^y = x$, tuomet $\log_b(x) = y$. Logaritmas yra atvirkštinė kėlimui laipsniu operacija. Jis panaikina kėlimą laipsniu. Dažniausiai naudojami trys tipai: log: pagrindas 10, dešimtainis logaritmas. log(100) klausia: „Kokiu laipsniu pakėlus 10 gaunamas 100?“ ln: pagrindas $e$ (maždaug 2,71828), natūralusis logaritmas, dažnai naudojamas matematinėje analizėje. log_a: pasirinktinis pagrindas, žymimas apatiniu brūkšniu. log_2(8) reiškia logaritmą, kurio pagrindas yra 2, o argumentas – 8. Logaritmas apibrėžtas tik tada, kai jo argumentas yra teigiamas. Programa atmeta tokius įrašus kaip log(0) arba log(-5) kaip neteisingus, nes joks realusis teigiamo pagrindo laipsnis negali duoti nulio arba neigiamo skaičiaus.

Logaritmo Supaprastintojas - Akimirksniniai Žingsniniai Sprendimai

Logaritmų supaprastintuvas

Logaritmų supaprastintuvas yra įrankis, perrašantis logaritminį reiškinį pritaikant vieną standartinę logaritmų taisyklę, pavyzdžiui, sandaugos arba laipsnio taisyklę. Logaritmų supaprastinimo programa tikrina reiškinį pagal fiksuotą šablonų rinkinį ir pateikia supaprastintą jo formą. Jei netinka nė vienas šablonas, reiškinys grąžinamas nepakeistas.

Kas yra logaritmas?

Logaritmas atsako į vieną klausimą: kokiu laipsniu reikia pakelti pagrindą, kad gautume šį skaičių? Jei $b^y = x$ , tuomet $\log_b(x) = y$ . Logaritmas yra atvirkštinė kėlimui laipsniu operacija. Jis panaikina kėlimą laipsniu.

Dažniausiai naudojami trys tipai:

log: pagrindas 10, dešimtainis logaritmas. log(100) klausia: „Kokiu laipsniu pakėlus 10 gaunamas 100?“
ln: pagrindas $e$ (maždaug 2,71828), natūralusis logaritmas, dažnai naudojamas matematinėje analizėje.
log_a: pasirinktinis pagrindas, žymimas apatiniu brūkšniu. log_2(8) reiškia logaritmą, kurio pagrindas yra 2, o argumentas – 8.

Logaritmas apibrėžtas tik tada, kai jo argumentas yra teigiamas. Programa atmeta tokius įrašus kaip log(0) arba log(-5) kaip neteisingus, nes joks realusis teigiamo pagrindo laipsnis negali duoti nulio arba neigiamo skaičiaus.

Logaritmų taisyklės ir formulės

Taisyklė	Formulė
Sandaugos taisyklė	$\log_b(x \times y) = \log_b(x) + \log_b(y)$
Dalmens taisyklė	$\log_b(x \div y) = \log_b(x) - \log_b(y)$
Laipsnio taisyklė	$\log_b(x^n) = n \times \log_b(x)$
Pagrindo keitimas	$\log_a(x) = \dfrac{\log(x)}{\log(a)}$
Tapatybė	$\log_b(b) = 1$
Vieneto logaritmas	$\log_b(1) = 0$

Kaip apskaičiuoti supaprastintą logaritmą

Programa paeiliui tikrina kiekvieną taisyklę pagal visą įvesties laukelyje įrašytą reiškinį. Ji taiko pirmąją taisyklę, kurios forma sutampa su visu reiškiniu, o ne tik su jo dalimi.

Kadangi kiekviena taisyklė tikrina visą reiškinį, programa vienu metu supaprastina tik vieną operaciją. Reiškinys, kuriame tame pačiame naryje yra ir laipsnis, ir daugyba, pavyzdžiui, log(x^2*y), neatitinka nė vieno vieno šablono, todėl grąžinamas nepakeistas. Įrankis nejungia kelių taisyklių, kad ilgesnį reiškinį išskaidytų nuosekliai.

Jei įrašytas vien tik skaitinis logaritmas, pavyzdžiui, log(8), log(100) arba ln(20), programa apskaičiuoja skaičių, o ne taiko simbolinę taisyklę. Sveikųjų skaičių rezultatai rodomi kaip sveikieji skaičiai, o visos kitos reikšmės suapvalinamos iki šešių skaitmenų po kablelio. Tai taikoma tik tada, kai visas įrašas yra vienas skaitinio argumento logaritmas. Įrašas, kuriame yra du logaritmai, pavyzdžiui, log(8)/log(2), grąžinamas nepakeistas, o ne iš dalies apskaičiuojamas.

Išspręstas pavyzdys

Norėdama supaprastinti log(x*y), programa pritaiko sandaugos taisyklės šabloną log(A*B). Ji išskaido reiškinį į du atskirus logaritmus, sujungtus sudėties ženklu:

$\log(x \times y) = \log(x) + \log(y)$

Reiškiniui log(x^3) tinka laipsnio taisyklės šablonas log(A^n), todėl laipsnio rodiklis perkeliamas prieš logaritmą:

$\log(x^3) = 3 \times \log(x)$

Laipsnio rodiklis gali būti neigiamas arba dešimtainis. log(x^-2) gaunamas -2 * log(x), o log(x^0.5) gaunamas 0.5 * log(x).

Jei pagrindas pasirinktinis, pavyzdžiui, log_2(8), programa simboliškai taiko pagrindo keitimo formulę. Ji neapskaičiuoja skaitinio atsakymo (kuris yra 3), o grąžina santykį log(8) / log(2).

Įvesties pavyzdžiai ir rezultatai

Paskutiniame stulpelyje pateikiamas taisyklės pavadinimas, kurį programa parodo po diagrama.

Įvestis	Rezultatas	Rodoma taisyklė
`log(100)`	`2`	Pagrindo apskaičiavimas
`log(8)`	`0.903090`	Pagrindo apskaičiavimas
`log(1)`	`0`	Pagrindo apskaičiavimas
`log(10)`	`1`	Pagrindo apskaičiavimas
`log(0.5)`	`-0.301030`	Pagrindo apskaičiavimas
`ln(20)`	`2.995732`	Pagrindo apskaičiavimas
`ln(e^5)`	`5`	Natūralusis e^n logaritmas
`log(x^3)`	`3 * log(x)`	Laipsnio taisyklė
`log(x^-2)`	`-2 * log(x)`	Laipsnio taisyklė
`log(x*y)`	`log(x) + log(y)`	Sandaugos taisyklė
`log(x/y)`	`log(x) - log(y)`	Dalmens taisyklė
`log_5(5)`	`1`	Logaritmo pagrindo tapatybė
`log_2(8)`	`log(8) / log(2)`	Pagrindo keitimas (simbolinis rezultatas, ne `3`)
`log(x+y)`	`log(x+y)` (nepakeistas)	Supaprastinimas

Programos naudojimas

Įvesties laukelyje įrašykite reiškinį, daugybai naudodami *, dalybai – /, laipsniui – ^, o nariams grupuoti – skliaustus. Pasirinktinį pagrindą žymėkite apatiniu brūkšniu, pavyzdžiui, log_2(8). Rezultatas parodomas vos įvedus galiojantį reiškinį; kartu pateikiama nedidelė diagrama, kurioje rodomi įvestis, rezultatas ir pritaikyta viena taisyklė. Kopijavimo mygtukas leidžia įklijuoti rezultatą į kitus dokumentus.

Apribojimai

Programa yra nedidelis šablonų tikrintuvas, o ne visavertė kompiuterinės algebros sistema. Ji negali:

Taikyti dvi ar daugiau taisyklių tam pačiam reiškiniui, todėl kelių narių reiškiniai, pavyzdžiui, log(x^2*y/z), toliau neišskaidomi.
Apdoroti įrašo, kuriame yra daugiau nei vienas logaritmas. log(8)/log(2) grąžinamas nepakeistas, o ne apskaičiuojamas kaip 3.
Apskaičiuoti logaritmo su pasirinktiniu pagrindu ir pateikti jį kaip paprastą skaičių. log_2(8) lieka log(8) / log(2), o ne tampa 3.
Supaprastinti sumas ar skirtumus logaritmo viduje, pavyzdžiui, log(x + y), nes sandaugos ir dalmens taisyklės taikomos tik daugybai ir dalybai.
Spręsti lygtis, braižyti funkcijų grafikus arba apdoroti įdėtinius logaritmus.

Tokioms užduotims geriau tinka visavertė kompiuterinės algebros sistema, pavyzdžiui, „Wolfram Alpha“, arba grafinis skaičiuotuvas.

Trumpa istorija

Škotų matematikas Johnas Napier 1614 m. įvedė logaritmus, kad daugybą paverstų sudėtimi ir sutrumpintų astronomų bei navigatorių skaičiavimų rankiniu būdu laiką. Vėliau Henry Briggsas kartu su Napieriu kūrė pagrindo 10 logaritmų lenteles, išleistas 1617 m. ir naudotas daugiau kaip tris šimtmečius. 20 amžiuje logaritmai įgijo naują paskirtį: Claude'as Shannonas juos panaudojo 1948 m. bitui, pagrindiniam informacijos vienetui, apibrėžti, o kompiuterių mokslininkai dabar naudoja logaritmus algoritmų, tokių kaip dvejetainė paieška, mastelio keitimo efektyvumui aprašyti.

Dažnai užduodami klausimai

Kas yra logaritmų supaprastintuvas? Tai įrankis, perrašantis logaritminį reiškinį pagal logaritmų taisyklę, pavyzdžiui, paverčiantis log(x*y) į log(x) + log(y). Ši programa vienu metu pritaiko vieną taisyklę visam įvestam reiškiniui.

Ar log_2(8) supaprastinamas iki 3? Ne. Programa simboliškai taiko pagrindo keitimo formulę ir grąžina log(8) / log(2). Ji neapskaičiuoja logaritmų su pasirinktiniais pagrindais kaip skaičių, net jei skaitinis atsakymas yra sveikasis skaičius.

Ar programa gali sujungti kelias taisykles viename reiškinyje? Ne. Kiekviena taisyklė tikrina visą reiškinį iš karto. Reiškinys, kuriam reikia dviejų taisyklių, pavyzdžiui, pirmiausia atskirti sandaugą, o tada jo viduje pritaikyti laipsnio taisyklę, grąžinamas nepakeistas.

Kodėl log(x + y) daugiau nesupaprastinamas? Sandaugos ir dalmens taisyklės logaritmo viduje taikomos tik daugybai ir dalybai, o ne sudėčiai ar atimčiai. log(x + y) negalima perrašyti kaip log(x) + log(y); tai dažna klaida.

Kur atliekamas skaičiavimas? Naršyklėje, įrenginyje. Reiškinys nesiunčiamas į serverį, o įrankiu galima naudotis nemokamai ir be registracijos.

Logaritmo Supaprastintojas - Akimirksniniai Žingsniniai Sprendimai