Калькулятор скорости эффузии | Бесплатный инструмент закона Грэма

Что такое калькулятор скорости эффузии?

Калькулятор скорости эффузии определяет, насколько быстро один газ выходит через крошечное отверстие по сравнению с другим газом. Он использует закон эффузии Грэма, связывающий скорость выхода газа с его молярной массой и температурой. Эффузия происходит, когда молекулы газа проходят через настолько маленькое отверстие по одной, что не сталкиваются друг с другом во время прохождения.

Формула закона эффузии Грэма

Закон Грэма сравнивает скорости эффузии двух газов — газа 1 и газа 2:

$\frac{\text{Скорость}_1}{\text{Скорость}_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} \times \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

• Rate₁ и Rate₂ — скорости эффузии газа 1 и газа 2.
• M₁ и M₂ — молярные массы газа 1 и газа 2, выраженные в граммах на моль (г/моль).
• T₁ и T₂ — абсолютные температуры газа 1 и газа 2, выраженные в кельвинах (К).

Результат выше 1 означает, что газ 1 эффундирует быстрее газа 2. Результат ниже 1 означает, что быстрее движется газ 2. Результат, в точности равный 1, означает, что оба газа эффундируют с одинаковой скоростью.

Почему формула работает

Формула следует из кинетической теории газов. Все газы при одинаковой температуре имеют одну и ту же среднюю кинетическую энергию: ½mv² = (3/2)kT, где m — масса одной молекулы, v — её скорость, k — постоянная Больцмана, а T — абсолютная температура. Решение относительно скорости даёт v = √(3kT/m). Чтобы иметь ту же кинетическую энергию, более лёгкая молекула должна двигаться быстрее более тяжёлой. Число молекул, выходящих через отверстие за каждую секунду, пропорционально этой скорости и числу молекул в единице объёма. Калькулятор сравнивает два газа, имеющих одинаковое число молекул в единице объёма, поэтому множитель, связанный с плотностью, сокращается, и остаётся только √(T/M). Деление значения для газа 1 на значение для газа 2 даёт приведённую выше формулу.

Два более простых случая

• Одинаковая температура. Если T₁ равно T₂, температурные множители сокращаются, и формула принимает вид Rate₁/Rate₂ = √(M₂/M₁). Имеют значение только молярные массы.
• Одинаковая молярная масса. Если M₁ равно M₂, формула принимает вид Rate₁/Rate₂ = √(T₁/T₂). Имеют значение только температуры.

Как пользоваться калькулятором скорости эффузии

1. Введите молярную массу и температуру газа 1.
2. Введите молярную массу и температуру газа 2.
3. Посмотрите относительную скорость эффузии. Она показывает, во сколько раз газ 1 эффундирует быстрее газа 2. Калькулятор отображает ответ с точностью до четырёх знаков после запятой.

И молярная масса, и температура должны быть положительными числами. Температуру необходимо вводить в кельвинах, а не в градусах Цельсия или Фаренгейта, поскольку формула зависит от абсолютной температуры.

Распространённые молярные массы газов

Пример расчёта

Пример 1: гелий и метан при одинаковой температуре

Молярная масса гелия (He) равна 4,00 г/моль. Молярная масса метана (CH₄) равна 16,04 г/моль. Температура обоих газов составляет 298 К.

$\frac{\text{Скорость}_{He}}{\text{Скорость}_{CH_4}} = \sqrt{\frac{16.04}{4.00}} \times \sqrt{\frac{298}{298}} = \sqrt{4.01} \times 1 \approx 2.0025$

Гелий эффундирует примерно в 2,00 раза быстрее метана.

При открытии калькулятора в нём указаны значения 4,00 и 16,00 г/моль при температуре 298 К; для метана масса округлена до целого числа. Эти значения дают ровно √4 = 2,0000, поэтому соотношение легко проверить вручную.

Пример 2: водород и кислород при разных температурах

Молярная масса водорода (H₂) равна 2,02 г/моль, а его температура составляет 400 К. Молярная масса кислорода (O₂) равна 32,00 г/моль, а его температура составляет 300 К.

$\sqrt{\frac{32.00}{2.02}} \approx 3.9801 \qquad \sqrt{\frac{400}{300}} \approx 1.1547$

$\frac{\text{Скорость}_{H_2}}{\text{Скорость}_{O_2}} = 3.9801 \times 1.1547 \approx 4.5959$

Водород при температуре 400 К эффундирует примерно в 4,60 раза быстрее кислорода при температуре 300 К. Если перед умножением округлить каждый квадратный корень до двух знаков после запятой, как это делают в некоторых примерах расчёта в интернете, получится 3,98 × 1,15 = 4,58, что немного отличается от правильного результата. Сохранение большего числа знаков после запятой до последнего шага позволяет избежать этой ошибки.

Применения закона Грэма

• Разделение изотопов. Манхэттенский проект использовал газовую диффузию для разделения урана-235 и урана-238. Эти два изотопа образуют газообразный гексафторид урана с немного различающимися молярными массами, поэтому эффундируют с немного разными скоростями.
• Обнаружение утечек. Гелий часто используют как трассирующий газ для поиска утечек в вакуумных системах и сосудах, работающих под давлением, поскольку его малая молярная масса позволяет ему быстро проходить через небольшие утечки.
• Газовая хроматография. Молекулы с разной массой движутся через хроматографическую колонку с разными скоростями, что помогает разделять и идентифицировать соединения в газовой смеси.
• Мембранное разделение газов. Промышленные мембраны, очищающие или разделяющие газовые смеси, частично используют различия в скоростях эффузии компонентов смеси.

История

Шотландский химик Томас Грэм впервые описал эту зависимость в 1846 году. Он измерял, насколько быстро разные газы выходят через небольшие отверстия, и обнаружил, что скорость обратно пропорциональна квадратному корню из плотности газа. Позднее его результаты помогли подтвердить кинетическую теорию газов, которую в дальнейшем развивали Джеймс Клерк Максвелл и Людвиг Больцман в 1860-х и 1870-х годах.

Часто задаваемые вопросы

В чём разница между эффузией и диффузией? Эффузия — это выход молекул газа через небольшое отверстие в вакуум или область с более низким давлением, причём отверстие меньше среднего расстояния, которое молекула проходит между столкновениями. Диффузия — это распространение молекул газа в другом газе или среде под действием различий в концентрации; при этом молекулы сталкиваются друг с другом.

Почему температура должна быть указана в кельвинах? Кинетическая энергия молекул газа пропорциональна абсолютной температуре. Шкалы Цельсия и Фаренгейта не начинаются от абсолютного нуля, поэтому их использование дало бы неправильное соотношение.

Что предполагает калькулятор относительно двух газов? Он предполагает, что оба газа имеют одинаковое число молекул в единице объёма. При этом предположении соотношение зависит только от молярной массы и абсолютной температуры. Когда температуры двух газов равны, температурный множитель равен 1, а ответом служит обычное соотношение по закону Грэма √(M₂/M₁), независимо от давления. Когда температуры различаются, предположение имеет значение: если вместо одинаковой концентрации поддерживается одинаковое давление, выполняется соотношение Rate₁/Rate₂ = √(M₂T₂ / M₁T₁), поскольку при фиксированном давлении более горячий газ содержит меньше молекул в каждом литре.

Можно ли с помощью закона Грэма определить молярную массу неизвестного газа? Да. Если скорость эффузии неизвестного газа измерена относительно газа с известной молярной массой, формулу можно преобразовать:

$M_{unknown} = M_{known} \times \left(\frac{\text{Скорость}_{known}}{\text{Скорость}_{unknown}}\right)^2 \times \frac{T_{unknown}}{T_{known}}$

Применим ли закон Грэма к жидкостям? Нет. Он применим только к газам. Молекулы жидкости расположены гораздо плотнее и взаимодействуют значительно сильнее, поэтому та же формула не описывает движение жидкостей через небольшие отверстия.

Во сколько раз быстрее эффундирует газ при удвоении его температуры? Скорость эффузии пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры. Удвоение температуры увеличивает скорость в √2 раза, то есть примерно в 1,41 раза, если молярная масса остаётся неизменной.