Pāriet uz saturu
🛠️
Whiz Tools

Vienības riņķa kalkulators: sinuss, kosinuss, tangenss

Ievadiet leņķi grādos vai radiānos, lai iegūtu tā punktu uz vienības riņķa, sinusu, kosinusu, tangensu, atsauces leņķi un kvadrantu. Precīzas standarta leņķu vērtības.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Ielādes kalkulators...
📚

Dokumentācija

Vienības riņķa kalkulators

Vienības riņķis ir riņķa līnija ar rādiusu 1, kas uzzīmēta ap koordinātu sākumpunktu. Vienības riņķa kalkulators pieņem vienu leņķi un norāda, kur šis leņķis krustojas ar riņķa līniju: punktu (x, y), sinusu, kosinusu un tangensu, atsauces leņķi un kvadrantu. Šī lapa nolasa leņķi grādos vai radiānos un sešpadsmit standarta leņķiem sniedz precīzas vērtības, piemēram, √3/2.

Ko dara kalkulators

Lietotājs ievada vienu leņķi un izvēlas grādus vai radiānus. Lapa parāda:

  • punktu (x, y), kurā leņķis krusto riņķa līniju
  • cos θ, sin θ un tan θ
  • atsauces leņķi grādos un radiānos
  • kvadrantu vai asi, ja leņķis atrodas uz tās
  • leņķi abās mērvienībās un to pašu leņķi, kas pārveidots vienā pilnā apgriezienā

Visiem sešpadsmit standarta leņķiem atbildes tiek parādītas precīzās slēgtās formās, bet decimālvērtības — zem tām. Jebkurš cits leņķis tiek parādīts ar astoņiem nozīmīgajiem cipariem. Noapaļots ir tikai attēlojums.

Vienības riņķa formula

Leņķus mēra pretēji pulksteņrādītāju kustības virzienam no pozitīvās x ass. Stars, kas novilkts leņķī θ, krusto riņķa līniju vienā punktā, un šā punkta abas koordinātas ir kosinuss un sinuss:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

kur xx ir horizontālā koordināta, yy ir vertikālā koordināta un θ\theta ir leņķis.

Rādiuss ir 1, tāpēc koordinātas un abu funkciju vērtības ir viens un tas pats skaitļu pāris ar diviem nosaukumiem. Tāpēc riņķis tiek zīmēts ar rādiusu 1, nevis kādu citu izmēru. Tangensu veido tas pats pāris:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Katrs riņķa līnijas punkts arī atbilst Pitagora teorēmai, kas piemērota taisnleņķa trijstūrim ar malām xx un yy un hipotenūzu 1:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Grādi un radiāni

Lapa pieņem jebkuru no abām mērvienībām un parāda abas. Tās saista sakarība, ka pusapgrieziens ir π radiāni:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ kur $\theta_{\mathrm{deg}}$ ir leņķis grādos un $\theta_{\mathrm{rad}}$ ir tas pats leņķis radiānos. ### Pārveidošana vienā pilnā apgriezienā Leņķis var būt negatīvs un var pārsniegt pilnu apgriezienu. Punkts uz riņķa līnijas atkārtojas ik pēc 360°, tāpēc lapa vispirms pārveido leņķi diapazonā no 0° līdz, bet neieskaitot, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ kur $\theta$ ir ievadītais leņķis grādos, bet $\theta_0$ ir tas pats virziens, izteikts viena apgrieziena robežās. 750° tiek pārveidots par 30°, bet −30° — par 330°. Pārveidošana notiek grādos, kuros atlikums ir precīzs. ### Atsauces leņķis un kvadrants Atsauces leņķis ir asais leņķis starp staru un x asi. Tas nekad nepārsniedz 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{pretējā gadījumā} \end{cases}$$ kur $\theta_0$ ir pārveidotais leņķis grādos. Sinusa, kosinusa un tangensa lielums ir atkarīgs tikai no atsauces leņķa. Kvadrants nosaka zīmes. | Kvadrants | Pārveidotais leņķis | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | no 0° līdz 90° | + | + | + | | II | no 90° līdz 180° | − | + | − | | III | no 180° līdz 270° | − | − | + | | IV | no 270° līdz 360° | + | − | − | Leņķi 0°, 90°, 180° un 270° atrodas uz ass. Kvadrants ir atvērts apgabals starp divām asīm, tāpēc neviens no šiem četriem leņķiem neatrodas kvadrantā, un lapa kaimiņkvadranta vietā norāda asi. ### Sešpadsmit standarta leņķi Pieciem atsauces leņķiem ir precīzas slēgtas izteiksmes. | Atsauces leņķis | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | nav definēts | Atspoguļojot šīs rindas pārējos trīs kvadrantos, iegūst sešpadsmit leņķus: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 un 330 grādi. Lapa tos ģenerē, ik pēc ceturtdaļapgrieziena pagriežot pirmā kvadranta punktus, nevis četras reizes pārrakstot tabulu, jo tieši pārrakstīšanas laikā var parādīties nepareiza zīme. Arī 15°, 75° un 105° ir slēgtas izteiksmes, taču tās sastāv no diviem locekļiem, piemēram, 2 − √3. Tās neietilpst šajā saimē, tāpēc tiek parādītas decimāldaļās. Leņķim 15° atbilst cos 0,96592583, sin 0,25881905 un tan 0,26794919. ### Piemērs: 210 grādi 210° ir lielāks par 180° un mazāks par 270°, tāpēc tas atrodas III kvadrantā. Atņemot 180, paliek atsauces leņķis 30°. Pie atsauces leņķa 30° trīs lielumi ir √3/2, 1/2 un √3/3. III kvadrants padara abas koordinātas negatīvas, tāpēc punkts ir (−√3/2, −1/2). Tangenss ir negatīva skaitļa dalījums ar negatīvu skaitli, tāpēc tas paliek pozitīvs: √3/3. Radiānos leņķis ir 7π/6, bet atsauces leņķis ir π/6. Decimāldaļās lapa parāda cos −0,8660254, sin −0,5 un tan 0,57735027. 570° un −150° dod tās pašas atbildes, jo abi tiek pārveidoti par 210°. ### Kuras konstantes ir precīzas | Konstante | Vērtība | Precīza? | Avots | |---|---|---|---| | Grādi vienā pilnā apgriezienā | 360 | precīza pēc definīcijas | ISO 80000-3 | | Radiāni vienā pilnā apgriezienā | 2π | precīza pēc definīcijas | ISO 80000-3; SI Brochure | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | precīza | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | precīza | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | precīza | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | nav vērtības | precīza, pols | NIST DLMF §4,15 | π ir iracionāls skaitlis, tāpēc tam nav precīzas decimālas vai bināras formas un jebkura tā saglabātā vērtība ir noapaļota. Lapa novērš šīs noapaļošanas ietekmi uz atbildēm divos veidos. Pārveidošana notiek grādos, kuros 360 dalās bez atlikuma. Savukārt standarta leņķi tiek nolasīti no iepriekš redzamās slēgto formu tabulas, nevis aprēķināti no peldošā komata sinusa vērtības. ### Radiānos ievadīta leņķa nolasīšana Radiānos ievadīts skaitlis jau ir noapaļota decimālvērtība. π/2 tiek ievadīts kā 1,5707963267948966, un, to pārveidojot atpakaļ, iegūst leņķi, kas ir aptuveni vienu desmit triljono daļu grāda no 90, nevis tieši 90. Tāpēc lapa jebkuru leņķi, kas atrodas miljono grāda robežās no standarta leņķa, nolasa kā šo standarta leņķi. Tolerance izvēlas, kuru tabulu izmantot, bet nekad nepaplašina atbildi. 30,001° nekļūst par 30°. Leņķi, kas pārsniedz miljardu grādu, tiek noraidīti. Tas ir aritmētikas, nevis ģeometrijas ierobežojums: atstatums starp skaitļiem, ko dators var saglabāt, palielinās līdz ar to lielumu, un aptuveni pēc četriem ar pusi miljardiem grādu šis atstatums pārsniedz miljono grāda toleranci, tāpēc pārveidošana vairs nesaglabā pietiekami daudz informācijas, lai noteiktu leņķi. Miljards nodrošina rezervi pirms šī punkta. ### Bieži uzdotie jautājumi **Kam izmanto vienības riņķi?** Tas pārvērš sinusu un kosinusu koordinātās. Nolasot no riņķa līnijas vienu punktu, abas vērtības iegūst uzreiz, un attēls parāda, kāpēc tās atkārtojas ik pēc pilna apgrieziena un kāpēc to zīmes mainās no viena kvadranta uz nākamo. **Kāda ir sin 30° precīzā vērtība?** Viena puse. cos 30° ir √3/2, aptuveni 0,8660254, bet tan 30° ir √3/3, aptuveni 0,57735027. **Kāpēc tan 90° nav definēts?** Tangenss ir sinusa dalījums ar kosinusu, bet cos 90° ir 0. Dalīšanai ar nulli nav atbildes. Lapa polu nosaka, nosaucot leņķi, nevis pārbaudot, vai aprēķinātais tangenss ir liels, jo stāvs tangenss, kas atrodas pavisam nedaudz pirms 90°, ir parasts skaitlis. **Kas ir atsauces leņķis?** Tas ir asais leņķis starp staru un x asi, tāpēc tas vienmēr atrodas starp 0° un 90°. Leņķiem 150°, 210° un 330° visiem atsauces leņķis ir 30°, tāpēc to sinusiem un kosinusiem ir vienādi trīs lielumi, kas atšķiras tikai ar zīmi. **Vai var izmantot negatīvu leņķi?** Jā. Negatīvs leņķis griežas pulksteņrādītāju kustības virzienā. −30° norāda tajā pašā virzienā kā 330°, tāpēc lapa parāda punktu (√3/2, −1/2) un IV kvadrantu. **Kāpēc lapa leņķi parāda divreiz?** 750° un 30° krusto riņķa līniju vienā un tajā pašā punktā, taču tās nav viena un tā pati rotācija. Lapa atkārto ievadīto leņķi, pārveido to otrā mērvienībā un blakus parāda pārveidoto leņķi.