เครื่องคำนวณดัชนีมิลเลอร์ - แปลงจุดตัดระนาบผลึกเป็น (hkl)

ดัชนีมิลเลอร์คืออะไร?

ดัชนีมิลเลอร์คือชุดจำนวนเต็มสามจำนวน เขียนเป็น (h,k,l) ซึ่งใช้ระบุระนาบในโครงผลึก โครงผลึกคือการจัดเรียงอะตอมอย่างเป็นระเบียบและเกิดซ้ำในวัสดุของแข็ง ดัชนีมิลเลอร์บอกนักวิทยาศาสตร์ได้อย่างชัดเจนว่าระนาบหนึ่งแทนหน้าตัดใดผ่านโครงผลึกนั้น โดยไม่ต้องอธิบายเรขาคณิตเป็นคำพูด แนวคิดนี้เสนอโดยนักแร่วิทยาชาวอังกฤษ วิลเลียม ฮัลโลวส์ มิลเลอร์ ในปี 1839 และยังคงเป็นสัญกรณ์มาตรฐานในผลึกศาสตร์จนถึงปัจจุบัน

เครื่องคำนวณนี้แปลงจุดตัดของระนาบกับแกนผลึกศาสตร์ x, y และ z ให้เป็นดัชนีมิลเลอร์ (h,k,l)

สูตรดัชนีมิลเลอร์

ดัชนีมิลเลอร์ได้มาจากส่วนกลับของระยะตัดแกนของระนาบ หากระนาบตัดแกน x, y และ z ที่ระยะ a, b และ c จากจุดกำเนิด ดัชนีจะเป็นไปตามนี้:

$h : k : l = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$

วิธีคำนวณดัชนีมิลเลอร์จากระยะตัดแกน

1. หาตำแหน่งที่ระนาบตัดแกนแต่ละแกน โดยวัดเป็นหน่วยของความยาวขอบเซลล์หน่วย แล้วเรียกระยะตัดเหล่านี้ว่า a, b และ c
2. หาส่วนกลับของระยะตัดแต่ละค่า: 1/a, 1/b, 1/c
3. คูณส่วนกลับทั้งสามด้วยจำนวนเดียวกัน เพื่อให้แต่ละค่ากลายเป็นจำนวนเต็ม
4. หารจำนวนเต็มทั้งสามด้วยตัวหารร่วมมาก เพื่อให้ไม่สามารถลดรูปได้อีก

จำนวนเต็มสามค่าที่ได้คือ h, k และ l ระนาบที่ไม่เคยตัดแกนใดจะถือว่าตัดแกนนั้นที่อนันต์ และ 1 หารด้วยอนันต์เท่ากับ 0 ดังนั้นแกนนั้นจึงมีดัชนีมิลเลอร์เป็น 0

ตัวอย่างการคำนวณ

ระนาบหนึ่งตัดแกน x ที่ 2 ตัดแกน y ที่ 3 และตัดแกน z ที่ 6

1. ระยะตัดแกน: (2, 3, 6)
2. ส่วนกลับ: (1/2, 1/3, 1/6)
3. คูณด้วยคูณร่วมน้อยของตัวส่วน คือ 6: (3, 2, 1)
4. ตัวหารร่วมมากของ 3, 2 และ 1 คือ 1 ดังนั้นจำนวนเหล่านี้จึงไม่สามารถลดรูปได้อีก

ดัชนีมิลเลอร์คือ (321)

ตัวอย่างอื่น

• ระนาบที่ผ่านจุด (1, ∞, 2) ซึ่งขนานกับแกน y มีส่วนกลับเป็น (1, 0, 1/2) เมื่อคูณด้วย 2 จะได้ (2, 0, 1) ค่า 0 แสดงว่าระนาบไม่เคยตัดแกน y
• ระนาบที่ผ่านจุด (-1, 2, 3) มีส่วนกลับเป็น (-1, 1/2, 1/3) เมื่อคูณด้วย 6 จะได้ (-6, 3, 2) โดยทั่วไปเขียนเป็น (6̄32) โดยมีขีดบนดัชนีที่เป็นลบ
• ระนาบที่ผ่านจุด (1, ∞, ∞) มีส่วนกลับเป็น (1, 0, 0) จึงได้ (100) นี่คือหนึ่งในหกหน้าของลูกบาศก์

กรณีพิเศษ

ระนาบที่ขนานกับแกนจะไม่ตัดแกนนั้น ดังนั้นระยะตัดแกนจะถือว่าเป็นอนันต์ และดัชนีมิลเลอร์ของแกนนั้นคือ 0 ระนาบที่ตัดแกนด้านลบของจุดกำเนิดจะมีดัชนีเป็นลบ โดยเขียนด้วยขีดบนตัวเลขในสัญกรณ์แบบเป็นทางการ หรือใช้เครื่องหมายลบในข้อความทั่วไป ระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดเองไม่มีดัชนีมิลเลอร์ที่กำหนดได้ เพราะระนาบทุกชุดที่ขนานกันในโครงผลึกต้องเลื่อนออกจากจุดกำเนิดก่อนจึงจะระบุได้ จึงต้องเลื่อนจุดกำเนิดก่อนอธิบายระนาบดังกล่าว ระยะตัดแกนที่เป็นเศษส่วนจัดการในลักษณะเดียวกับจำนวนเต็ม คือหาส่วนกลับของแต่ละค่า แล้วกำจัดเศษส่วน

ดัชนีจะถูกลดรูปเป็นจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดเสมอ (622) และ (311) อธิบายกลุ่มระนาบเดียวกัน แต่ผลึกศาสตร์จะเขียนเป็น (311) เสมอ

วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้

ป้อนระยะตัดของระนาบกับแกน x, y และ z

• ใช้จำนวนบวกสำหรับระยะตัดที่อยู่ด้านบวกของจุดกำเนิด และใช้จำนวนลบสำหรับด้านลบ
• พิมพ์ "infinity", "inf" หรือ "∞" สำหรับระนาบที่ขนานกับแกน
• ไม่รับค่าระยะตัดเป็นศูนย์ เพราะไม่สามารถกำหนดดัชนีมิลเลอร์ให้ระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดด้วยวิธีนี้ได้

เครื่องคำนวณจะคำนวณดัชนีทันทีและแสดงแผนภาพของระนาบภายในเซลล์หน่วย

การประยุกต์ใช้ดัชนีมิลเลอร์

การเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์ จุดหรือพีกแต่ละจุดในรูปแบบการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์สอดคล้องกับชุดระนาบโครงผลึกที่มี (hkl) เฉพาะ กฎของแบรกก์เชื่อมโยงระยะห่างระหว่างระนาบเหล่านั้นกับมุมเลี้ยวเบนดังนี้:

$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$

ในที่นี้ d_hkl คือระยะห่างระหว่างระนาบ (h,k,l), λ คือความยาวคลื่นของรังสีเอกซ์ และ θ คือมุมเลี้ยวเบน การจับคู่พีกที่สังเกตได้กับค่า (hkl) ซึ่งเรียกว่าการทำดัชนี เป็นขั้นตอนพื้นฐานในการระบุโครงสร้างผลึกที่ไม่ทราบชนิด

วัสดุศาสตร์ ระนาบผลึกแต่ละแบบเผยให้เห็นการจัดเรียงอะตอมที่แตกต่างกัน จึงมีพลังงานผิว อัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมี และบทบาทต่อการเสียรูปของโลหะแตกต่างกัน ในโลหะโครงสร้างลูกบาศก์กลางหน้า เช่น อะลูมิเนียม ระนาบอะตอมจะเลื่อนผ่านกันได้ง่ายที่สุดตามระนาบ {111} แผ่นเวเฟอร์ซิลิคอนสำหรับชิปคอมพิวเตอร์มักตัดตามระนาบ (100) หรือ (111) เพราะการเลือกนี้ส่งผลต่อพฤติกรรมของขั้นตอนการผลิตภายหลัง

แร่วิทยา ผิวหน้าเรียบที่เห็นบนผลึกธรรมชาติและทิศทางที่แร่แตกออกได้อย่างเรียบร้อย ซึ่งเรียกว่าแนวแตกเรียบ ล้วนสอดคล้องกับระนาบดัชนีต่ำเฉพาะบางระนาบ ฮาไลต์ (เกลือแกง) แตกเรียบตามระนาบ {100} และฟลูออไรต์แตกเรียบตามระนาบ {111}

ดัชนีมิลเลอร์–บราเวส์สำหรับผลึกหกเหลี่ยม

ผลึกหกเหลี่ยม เช่น แมกนีเซียม สังกะสี และไทเทเนียม มักอธิบายด้วยระบบดัชนีสี่ตัว (hkil) แทนระบบสามตัว ดัชนีเพิ่มเติม i ไม่เป็นอิสระจากดัชนีอื่น โดยมีค่า i = -(h+k) เสมอ รูปแบบนี้ช่วยให้เห็นได้ง่ายขึ้นว่าระนาบสองระนาบอยู่ในกลุ่มที่สมมูลกันตามสมมาตรเดียวกัน ซึ่งอาจไม่ชัดเจนเมื่อใช้สัญกรณ์มิลเลอร์แบบสามดัชนีเพียงอย่างเดียวในโครงผลึกหกเหลี่ยม

ประวัติ

ดัชนีมิลเลอร์เสนอโดยวิลเลียม ฮัลโลวส์ มิลเลอร์ในหนังสือ A Treatise on Crystallography ของเขาเมื่อปี 1839 ก่อนหน้านั้นมีระบบติดป้ายระบุผิวหน้าผลึกอยู่แล้ว แต่วิธีของมิลเลอร์ที่ใช้ส่วนกลับของระยะตัดแกนทำให้จัดการกับระนาบที่ขนานกับแกนได้ง่าย เพราะระยะตัดแกนของระนาบเหล่านั้นเป็นอนันต์ และส่วนกลับมีค่าเป็น 0 โดยตรง หลังจากแมกซ์ ฟอน เลาเออค้นพบการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์โดยผลึกในปี 1912 วิลเลียม เฮนรี แบรกก์และวิลเลียม ลอว์เรนซ์ แบรกก์แสดงให้เห็นว่าดัชนีมิลเลอร์ระบุระนาบที่ทำให้เกิดพีกการเลี้ยวเบนได้อย่างถูกต้อง งานนี้ทำให้ทั้งสองร่วมกันได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี 1915

คำถามที่พบบ่อย

ดัชนีมิลเลอร์ใช้ทำอะไร ใช้ระบุระนาบเฉพาะในโครงผลึก ใช้ทำดัชนีพีกการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์และอิเล็กตรอน ใช้อธิบายระนาบเลื่อนในโลหะ ใช้ระบุแนวการวางตัวของแผ่นเวเฟอร์สารกึ่งตัวนำ และใช้กำกับผิวหน้าและแนวแตกเรียบของแร่

เลขศูนย์ในดัชนีมิลเลอร์หมายถึงอะไร หมายความว่าระนาบขนานกับแกนนั้นและไม่เคยตัดแกนนั้น ตัวอย่างเช่น (201) ขนานกับแกน y

ดัชนีมิลเลอร์ที่เป็นลบหมายถึงอะไร หมายความว่าระนาบตัดแกนนั้นทางด้านลบของจุดกำเนิด ดัชนีลบเขียนด้วยขีดบนตัวเลข เช่น (2̄11) หรือเขียนด้วยเครื่องหมายลบ เช่น (-2,1,1)

เหตุใดระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดจึงมีดัชนีมิลเลอร์ไม่ได้ ดัชนีมิลเลอร์ได้มาจากส่วนกลับของระยะตัดแกน ระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดจะตัดทุกแกนที่ 0 และ 1/0 ไม่มีนิยาม ดังนั้นวิธีนี้จึงกำหนดดัชนีไม่ได้ เว้นแต่จะเลื่อนระนาบออกจากจุดกำเนิด

ดัชนีมิลเลอร์กับดัชนีมิลเลอร์–บราเวส์แตกต่างกันอย่างไร ดัชนีมิลเลอร์ (hkl) ใช้ตัวเลขสามตัวและใช้ได้กับระบบผลึกทุกชนิด ส่วนดัชนีมิลเลอร์–บราเวส์ (hkil) เพิ่มดัชนีตัวที่สี่ซึ่งขึ้นต่อกัน และใช้เป็นหลักกับผลึกหกเหลี่ยม เพราะช่วยให้ระนาบที่สมมูลกันตามสมมาตรสังเกตได้ง่ายขึ้น

ระยะห่างระหว่างระนาบสัมพันธ์กับดัชนีมิลเลอร์อย่างไร ในผลึกลูกบาศก์ที่มีความยาวขอบ a ระยะห่างระหว่างระนาบ (hkl) ที่อยู่ติดกันคือ d = a / √(h² + k² + l²) ระนาบที่มีดัชนีสูงกว่าจะอยู่ใกล้กันมากกว่า ระบบผลึกอื่นใช้สูตรที่คล้ายกันแต่ซับซ้อนกว่า โดยคำนึงถึงความยาวแกนที่ไม่เท่ากันและมุมที่ไม่ใช่ 90°

เอกสารอ้างอิง

1. มิลเลอร์, W. H. (1839). A Treatise on Crystallography. เคมบริดจ์: J. & J. J. Deighton
2. Ashcroft, N. W. และ Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston
3. Hammond, C. (2015). The Basics of Crystallography and Diffraction (ฉบับที่ 4). Oxford University Press
4. Cullity, B. D. และ Stock, S. R. (2014). Elements of X-ray Diffraction (ฉบับที่ 3). Pearson Education
5. สหภาพผลึกศาสตร์ระหว่างประเทศ (2016). International Tables for Crystallography, Volume A: Space-group symmetry. Wiley