Graficador de Funcions Trigonomètriques - Visualitza Sin, Cos, Tan

Què és un representador de funcions trigonomètriques?

Un representador de funcions trigonomètriques és una eina que dibuixa la corba d’una funció sinus, cosinus o tangent i permet canviar-ne la forma ajustant uns quants nombres, anomenats paràmetres. En moure un control lliscant, el gràfic es torna a dibuixar immediatament, cosa que facilita veure com canvien l’amplitud, la freqüència i el desfasament de la ona.

Les tres funcions trigonomètriques bàsiques

El sinus, el cosinus i la tangent provenen de les proporcions dels costats d’un triangle rectangle. En una circumferència de radi 1, centrada a l’origen (la circumferència unitat), sin(x) és l’altura d’un punt amb angle x, i cos(x) és la posició horitzontal d’aquest punt. La tangent és la proporció sin(x) / cos(x).

El sinus és una funció senar: sin(−x) = −sin(x). El cosinus és una funció parella: cos(−x) = cos(x). El cosinus és simplement el sinus desplaçat cap a l’esquerra π/2 radians (90 graus).

La tangent té asímptotes verticals: rectes a les quals la corba s’acosta cada vegada més, però que mai no toca. Es troben a x = π/2 + nπ, on n és qualsevol nombre enter. Com que tan(x) = sin(x) / cos(x) i cos(x) és igual a 0 en aquests punts, la proporció no hi està definida.

Fórmula de la funció trigonomètrica

El representador dibuixa les funcions amb aquesta forma:

f(x) = A sin(Bx + C)

La mateixa forma s’utilitza per al cosinus i la tangent, substituint sin per cos o tan. Cada lletra és un paràmetre que es pot ajustar:

• A (amplitud) estableix l’altura de la ona, mesurada des de la línia central fins a un màxim. El representador permet valors de 0,1 a 5 per al sinus i el cosinus, i de 0,1 a 2 per a la tangent.
• B (freqüència) estableix quants cicles complets caben en un tram de l’eix x. Un valor B més gran comprimeix l’ona. El representador permet valors de 0,1 a 5.
• C (desfasament) desplaça tota la corba cap a l’esquerra o cap a la dreta sense canviar-ne la forma. El representador permet valors de −π a π, aproximadament de −3,14 a 3,14.

Un desfasament positiu mou el gràfic cap a l’esquerra; un de negatiu el mou cap a la dreta.

Com s’utilitza el representador de funcions trigonomètriques

1. Trieu una funció —sinus, cosinus o tangent— al selector.
2. Moveu el control lliscant de l’amplitud per canviar l’altura de la ona.
3. Moveu el control lliscant de la freqüència per comprimir o estirar la ona.
4. Moveu el control lliscant del desfasament per desplaçar la corba lateralment.
5. Llegiu la fórmula que es mostra sota dels controls lliscants i premeu «Copy» per copiar-la com a text.

El gràfic s’actualitza tan bon punt es mou un control lliscant. En el cas de la tangent, apareixen petits espais a la línia en cada asímptota. És el comportament esperat, no un error.

Provar els extrems dels controls lliscants

Per veure fins a quina altura pot arribar una ona, establiu l’amplitud en el valor màxim que permet l’eina: 5 per al sinus o el cosinus, i 2 per a la tangent. Per veure una ona gairebé plana, establiu la freqüència en el valor mínim, 0,1. Canviar un sol control lliscant cada vegada facilita determinar quin paràmetre ha causat cada canvi.

Com calcular un valor manualment

Prenem una funció sinus amb amplitud A = 2, freqüència B = 3 i desfasament C = π/4:

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

Per trobar f(π/6), primer calculeu l’angle que hi ha dins del sinus:

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

Després calculeu el sinus i multipliqueu-lo per l’amplitud:

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414

On apareixen les ones trigonomètriques

Moltes coses que es repeteixen amb un patró suau d’anada i tornada segueixen una corba semblant a una ona sinusoidal: el so, el corrent elèctric altern, les marees oceàniques, el moviment d’un pèndol i la durada de la llum del dia al llarg d’un any. Els enginyers utilitzen el sinus i el cosinus per descriure i predir patrons com aquests. Els animadors informàtics fan servir les mateixes corbes per aconseguir que el moviment sigui suau, com en un cicle de caminar amb balanceig o en el desplaçament gradual d’una càmera.

Preguntes més freqüents

Quina diferència hi ha entre el sinus, el cosinus i la tangent?

El sinus i el cosinus oscil·len entre −1 i 1 amb un període de 2π, però el cosinus arriba a cada punt del seu cicle un quart de volta (π/2) abans que el sinus. La tangent és igual al sinus dividit pel cosinus. Té un període de π, no està acotada i presenta asímptotes verticals allà on el cosinus és igual a 0.

Què controla l’amplitud?

L’amplitud (A) estableix fins a quin punt la ona s’estén per sobre i per sota de la seva línia central. En aquest representador va de 0,1 a 5 per al sinus i el cosinus, i de 0,1 a 2 per a la tangent.

Què controla la freqüència?

La freqüència (B) estableix quants cicles de la ona apareixen en un tram fix de l’eix x. Una freqüència més alta concentra més cicles en el mateix espai. El representador permet valors de 0,1 a 5.

Per què un desfasament positiu mou el gràfic cap a l’esquerra i no cap a la dreta?

Perquè el desfasament C se suma abans de mesurar l’angle, dins de la funció: f(x) = sin(Bx + C). Un valor C positiu significa que l’angle arriba a un valor determinat amb un valor x més petit, de manera que el mateix punt de la corba apareix abans: desplaçat cap a l’esquerra, no cap a la dreta.

Per què hi ha espais en el gràfic de la tangent?

La tangent no està definida allà on el cosinus és igual a 0, cosa que passa a x = π/2 + nπ. El representador trenca la línia en aquests punts en lloc de dibuixar-hi una connexió falsa que travessi directament l’espai.

El representador utilitza graus o radians?

Radians. Una volta completa equival a 2π radians, és a dir, 360 graus. Per convertir graus a radians, multipliqueu per π/180.