Калкулатор хипотенузе

Калкулатор хипотенузе израчунава дужину најдуже странице правоуглог троугла, која се назива хипотенуза. Он користи Питагорину теорему, правило које повезује три странице сваког правоуглог троугла.

Шта је хипотенуза?

Правоугли троугао има један угао од 90 степени, који настаје тамо где се две странице сусрећу под правим углом. Те две странице називају се катетама. Трећа страница, наспрам правог угла, јесте хипотенуза. Она је увек најдужа страница троугла.

Формула Питагорине теореме

Питагорина теорема каже да је квадрат хипотенузе једнак збиру квадрата двеју катета.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

c је хипотенуза
a и b су две катете

Да би се пронашла непозната катета уместо хипотенузе, формула се може преуредити:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Теорема је названа по грчком математичару Питагори, који је живео приближно од 570. до 495. године пре нове ере. Та веза је била позната и раније. Вавилонске глинене таблице датиране око 1800. године пре нове ере показују да су је вавилонски математичари већ користили, више од хиљаду година пре Питагоре.

Како израчунати хипотенузу

Да бисте ручно израчунали хипотенузу, пратите четири корака.

Израчунајте квадрат дужине странице A (помножите је самом собом).
Израчунајте квадрат дужине странице B.
Саберите те две вредности на квадрат.
Израчунајте квадратни корен тог збира.

Калкулатор на овој страници обавља иста четири корака. У менију изаберите „Пронађи хипотенузу“, „Пронађи страницу A“ или „Пронађи страницу B“, а затим унесите две познате дужине. Резултат се ажурира чим се унесу важећи бројеви и заокружује на две децимале.

Обе странице морају бити изражене истом мерном јединицом, на пример инчима или метрима. Калкулатор не претвара јединице, па вредност унета у стопама и вредност унета у инчима заједно неће дати смислен резултат.

Решени пример

Правоугли троугао има страницу A дужине 3 стопе (0,91 m) и страницу B дужине 4 стопе (1,2 m).

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5,00 стопа (1,52 m)

Овај образац 3-4-5 је помоћно правило које столари користе за проверу да ли је угао прав. Измерите 3 стопе (0,91 m) дуж једне ивице и 4 стопе (1,2 m) дуж ивице која је на њу управна. Дијагонално растојање између те две тачке треба да буде тачно 5 стопа (1,5 m). На исти начин функционише и сваки умножак овог обрасца, као што су 6-8-10 или 30-40-50.

Други пример користи децималне вредности. Правоугли троугао има страницу A дужине 2,5 инча (6,35 cm) и страницу B дужине 6,8 инча (17,3 cm).

c = √(2,5² + 6,8²) = √(6,25 + 46,24) = √52,49 ≈ 7,24 инча (18,4 cm)

Величине телевизора и монитора мере се на овај начин. Наведена величина екрана представља дијагоналу, која је хипотенуза правоугаоника образованог ширином и висином екрана.

Проналажење непознате странице

Ако су хипотенуза и једна катета већ познате, калкулатор може да израчуна другу катету. Изаберите „Пронађи страницу A“ или „Пронађи страницу B“, а затим унесите хипотенузу и познату катету.

На пример, правоугли троугао има хипотенузу дужине 10 метара и страницу B дужине 6 метара.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8,00 метара

Хипотенуза увек мора бити дужа од било које катете, јер је најдужа страница троугла. Ако унета вредност хипотенузе није већа од познате катете, калкулатор приказује грешку уместо резултата, јер такав правоугли троугао не постоји.

Уобичајене примене

Питагорина теорема се користи кад год треба пронаћи право дијагонално растојање на основу два управна мерења.

Грађевинарство и столарство: провера да ли је угао оквира или зида прав и израчунавање дужине рогова или газишта степеништа.
Геодетско премеравање: претварање хоризонталних и вертикалних растојања у директно растојање по линији визирања.
Навигација и рачунарска графика: формула за растојање између две тачке на графику, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], јесте иста теорема примењена на координате.
Образовање: то је један од првих геометријских доказа са којима се већина ученика сусреће и може се проверити једноставним примерима са целим бројевима, као што су 3-4-5 или 5-12-13.

Теорема важи само за правоугле троуглове. За троугао без угла од 90 степени користи се косинусна теорема.

Најчешће постављана питања

Која је формула за хипотенузу? c = √(a² + b²), где су a и b две катете правоуглог троугла, а c је хипотенуза.

Може ли се ово користити за троуглове без правог угла? Не. Питагорина теорема важи само за правоугле троуглове. За троугао без угла од 90 степени потребна је косинусна теорема.

Шта је правило 3-4-5? То је помоћно правило за проверу правог угла. Ако једна страница мери 3 јединице, суседна управна страница мери 4 јединице, а дијагонала између њихових крајњих тачака мери 5 јединица, угао је прав. На исти начин функционише сваки умножак 3-4-5, као што су 6-8-10 или 30-40-50.

Да ли обе странице морају бити изражене истом мерном јединицом? Да. Обе катете морају бити унете у истој јединици, на пример обе у стопама или обе у метрима. Мешање јединица, као што су стопе и инчи, даје математички тачан, али физички бесмислен резултат.

Зашто калкулатор приказује грешку за неке комбинације хипотенузе и катете? Хипотенуза је увек најдужа страница правоуглог троугла. Ако унета вредност хипотенузе није већа од познате катете, не постоји важећи правоугли троугао, па калкулатор враћа грешку уместо резултата.

На колико децималних места се приказује резултат? На два. Калкулатор током израчунавања интерно задржава пуну прецизност и заокружује само приказани број.

Да ли је ово исто што и формула за растојање? Да. Формула за растојање у координатној геометрији, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²], јесте Питагорина теорема примењена на две тачке на графику. Хоризонтално и вертикално растојање између тих тачака чине две катете правоуглог троугла.

Калкулатор хипотенузе - Алат за Питагорину теорему