Калькулятор потенциальной энергии: PE = mgh

Калькулятор потенциальной энергии

Гравитационная потенциальная энергия — это энергия, которой обладает тело благодаря высоте над выбранным уровнем. Этот калькулятор вычисляет её по массе тела, силе тяжести в данном месте и высоте. Он также работает в обратном направлении: если известны энергия и два из трёх остальных значений, он вычисляет четвёртое.

Что делает калькулятор

На странице есть четыре поля: потенциальная энергия (в джоулях), масса, гравитация и высота. Для массы и высоты можно выбрать единицу измерения. Три поля заполняются, одно остаётся пустым, и именно пустое поле содержит ответ. Затем все четыре значения показываются вместе, чтобы три введённых значения можно было проверить рядом с результатом.

Массу можно вводить в килограммах, граммах, миллиграммах, метрических тоннах, фунтах, унциях, стоунах, американских коротких тоннах или длинных тоннах. Высоту можно вводить в метрах, километрах, сантиметрах, миллиметрах, микрометрах, нанометрах, милях, ярдах, футах, дюймах или морских милях. Для энергии меню единиц нет: она вводится и показывается в джоулях. Для ускорения свободного падения меню единиц также нет. Оно вводится в метрах на секунду в квадрате, поэтому значение в футах на секунду в квадрате перед вводом нужно преобразовать.

До выполнения арифметических операций масса преобразуется в килограммы, а высота — в метры с помощью общей реестровой системы единиц сайта. Ответ преобразуется обратно в единицу, выбранную для этого поля. Результаты отображаются с восемью значащими цифрами. Округляется только отображение, а вычисления выполняются по введённым значениям. Результат меньше 0,0001 или равный 1 000 000 000 и выше отображается в экспоненциальной записи.

Все поля, включая ускорение свободного падения, изначально пусты. Адресная строка синхронизирована с полями, а пустое поле нельзя записать в ссылку, поэтому общая ссылка содержит ровно три заполненных значения, оставляя четвёртое пустым для следующего читателя.

Формула потенциальной энергии

$PE = m g h$

где $PE$ — потенциальная энергия в джоулях (Дж), $m$ — масса в килограммах (кг), $g$ — ускорение свободного падения в метрах на секунду в квадрате (м/с²), а $h$ — высота в метрах (м).

Та же зависимость после преобразования даёт три других ответа:

$m = \frac{PE}{g h}$

$g = \frac{PE}{m h}$

$h = \frac{PE}{m g}$

Энергия прямо пропорциональна каждому из трёх значений. Удвоение массы удваивает энергию. То же происходит при удвоении высоты или перемещении тела туда, где сила тяжести вдвое больше. Здесь нет возведения в квадрат, что является главным отличием от кинетической энергии.

Вычисление ускорения свободного падения — необычный вариант. Оно отвечает на вопрос: «какая сила тяжести дала бы такую энергию для этой массы на этой высоте», — и таким образом позволяет сравнивать одно тело с другим по измеренной энергии.

Высота измеряется от выбранного читателем уровня

У потенциальной энергии нет естественного нулевого уровня. Формула даёт энергию относительно некоторого уровня, который выбирает читатель: пола, поверхности земли, уровня моря или любого другого подходящего для задачи. Затем высоты измеряются от него.

Ниже этого уровня высота отрицательна, и энергия вместе с ней отрицательна. Страница сохраняет знак, а не заменяет его нулём. Пол подвала на 3 м ниже выбранного нулевого уровня действительно содержит меньше энергии, чем нулевой уровень, поэтому показывать ноль было бы ошибкой, а не упрощением.

Какие константы точны

Преобразования единиц на этой странице основаны на определениях, согласованных органами стандартизации, а не на измерениях, поэтому более точный эксперимент не изменит их.

Стандартное ускорение свободного падения — это условная величина, а не показание прибора, снятое в каком-либо конкретном месте. Реальное ускорение свободного падения у поверхности Земли меняется в зависимости от широты и высоты примерно от 9,76 до 9,83 м/с². Значения для других тел получены измерениями и округлены: около 1,62 м/с² на Луне и около 3,71 м/с² на Марсе.

Страница не заполняет поле ускорения свободного падения значением 9,80665. Это значение приведено в подписи рядом с полем, а тест связывает эту подпись с константой реестра, чтобы они не расходились.

Пример расчёта

Человек массой 70 кг поднимается по лестнице на 2 м на Земле при стандартном ускорении свободного падения.

Умножение 70 на 9,80665 даёт 686,4655. Умножение этого значения на 2 даёт 1 372,931, поэтому при подъёме запасается 1 372,931 Дж, или примерно 1,37 килоджоуля.

Те же значения можно использовать в обратном направлении. Оставьте поле массы пустым и введите 1 372,931 Дж, 9,80665 м/с² и 2 м: деление на ускорение свободного падения даёт ровно 70, и страница показывает 70 кг. Если вместо этого оставить пустым поле ускорения свободного падения, то 1 372,931 Дж, разделённые на 70, а затем на 2, дают 9,80665 м/с².

То же тело массой 70 кг, поднятое на 2 м на Луне, где ускорение свободного падения составляет примерно 1,62 м/с², запасает лишь 226,8 Дж — примерно в шесть раз меньше.

Пример в имперской системе использует две приведённые выше определяющие константы. Один фунт равен 0,45359237 кг, а один фут — 0,3048 м. Умножение 0,45359237 на 9,80665 даёт 4,4482216152605, то есть одну фунт-силу в ньютонах. Умножение этого значения на 0,3048 даёт 1,3558179483314003 Дж — один фут-сила фунта. После округления до восьми значащих цифр страница показывает 1,3558179 Дж.

Пример без точного результата: полка находится на 0,1 м выше верстака, который сам находится на 0,2 м выше пола. Компьютер хранит эти два числа в двоичном виде, и их сумма равна 0,30000000000000004, а не 0,3. Для книги массой 1 кг на этой высоте энергия равна 2,9419950000000004 Дж, а страница показывает 2,941995 Дж. Если снова ввести эту энергию с той же массой и тем же ускорением свободного падения, высота восстановится до исходной, цифра в цифру.

Как организованы вычисления

Восьми значащих цифр достаточно, чтобы показать погрешность округления, поэтому каждая преобразованная формула записана так, чтобы при округлённых значениях сокращение выполнялось точно.

Каждый ответ делится один раз на каждый множитель, а не один раз на их произведение. Деление сначала на ускорение свободного падения, а затем на высоту позволяет обработать пару чисел, произведение которых само по себе вызвало бы переполнение до бесконечности или стало бы нулём. Один килограмм, поднятый на один метр при стандартном ускорении свободного падения, запасает ровно 9,80665 Дж, и каждое преобразование этой строки после обратного деления даёт ровно 1.

Что калькулятор отклоняет

Поле ввода принимает любое введённое или вставленное число, поэтому важны проверки в коде вычислений.

Отрицательная высота не отклоняется, как и отрицательная энергия, поскольку обе являются реальными ответами ниже выбранного нулевого уровня.

Два или более пустых поля, как и отсутствие пустых полей, рассматриваются как указание, а не как ошибка. Страница требует оставить пустым ровно одно поле и вычисляет его значение.

Где эта формула перестаёт работать

Зависимость предполагает, что сила тяжести одинакова в каждой точке подъёма. Это верно вблизи поверхности, где изменение высоты на несколько метров неизмеримо мало. На расстояниях, где сила тяжести сама ослабевает, например на орбите спутника, это предположение нарушается; там вместо неё нужна формула гравитационной потенциальной энергии с обратным квадратом расстояния.

Страница также рассматривает только гравитационную потенциальную энергию. Растянутая пружина, сжатый газ и химическая связь тоже запасают энергию, но для каждого случая действует своё правило.

Часто задаваемые вопросы

Что такое гравитационная потенциальная энергия? Это энергия, которой обладает тело благодаря высоте над выбранным уровнем. Подъём тела сообщает ему энергию. При падении эта энергия возвращается, обычно в виде движения. Единица измерения — джоуль.

Как вычисляется потенциальная энергия? Умножьте массу в килограммах на ускорение свободного падения в метрах на секунду в квадрате, а затем на высоту в метрах. Для человека массой 70 кг, поднимающегося на 2 м на Земле, 70, умноженное на 9,80665, даёт 686,4655, а 686,4655, умноженное на 2, даёт 1 372,931 Дж.

Какое значение g следует использовать? Стандартное ускорение свободного падения, 9,80665 м/с², подходит для любой повседневной задачи на Земле и является точным по определению, а не измеренным значением. Ускорение свободного падения у поверхности немного меняется в зависимости от места: примерно от 9,76 до 9,83 м/с². Для других тел используется своё значение: около 1,62 м/с² для Луны и около 3,71 м/с² для Марса.

Может ли потенциальная энергия быть отрицательной? Да. Высота измеряется от выбранного читателем уровня, поэтому тело ниже этого уровня имеет отрицательную высоту и отрицательную энергию. Страница сохраняет этот знак. Кинетическая энергия ведёт себя иначе, поскольку квадрат скорости не может быть меньше нуля.

Как найти высоту по известной энергии? Разделите энергию на массу, а затем на ускорение свободного падения. Для 1 372,931 Дж при массе 70 кг на Земле деление на 70 даёт 19,6133, а деление этого значения на 9,80665 даёт 2 м.

Почему страница не вычисляет массу при нулевой высоте? На выбранном нулевом уровне запасённая энергия равна нулю независимо от массы тела, поэтому энергия ничего не говорит о массе. Восстанавливать нечего, а в требуемом делении в знаменателе оказался бы ноль.