Koniske Sektioner Beregner - Cirkel, Ellipse, Parabel

Hvad er en beregner til koniske snit?

En beregner til koniske snit finder excentriciteten og standardligningen for en cirkel, ellipse, parabel eller hyperbel ud fra nogle få mål. Disse fire kurver fremkommer, når en plan flade skærer gennem en kegle i forskellige vinkler.

De fire koniske snit

Et snit vinkelret gennem en kegle frembringer en cirkel. Når planen vippes, fremkommer en ellipse. Et snit parallelt med keglens side frembringer en parabel. Et snit gennem begge halvdele af en dobbeltkegle frembringer en hyperbel.

Hver kurve har en excentricitet, et tal, der viser, hvor meget den afviger fra en perfekt cirkel.

• Cirkel: $e = 0$
• Ellipse: $0 < e < 1$
• Parabel: $e = 1$
• Hyperbel: $e > 1$

Sådan bruges denne beregner

1. Vælg en type konisk snit: cirkel, ellipse, parabel eller hyperbel.
2. Indtast de nødvendige mål.
   • Cirkel: radius ($r$)
   • Ellipse: stor halvakse ($a$) og lille halvakse ($b$)
   • Parabel: brændvidde ($f$)
   • Hyperbel: den halve tværakse ($a$) og den konjugerede halvakse ($b$)
3. Excentriciteten og standardligningen vises automatisk, så snart der er indtastet gyldige, positive værdier for den valgte type konisk snit; der er ingen knap med teksten Beregn, der skal klikkes på.
4. En graf over kurven tegnes under resultaterne.

Beregneren viser ligningen med de indtastede tal allerede indsat, så en ellipse med $a = 5$ og $b = 3$ vises som $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Det er den samme ligning som $x^2/25 + y^2/9 = 1$. Excentriciteten vises med fire decimaler.

Alle indtastninger skal være positive tal. For en ellipse skal den store halvakse være mindst lige så lang som den lille halvakse, fordi den store halvakse pr. definition er den længste. En hyperbel har ingen sådan regel: dens tværakse-halvakse og konjugerede halvakse kan have alle positive længder, også samme længde.

Cirklens formel

For en cirkel med radius $r$, hvis centrum ligger i origo:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Excentricitet: $e = 0$.

En cirkel er et specialtilfælde af en ellipse, hvor begge akser har samme længde, og begge brændpunkter ligger i centrum.

Ellipsens formel

For en ellipse med centrum i origo, stor halvakse $a$ og lille halvakse $b$, hvor $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Eksempel: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Ligning: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Når $a = b$, bliver ellipsen til en cirkel, og $e = 0$.

Parablens formel

For en parabel, der åbner mod højre, med brændvidden $f$ (afstanden fra toppunktet til brændpunktet):

$$y^2 = 4fx$$

Excentricitet: $e = 1$, altid.

Eksempel: $f = 2$. Ligning: $y^2 = 8x$.

Hyperblens formel

For en hyperbel med centrum i origo, den halve tværakse $a$ og konjugeret halvakse $b$, hvor $a$ og $b$ er vilkårlige positive tal:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Den halve tværakse $a$ er halvdelen af afstanden mellem de to toppunkter, altså de punkter, hvor kurven vender. Den konjugerede halvakse $b$ er halvdelen af længden af den konjugerede akse, det linjestykke, der gennem centrum er tegnet vinkelret på tværaksen. Den bestemmer, hvor hurtigt grenene åbner sig.

I modsætning til en ellipse kræver en hyperbel ikke, at $a$ er større end $b$. De to længder er uafhængige, så $b$ kan være mindre end, lig med eller større end $a$. Når $a = b$, kaldes kurven en rektangulær hyperbel med excentriciteten $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Eksempel: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Ligning: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Koniske snit i praksis

Planeter og kometer følger baner, der har form som koniske snit. Keplers første lov fastslår, at en planets bane er en ellipse med Solen i det ene brændpunkt. Nogle kometer følger parabolske eller hyperbolske baner og vender aldrig tilbage.

Parabler fokuserer parallelle stråler i ét punkt, så ingeniører bruger parabolske former i parabolantenner, teleskopspejle og billygter. Hyperbolske kurver forekommer i køletårnes vægge, hvor formen giver styrke, samtidig med at der bruges mindre materiale. Ellipser ses i buer, lofter i hviskegallerier og geardesign.

En kort historie om koniske snit

Den græske matematiker Menaichmos studerede koniske snit omkring 350 f.Kr., mens han forsøgte at løse problemet med at fordoble en terning. Apollonios fra Perga skrev en detaljeret afhandling med titlen Konika omkring 200 f.Kr. Han navngav ellipsen, parablen og hyperblen og beskrev deres egenskaber. Århundreder senere brugte Johannes Kepler ellipsen til at beskrive planetbevægelser, og Isaac Newton brugte koniske snit til at forklare tyngdekraften.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er de fire typer koniske snit?

Cirkel, ellipse, parabel og hyperbel. Hver af dem dannes, når en plan skærer gennem en kegle i en forskellig vinkel, og hver har sit eget interval for excentriciteten.

Hvordan beregner man excentricitet?

Excentriciteten er fast for en cirkel ($e = 0$) og en parabel ($e = 1$). For en ellipse er $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, hvor den store halvakse $a$ og den lille halvakse $b$ anvendes. For en hyperbel er $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, hvor tværakse-halvaksen $a$ og den konjugerede halvakse $b$ anvendes.

Skal en hyperbels tværakse-halvakse være længere end dens konjugerede halvakse?

Nej. I modsætning til en ellipses store og lille halvakse er en hyperbels tværakse-halvakse ($a$) og konjugerede halvakse ($b$) uafhængige mål. Begge skal være positive, men den ene af dem kan være den længste.

Kan en ellipse blive til en cirkel?

Ja. Når den store halvakse er lig med den lille halvakse, er ellipsen en cirkel, og dens excentricitet er 0.

Hvorfor bruger parabolantenner en parabolsk form?

En parabel reflekterer stråler, der bevæger sig parallelt med dens akse, til ét brændpunkt. Parabolantenner og teleskopspejle udnytter denne egenskab til at samle signaler eller lys i ét punkt.

Hvad er en rektangulær hyperbel?

En rektangulær hyperbel er en hyperbel, hvor tværakse-halvaksen er lig med den konjugerede halvakse ($a = b$). Dens asymptoter står vinkelret på hinanden, og dens excentricitet er $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Referencer

1. Konisk snit – Wikipedia
2. Koniske snits excentricitet – Khan Academy
3. Koniske snit – OpenStax