Generator in kalkulator aritmetičnih zaporedij - Brezplačno orodje

Kaj je aritmetično zaporedje?

Aritmetično zaporedje je seznam števil, pri katerem vsak člen dobimo tako, da prejšnjemu členu prištejemo stalno vrednost. Ta stalna vrednost se imenuje skupna razlika. V zaporedju 2, 5, 8, 11, 14 je vsak člen za 3 večji od prejšnjega, zato je skupna razlika 3. Aritmetična zaporedja imenujemo tudi aritmetične progresije.

Generator aritmetičnih zaporedij sestavi takšen seznam iz treh vrednosti:

• Prvi člen (a₁): začetno število.
• Skupna razlika (d): stalna vrednost, ki jo prištejemo vsakemu členu, da dobimo naslednjega. Pozitivna vrednost povzroči naraščanje zaporedja. Negativna vrednost povzroči njegovo upadanje.
• Število členov (n): koliko števil je v zaporedju.

Zapisano v celoti je aritmetično zaporedje videti tako: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d in tako naprej do a₁ + (n − 1)d.

Formula aritmetičnega zaporedja

Formula za n-ti člen aritmetičnega zaporedja je:

aₙ = a₁ + (n − 1) × d

• aₙ je vrednost člena na mestu n.
• a₁ je prvi člen.
• n je mesto člena, pri čemer štejemo od 1.
• d je skupna razlika.

Izraz (n − 1) se pojavi zato, ker prvemu členu skupna razlika še ni bila prišteta. Drugemu členu je bila prišteta enkrat, tretjemu dvakrat in tako naprej. Pri n-tem členu je bila skupna razlika prišteta (n − 1)-krat.

Formula za vsoto aritmetičnega zaporedja

Vsota prvih n členov aritmetičnega zaporedja je:

Sₙ = (n / 2) × (a₁ + aₙ)

Sₙ je vsota prvih n členov, aₙ pa je zadnji člen, vključen v to vsoto. Formula deluje, ker seštevanje prvega in zadnjega člena, drugega in predzadnjega člena ter tako naprej vedno da enak seštevek para. Če ta seštevek pomnožimo s polovico števila členov, dobimo skupno vsoto.

Enakovredna oblika, pri kateri ni treba vnaprej poznati zadnjega člena, je:

Sₙ = (n / 2) × (2a₁ + (n − 1) × d)

Formula se pripisuje matematiku Carlu Friedrichu Gaussu, ki naj bi kot otrok metodo združevanja uporabil za seštevanje števil od 1 do 100 v nekaj sekundah: 50 parov, pri čemer je bil seštevek vsakega para 101, skupna vsota pa 5.050.

Izračunani primer

Vzemimo prvi člen 5, skupno razliko 3 in 6 členov.

Zaporedje je 5, 8, 11, 14, 17, 20. Njegova vsota je (6 / 2) × (5 + 20) = 3 × 25 = 75.

Kako uporabljati kalkulator aritmetičnih zaporedij

1. Vnesite prvi člen (a₁). Lahko je pozitiven, negativen ali nič in lahko vsebuje decimalke.
2. Vnesite skupno razliko (d). Tudi ta je lahko pozitivna, negativna, enaka nič ali decimalna.
3. Vnesite število členov (n). To mora biti celo število od 1 do 10.000. Decimalno število se zaokroži na najbližje celo število.
4. Zaporedje, število njegovih členov in njegova vsota se prikažejo takoj, ko so izpolnjena vsa tri polja. Pritisniti ni treba nobenega posebnega gumba.
5. Izberite Kopiraj zaporedje, da kopirate celoten seznam členov.
6. Izberite Počisti, da izpraznite vsa tri polja in začnete znova.

Pravila za vnos

Prvi člen in skupna razlika sprejemata poljubno realno število, tudi decimalna in negativna števila. Število členov šteje cele elemente, zato zaporedje ne more imeti polovice člena. Polje decimalni vnos zaokroži na najbližje celo število: če vnesete 10,5, dobite 11 členov. Število mora biti nato med 1 in 10.000. Pri nič, negativnem številu ali številu, večjem od 10.000, se namesto zaporedja prikaže napaka. Omejitev 10.000 obstaja zato, ker lahko izdelava in prikaz daljšega seznama upočasnita spletni brskalnik.

Uporaba aritmetičnih zaporedij

Aritmetična zaporedja opisujejo vse, kar se v enakomernih korakih spreminja za stalno vrednost. Varčevalni načrt, ki se začne pri 100 $ in vsak mesec doda 25 $, sledi aritmetičnemu zaporedju: 100, 125, 150, 175 in tako naprej. Odštevalnik, niz enakomerno razporejenih časov sestankov ter indeksi vrstic in stolpcev, ki se uporabljajo v računalniških programih, sledijo istemu vzorcu. Dijaki aritmetična zaporedja pogosto uporabljajo pri preučevanju vzorcev v osnovni algebri, saj stalna razlika olajša razumevanje in preverjanje pravila, ki določa seznam.

Soroden vzorec je geometrijsko zaporedje, pri katerem vsak člen dobimo z množenjem s stalnim količnikom namesto s prištevanjem stalne vrednosti, na primer 2, 6, 18, 54. Geometrijska zaporedja ponazarjajo rast, ki se sčasoma pospešuje, na primer obrestno-obrestni račun, ne pa enakomerne linearne spremembe aritmetičnega zaporedja.

Zgodovina

Aritmetična zaporedja spadajo med najstarejše preučevane vzorce v matematiki. Rhindov matematični papirus, egipčanski dokument iz obdobja okoli 1650 pr. n. št., vsebuje naloge, pri katerih se aritmetične progresije uporabljajo za delitev dobrin. Podobne vzorce kažejo še starejša babilonska besedila. Grški matematiki, med njimi Evklid okoli 300 pr. n. št., so pozneje podali formalne dokaze o teh zaporedjih, ki se poučujejo še danes.

Pogosta vprašanja

Kaj je aritmetično zaporedje preprosto povedano?

To je seznam števil, pri katerem vsakič prištejemo enako vrednost, da dobimo naslednje število. V zaporedju 2, 5, 8, 11 je ta vrednost 3.

Kako najdemo n-ti člen, ne da bi izpisali vse prejšnje člene?

Formula aₙ = a₁ + (n − 1) × d neposredno poda poljuben člen. Za zaporedje, ki se začne pri 3 in ima skupno razliko 7, je 50. člen 3 + (49 × 7) = 346.

Kakšna je razlika med aritmetičnim in geometrijskim zaporedjem?

Pri aritmetičnem zaporedju vsakič prištejemo enako vrednost, na primer 2, 5, 8, 11. Pri geometrijskem zaporedju vsakič množimo z enako vrednostjo, na primer 2, 6, 18, 54.

Ali lahko aritmetično zaporedje uporablja negativna števila?

Da. Prvi člen, skupna razlika ali oba so lahko negativni. Zaporedje -10, -6, -2, 2, 6 ima skupno razliko 4. Odštevanje, kot je 100, 90, 80, 70, ima skupno razliko -10.

Kako iz seznama števil določimo skupno razliko?

Od katerega koli člena odštejte člen, ki mu sledi: d = a₂ − a₁. Pri 7, 12, 17, 22 je to 12 − 7 = 5, prav tako pa 17 − 12 da 5, kar potrjuje, da je zaporedje aritmetično.

Kolikšno je največje število členov, ki jih lahko ustvari ta kalkulator?

Do 10.000 členov. Omejitev obstaja zato, ker lahko prikaz precej daljšega seznama upočasni spletni brskalnik.