Logaritmus odpovedá na jednu otázku: na akú mocninu treba umocniť základ, aby vzniklo toto číslo? Ak $b^y = x$, potom $\log_b(x) = y$. Logaritmus je inverzná funkcia k umocňovaniu. Ruší umocnenie. Najčastejšie sa používajú tri druhy: log: základ 10, dekadický logaritmus. log(100) sa pýta: „Na akú mocninu treba umocniť 10, aby vzniklo 100?“ ln: základ $e$ (približne 2,71828), prirodzený logaritmus, bežne používaný v matematickej analýze. log_a: vlastný základ zapísaný pomocou podčiarkovníka. log_2(8) znamená logaritmus čísla 8 so základom 2. Logaritmus je definovaný iba pre kladný argument. Aplikácia odmieta vstupy ako log(0) alebo log(-5) ako neplatné, pretože žiadna reálna mocnina kladného základu nemôže dať nulu ani záporné číslo.

Zjednodušovač Logaritmov - Okamžité Riešenia Krok za Krokom

Zjednodušovač logaritmov

Zjednodušovač logaritmov je nástroj, ktorý prepisuje logaritmický výraz použitím jedného štandardného logaritmického pravidla, napríklad pravidla pre súčin alebo mocninu. Aplikácia Zjednodušovač logaritmov porovnáva výraz s pevne stanovenou množinou vzorov a vracia zjednodušený tvar. Ak sa nehodí žiadny jednotlivý vzor, vráti výraz bez zmeny.

Čo je logaritmus?

Logaritmus odpovedá na jednu otázku: na akú mocninu treba umocniť základ, aby vzniklo toto číslo? Ak $b^y = x$ , potom $\log_b(x) = y$ . Logaritmus je inverzná funkcia k umocňovaniu. Ruší umocnenie.

Najčastejšie sa používajú tri druhy:

log: základ 10, dekadický logaritmus. log(100) sa pýta: „Na akú mocninu treba umocniť 10, aby vzniklo 100?“
ln: základ $e$ (približne 2,71828), prirodzený logaritmus, bežne používaný v matematickej analýze.
log_a: vlastný základ zapísaný pomocou podčiarkovníka. log_2(8) znamená logaritmus čísla 8 so základom 2.

Logaritmus je definovaný iba pre kladný argument. Aplikácia odmieta vstupy ako log(0) alebo log(-5) ako neplatné, pretože žiadna reálna mocnina kladného základu nemôže dať nulu ani záporné číslo.

Pravidlá a vzorce pre logaritmy

Pravidlo	Vzorec
Pravidlo pre súčin	$\log_b(x \times y) = \log_b(x) + \log_b(y)$
Pravidlo pre podiel	$\log_b(x \div y) = \log_b(x) - \log_b(y)$
Pravidlo pre mocninu	$\log_b(x^n) = n \times \log_b(x)$
Zmena základu	$\log_a(x) = \dfrac{\log(x)}{\log(a)}$
Identita	$\log_b(b) = 1$
Logaritmus jednotky	$\log_b(1) = 0$

Ako vypočítať zjednodušený logaritmus

Aplikácia postupne porovnáva každé pravidlo s celým výrazom zadaným do vstupného poľa. Použije prvé pravidlo, ktorého tvar sa zhoduje s celým výrazom, nie iba s jeho časťou.

Keďže každé pravidlo kontroluje celý výraz, aplikácia zjednodušuje vždy jednu operáciu. Výraz, ktorý v jednom člene kombinuje mocninu a násobenie, napríklad log(x^2*y), nezodpovedá žiadnemu jednotlivému vzoru, takže sa vráti bez zmeny. Nástroj nekombinuje viacero pravidiel, aby dlhší výraz rozložil postupne.

Pri samostatnom číselnom logaritme, napríklad log(8), log(100) alebo ln(20), aplikácia vypočíta číslo namiesto použitia symbolického pravidla. Výsledky v celých číslach zobrazuje ako celé čísla; všetky ostatné hodnoty zaokrúhľuje na šesť desatinných miest. Platí to iba vtedy, keď je celý vstup jediným logaritmom čísla. Vstup s dvoma logaritmami, napríklad log(8)/log(2), sa vráti bez zmeny a čiastočne sa nevypočíta.

Vzorový príklad

Pri zjednodušovaní výrazu log(x*y) aplikácia rozpozná vzor pravidla pre súčin log(A*B). Rozdelí výraz na dva samostatné logaritmy spojené sčítaním:

$\log(x \times y) = \log(x) + \log(y)$

Pri výraze log(x^3) sa zhoduje vzor pravidla pre mocninu log(A^n) a exponent sa presunie pred logaritmus:

$\log(x^3) = 3 \times \log(x)$

Exponent môže byť záporný alebo desatinný. log(x^-2) dáva -2 * log(x) a log(x^0.5) dáva 0.5 * log(x).

Pri vlastnom základe, napríklad log_2(8), aplikácia symbolicky použije vzorec na zmenu základu. Číselný výsledok, ktorým je 3, nevypočíta; vráti podiel log(8) / log(2).

Príklady vstupov a výsledkov

V poslednom stĺpci je názov pravidla, ktorý aplikácia vypisuje pod diagramom.

Vstup	Výsledok	Zobrazené pravidlo
`log(100)`	`2`	Výpočet základu
`log(8)`	`0.903090`	Výpočet základu
`log(1)`	`0`	Výpočet základu
`log(10)`	`1`	Výpočet základu
`log(0.5)`	`-0.301030`	Výpočet základu
`ln(20)`	`2.995732`	Výpočet základu
`ln(e^5)`	`5`	Prirodzený logaritmus e na n-tú
`log(x^3)`	`3 * log(x)`	Pravidlo pre mocninu
`log(x^-2)`	`-2 * log(x)`	Pravidlo pre mocninu
`log(x*y)`	`log(x) + log(y)`	Pravidlo pre súčin
`log(x/y)`	`log(x) - log(y)`	Pravidlo pre podiel
`log_5(5)`	`1`	Identita logaritmu so základom
`log_2(8)`	`log(8) / log(2)`	Zmena základu (symbolický výsledok, nie `3`)
`log(x+y)`	`log(x+y)` (bez zmeny)	Zjednodušenie

Používanie aplikácie

Do vstupného poľa zadajte výraz, pričom na násobenie použite *, na delenie /, na exponenty ^ a na zoskupenie členov zátvorky. Pre vlastný základ použite zápis s podčiarkovníkom, napríklad log_2(8). Výsledok sa zobrazí hneď po zadaní platného výrazu spolu s malým diagramom znázorňujúcim vstup, výsledok a použité jediné pravidlo. Tlačidlo kopírovania umožňuje vložiť výsledok do iných dokumentov.

Obmedzenia

Aplikácia je jednoduchý nástroj na porovnávanie vzorov, nie úplný systém počítačovej algebry. Nedokáže:

Použiť na ten istý výraz dve alebo viac pravidiel za sebou, takže viacčlenné výrazy ako log(x^2*y/z) ďalej nerozkladá.
Pracovať so vstupom obsahujúcim viac než jeden logaritmus. Výraz log(8)/log(2) vráti bez zmeny a nevypočíta ho ako 3.
Vypočítať logaritmus s vlastným základom na obyčajné číslo. log_2(8) zostane v tvare log(8) / log(2) a nezmení sa na 3.
Zjednodušiť súčty alebo rozdiely vo vnútri logaritmu, napríklad log(x + y), pretože pravidlá pre súčin a podiel platia iba pre násobenie a delenie.
Riešiť rovnice, kresliť grafy funkcií ani spracúvať vnorené logaritmy.

Na tieto úlohy sa lepšie hodí úplný systém počítačovej algebry, napríklad Wolfram Alpha, alebo grafická kalkulačka.

Stručná história

Škótsky matematik John Napier zaviedol logaritmy v roku 1614, aby zmenil násobenie na sčítanie a skrátil čas ručných výpočtov astronómov a navigátorov. Henry Briggs neskôr spolupracoval s Napierom na vytvorení logaritmických tabuliek so základom 10, ktoré boli vydané v roku 1617 a používali sa viac ako tri storočia. V 20. storočí získali logaritmy novú úlohu: Claude Shannon ich v roku 1948 použil na definovanie bitu, základnej jednotky informácie, a informatici dnes používajú logaritmy na opis toho, ako efektívnosť algoritmov, ako je binárne vyhľadávanie, závisí od veľkosti vstupu.

Často kladené otázky

Čo je zjednodušovač logaritmov? Je to nástroj, ktorý prepisuje logaritmický výraz pomocou logaritmického pravidla, napríklad zmení log(x*y) na log(x) + log(y). Táto aplikácia porovnáva s celým zadaným výrazom vždy jedno pravidlo.

Zjednoduší sa log_2(8) na 3? Nie. Aplikácia symbolicky použije vzorec na zmenu základu a vráti log(8) / log(2). Logaritmy s vlastným základom neprepočítava na číslo ani vtedy, keď je číselný výsledok celé číslo.

Môže aplikácia skombinovať viacero pravidiel v jednom výraze? Nie. Každé pravidlo kontroluje celý výraz naraz. Výraz, ktorý vyžaduje dve pravidlá, napríklad najprv oddeliť súčin a potom v ňom použiť pravidlo pre mocninu, sa vráti bez zmeny.

Prečo sa log(x + y) ďalej nezjednoduší? Pravidlá pre súčin a podiel platia vnútri logaritmu iba pre násobenie a delenie, nie pre sčítanie alebo odčítanie. log(x + y) nemožno prepísať ako log(x) + log(y); ide o bežnú chybu.

Kde prebieha výpočet? V prehliadači na zariadení. Výraz sa neposiela na server a nástroj možno používať bez registrácie.

Zjednodušovač Logaritmov - Okamžité Riešenia Krok za Krokom