Kalkulačka Laplaceovho rozdelenia - Bezplatný PDF a vizualizačný nástroj

Čo je Laplaceovo rozdelenie?

Laplaceovo rozdelenie, nazývané aj dvojnásobné exponenciálne rozdelenie, je spojité pravdepodobnostné rozdelenie v tvare dvoch exponenciálnych kriviek spojených vrcholmi. Je symetrické okolo strednej hodnoty a má hrubšie chvosty než normálne rozdelenie, takže extrémnym hodnotám priraďuje vyššiu pravdepodobnosť. Kalkulačka Laplaceovho rozdelenia na tejto stránke vypočíta maximálnu hustotu pravdepodobnosti rozdelenia z parametra polohy a parametra mierky a vykreslí celú krivku hustoty.

Rozdelenie je pomenované po francúzskom matematikovi Pierrovi-Simonovi Laplaceovi, ktorý ho prvýkrát opísal v roku 1774.

Vzorec Laplaceovho rozdelenia

Funkcia hustoty pravdepodobnosti (PDF) Laplaceovho rozdelenia je:

$f(x \mid \mu, b) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$

• x je ľubovoľný bod na číselnej osi.
• μ (mí), parameter polohy, je stredom rozdelenia. Je zároveň strednou hodnotou a mediánom.
• b, parameter mierky, určuje rozptýlenie rozdelenia. Musí byť väčší než 0.
• |x − μ| je vzdialenosť medzi x a stredom bez ohľadu na smer.

Krivka dosahuje najvyšší bod presne pri x = μ. V tomto bode sa vzorec zjednoduší, pretože |μ − μ| = 0 a exp(0) = 1, takže zostane:

$f(\mu \mid \mu, b) = \frac{1}{2b}$

Táto maximálna hodnota, 1/(2b), je číslo, ktoré kalkulačka uvádza.

Ako používať kalkulačku Laplaceovho rozdelenia

1. Zadajte parameter polohy (μ). Určuje, kde je rozdelenie vystredené.
2. Zadajte parameter mierky (b). Musí ísť o kladné číslo; čím je jeho hodnota väčšia, tým je krivka plochejšia a rozptýlenejšia.
3. Kalkulačka zobrazí maximálnu hustotu, 1/(2b), a vykreslí krivku hustoty f(x) od μ − 4b po μ + 4b. Zvislá os grafu predstavuje hustotu pravdepodobnosti a krivku možno stiahnuť ako tabuľku hodnôt x a f(x).

Kalkulačka neprijíma samostatnú hodnotu x. Vždy uvádza hustotu vo vlastnom maxime rozdelenia, x = μ, pretože ide o jediné najpraktickejšie súhrnné číslo na porovnávanie rozdelení s rôznymi mierkami. Ak chcete nájsť hustotu v inom bode, použite vyššie uvedený vzorec s požadovanou hodnotou x alebo odčítajte výšku z grafu.

Vyriešený príklad

Uvažujme polohu μ = 4 a mierku b = 2.

1. Skontrolujte, že b je kladné: 2 > 0, takže vstupné hodnoty sú platné.
2. Maximum sa nachádza pri x = μ = 4, kde |x − μ| = 0.
3. Vypočítajte maximálnu hustotu: 1 / (2 × 2) = 1 / 4 = 0,25.

Kalkulačka zobrazí 0,250000. Vykreslená krivka dosahuje maximum v bode (4, 0,25) a na oboch stranách symetricky klesá; siaha od μ − 4b po μ + 4b, teda v tomto prípade od −4 po 12.

Keďže vzorec maximálnej hustoty, 1/(2b), neobsahuje μ, zmena polohy iba posunie krivku doľava alebo doprava. Jej výšku nezmení. Výšku mení iba parameter mierky.

Ďalšie príklady

Stredná hodnota, rozptyl a štandardná odchýlka

Pre Laplaceovo rozdelenie s polohou μ a mierkou b platí:

• Stredná hodnota = μ
• Medián = μ
• Rozptyl = 2b²
• Štandardná odchýlka = b√2

Laplaceovo rozdelenie v porovnaní s normálnym rozdelením

Obe rozdelenia sú symetrické a majú zvonovitý tvar; obe sú úplne určené stredom a parametrom rozptýlenia. Rozdiel je v chvostoch. V normálnom rozdelení hustota klesá so štvorcom vzdialenosti od strednej hodnoty, takže extrémne hodnoty sa veľmi rýchlo stávajú zanedbateľne zriedkavými. V Laplaceovom rozdelení klesá s priamou vzdialenosťou, takže extrémne hodnoty zostávajú pomerne pravdepodobnejšie. Laplaceovo rozdelenie je preto užitočné vždy, keď skutočné údaje obsahujú viac odľahlých hodnôt, než by predpokladalo normálne rozdelenie.

Bežné použitie

• Spracovanie signálov a obrazu: modelovanie šumu a kompresia obrazov, keďže rozdiely medzi pixelmi alebo signálmi sa často zoskupujú okolo nuly s občasnými veľkými skokmi.
• Diferenciálne súkromie: Laplaceov mechanizmus pridáva k výsledkom dopytov šum s Laplaceovým rozdelením, aby chránil údaje jednotlivcov a zároveň zachoval celkovú presnosť.
• Robustná štatistika a regresia: Lasso regresia používa apriórne rozdelenie v tvare Laplaceovho rozdelenia, ktoré uprednostňuje riešenia, pri ktorých je veľa koeficientov presne nulových.
• Financie: modelovanie výnosov aktív, ktoré mávajú hrubšie chvosty, než naznačuje normálne rozdelenie.
• Seizmológia: objavuje sa v modeloch vzorcov magnitúd zemetrasení súvisiacich s Gutenbergovým-Richterovým zákonom.

Najčastejšie otázky

Čo znamená výsledok kalkulačky?

Ide o maximálnu hodnotu funkcie hustoty pravdepodobnosti, ktorá sa rovná 1/(2b). Je to výška krivky v jej strede, x = μ.

Prečo kalkulačka nevyžaduje hodnotu x?

Maximálna hustota, 1/(2b), je rovnaká pri každej hodnote x rovnej μ, takže na jej zistenie nie je potrebný samostatný vstup x. Ide o štandardné jediné číslo používané na porovnanie toho, aké vysoké a úzke alebo nízke a široké sú dve Laplaceove rozdelenia. Celá krivka s hustotou pri každej hodnote x je k dispozícii v grafe.

Ako nájdem hustotu v bode inom než maximum?

Použite vzorec $f(x) = \frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)$ s požadovanou hodnotou x alebo výšku odčítajte priamo z vykreslenej krivky.

Ako sa Laplaceovo rozdelenie líši od exponenciálneho rozdelenia?

Laplaceovo rozdelenie možno zostrojiť z dvoch exponenciálnych rozdelení. Ak sú X a Y nezávislé exponenciálne náhodné premenné s rovnakou mierou, potom X − Y má Laplaceovo rozdelenie so stredom v 0.

Aké sú typické použitia Laplaceovho rozdelenia?

Používa sa pri spracovaní signálov, kompresii obrazov, diferenciálnom súkromí, robustnej štatistike, Lasso regresii a pri modelovaní finančných výnosov a magnitúd zemetrasení, všade tam, kde skutočné údaje vykazujú viac extrémnych hodnôt, než predpokladá normálne rozdelenie.

Môže byť Laplaceovo rozdelenie záporné alebo sa používa iba pre kladné hodnoty?

Je definované pre všetky reálne čísla, kladné aj záporné, na rozdiel od exponenciálneho rozdelenia, ktoré nadobúda iba nezáporné hodnoty.

Referencie

1. Kotz, S., Kozubowski, T. a Podgórski, K. (2001). Laplaceovo rozdelenie a zovšeobecnenia. Birkhäuser, Boston, MA.
2. "Laplace distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution