Kalkulator prostega pada - Kalkulator hitrosti, razdalje in časa

Kalkulator prostega pada: hitrost, razdalja in čas

Kalkulator prostega pada izračuna hitrost telesa, ki pada zaradi gravitacije, razdaljo, ki jo je prepotovalo, in višino, na kateri je še nad tlemi. Vnesite začetno višino, začetno hitrost in pretečeni čas, kalkulator pa vrne končno hitrost, premik navzdol in končno višino.

Kaj je prosti pad?

Prosti pad je gibanje, ki ga povzroča samo gravitacija. Zračni upor zanemarimo. Blizu Zemljinega površja se vsako padajoče telo pospešuje z enakim pospeškom ne glede na svojo maso. Če je zračni upor dovolj majhen, da ga lahko zanemarimo, kovanec in kladivo, ki ju spustimo hkrati, pristaneta na tleh istočasno.

Galileo Galilei je to eksperimentalno pokazal v začetku 1600. let, s čimer je ovrgel starejšo predstavo, da težja telesa padajo hitreje. Leta 1971 je astronavt David Scott iz odprave Apollo 15 na Luni spustil kladivo in pero, saj tam ni zraka, ki bi upočasnil pero. Oboje je pristalo hkrati, kar je bilo posneto s kamero.

Stopnja tega pospeševanja se imenuje standardni gravitacijski pospešek in se označuje z g. Njegova določena vrednost je natanko 9,80665 metra na sekundo na kvadrat (m/s²), določena z mednarodnim sporazumom leta 1901. V imperialnih enotah znaša enak pospešek 32,17405 čevljev (9,81 m) na sekundo na kvadrat (ft/s²). Ta vrednost je količnik 9,80665 in 0,3048, natančnega števila metrov v enem čevlju, zaokrožen na pet decimalnih mest. V številnih učbeniških primerih se metrična vrednost zaradi preprostejšega računanja zaokroži na 9,81 m/s².

Formula prostega pada

Vsak problem prostega pada opišejo tri enačbe. Smer navzdol obravnavamo kot pozitivno, zato pozitivna hitrost kaže proti tlom, negativna pa navzgor.

Formula za hitrost

$v = v_0 + gt$

• $v$ = končna hitrost
• $v_0$ = začetna hitrost (0, če je bilo telo spuščeno iz mirovanja; negativna, če je bilo vrženo navzgor)
• $g$ = gravitacijski pospešek, 9,80665 m/s² ali 32,17405 čevljev/s² v tem kalkulatorju
• $t$ = pretečeni čas v sekundah

Formula za razdaljo

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$

Tu je $d$ premik: razdalja, za katero se je telo premaknilo navzdol. Pri telesu, spuščenem iz mirovanja ($v_0 = 0$), se enačba poenostavi v $d = \frac{1}{2}gt^2$. Če je bilo telo vrženo navzgor in je še vedno nad točko izpusta, je vrednost $d$ negativna.

Formula za hitrost in razdaljo

Ko čas ni znan, ta enačba neposredno povezuje hitrost in razdaljo:

$v^2 = v_0^2 + 2gd$

Pri telesu, spuščenem iz mirovanja, se enačba poenostavi v $v = \sqrt{2gd}$. To je formula za izračun hitrosti ob trku iz znane višine spusta ali višine spusta iz znane hitrosti ob trku.

Kako izračunati prosti pad s tem kalkulatorjem

Kalkulator sprejme štiri nastavitve in vrne tri rezultate.

1. Izberite sistem enot. Metrični sistem uporablja metre in metre na sekundo. Imperialni sistem uporablja čevlje in čevlje na sekundo.
2. Vnesite začetno višino, torej višino, na kateri je telo na začetku nad tlemi. Ne sme biti negativna.
3. Vnesite začetno hitrost. Za telo, spuščeno iz mirovanja, uporabite 0, za telo, vrženo navzdol, pozitivno število, za telo, vrženo navzgor, pa negativno število.
4. Vnesite pretečeni čas od izpusta telesa. Biti mora večji od nič.

Rezultati so končna hitrost, premik in končna višina (začetna višina, zmanjšana za premik). Čas je tukaj vhodni podatek, ne rezultat: kalkulator ne izračuna časa nazaj iz ciljne hitrosti ali razdalje.

Če je vneseni čas dovolj dolg, da bi telo že zadelo tla, kalkulator namesto negativne končne višine prikaže, da je telo zadelo tla.

Primer: privzeta nastavitev

Telo spustimo iz mirovanja z višine 100 metrov. Kje je po 3 sekundah?

Hitrost po 3 sekundah:

$v = 0 + 9.80665 \times 3 = 29.41995 \approx 29.42 \text{ m/s}$

Premik v teh 3 sekundah:

$d = \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 3^2 = 44.129925 \approx 44.13 \text{ m}$

Končna višina:

$100 - 44.129925 = 55.870075 \approx 55.87 \text{ m}$

Telo torej pada s hitrostjo približno 29,42 m/s, padlo je približno 44,13 m in je še vedno približno 55,87 m nad tlemi.

Primer: čas in hitrost iz znane višine

Ključ spustimo z odra, visokega 20 metrov. Koliko časa potrebuje, da doseže tla, in kako hitro se giblje ob trku?

Z uporabo $d = \frac{1}{2}gt^2$ pri $d = 20$ m in $g = 9.81$ m/s²:

$t = \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.81}} \approx 2.02 \text{ sekund}$

$v = gt = 9.81 \times 2.02 \approx 19.8 \text{ m/s (približno 71 km/h)}$

Primer: višina iz hitrosti ob trku

Telo zadene tla s hitrostjo 25 m/s, potem ko je bilo spuščeno iz mirovanja. S katere višine je padlo?

Z uporabo $v^2 = 2gd$:

$d = \frac{v^2}{2g} = \frac{25^2}{2 \times 9.81} = \frac{625}{19.62} \approx 31.9 \text{ metrov}$

To je približno višina desetnadstropne stavbe.

Kako se gravitacija spreminja

Standardni gravitacijski pospešek, 9,80665 m/s², je povprečna referenčna vrednost. Dejanski gravitacijski pospešek se po Zemljinem površju nekoliko razlikuje. Na ekvatorju je šibkejši (približno 9,78 m/s²) kot na polih (približno 9,83 m/s²), ker je Zemlja na ekvatorju izbočena navzven in se tam vrti najhitreje. Gravitacija se z nadmorsko višino prav tako nekoliko zmanjša: na 10.000 metrih pade na približno 9,78 m/s².

Druga nebesna telesa imajo zelo različne gravitacijske pospeške, zato iste formule dajo zelo različne rezultate:

Gravitacijski pospešek na Luni je približno šestina gravitacijskega pospeška na Zemlji, zato telo, spuščeno na Luni, v enakem času prepotuje približno šestino razdalje.

Prosti pad in zračni upor

Te formule predpostavljajo vakuum, v katerem zrak ne deluje nasprotno gibanju telesa. Dejanski zračni upor narašča s kvadratom hitrosti, zato je pri večjih hitrostih pomembnejši. Na gosto, kompaktno telo, kot sta ključ ali kamen, ki padeta z majhne višine, vpliva le malo. Močno pa vpliva na lahka ali široka telesa, kot so pero, list papirja ali padalo.

Ko zračni upor dovolj naraste in se izenači s silo gravitacije, se telo preneha pospeševati in pada s stalno hitrostjo, imenovano končna hitrost. Padalec v položaju s trebuhom navzdol običajno doseže končno hitrost približno 53 metrov na sekundo, kar je približno 190 km/h ali 120 mph, preden odpre padalo.

Pogosta vprašanja

Kaj je prosti pad v fiziki?

Prosti pad je gibanje telesa, na katerega deluje samo gravitacija, zračni upor pa zanemarimo. Vsa padajoča telesa blizu Zemljinega površja pospešujejo navzdol z enako hitrostjo, približno 9,81 m/s², ne glede na svojo maso.

Zakaj vsa telesa padajo z enako hitrostjo?

Gravitacija močneje vleče težje telo, vendar se težje telo tudi bolj upira spremembi gibanja, saj ima več vztrajnosti. Ta učinka se natanko izničita, zato masa ne vpliva na hitrost pospeševanja pri prostem padu.

Kakšna je formula za hitrost pri prostem padu?

$v = v_0 + gt$, pri čemer je $v_0$ začetna hitrost, $g$ gravitacijski pospešek, $t$ pa čas. Pri telesu, spuščenem iz mirovanja, je to preprosto $v = gt$.

Kakšna je formula za razdaljo pri prostem padu?

$d = v_0t + \frac{1}{2}gt^2$. Pri telesu, spuščenem iz mirovanja, se enačba poenostavi v $d = \frac{1}{2}gt^2$.

Zakaj je premik včasih negativen?

V tem kalkulatorju se smer navzdol šteje kot pozitivna. Negativen premik pomeni, da je telo nad točko, s katere je bilo spuščeno, kar se zgodi, če je bilo vrženo navzgor in se še ni vrnilo navzdol. Vrzite žogo navzgor s hitrostjo 10 m/s in jo preverite po 1 sekundi: $d = -10 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.80665 \times 1^2 = -5.10$ m, zato je 5,10 m višje, kot je bila na začetku.

Koliko časa traja, da telo pade z določene višine?

Če enačbo za razdaljo rešimo za čas, dobimo $t = \sqrt{2d/g}$ za telo, spuščeno iz mirovanja. Spust z višine 20 metrov traja približno 2,02 sekunde.

Zakaj ta kalkulator uporablja 9,80665 m/s² namesto 9,8?

9,80665 m/s² je natančno mednarodno določena vrednost standardnega gravitacijskega pospeška, sprejeta leta 1901. Zaokroževanje na 9,8 ali 9,81 je v učbenikih običajno in za večino namenov dovolj natančno. Kalkulator uporablja določeno vrednost, tako da metrični in imperialni rezultati opisujejo isti fizikalni padec, kar ne velja za zaokroženi vrednosti 9,8 m/s² in 32,2 čevljev/s².

Ali ta kalkulator upošteva zračni upor?

Ne. Predpostavlja idealizirani prosti pad v vakuumu. To daje natančne rezultate za gosta, kompaktna telesa, ki padajo z zmernih višin, vendar preceni hitrost in razdaljo pri lahkih ali širokih telesih oziroma pri zelo dolgih padih, pri katerih zračni upor postane pomemben.