Spring til indhold
🛠️
Whiz Tools

Beregner for enhedscirklen: Eksakt sinus, cosinus og tangens

Indtast en vinkel i grader eller radianer for at få dens punkt på enhedscirklen, sinus, cosinus, tangens, referencevinkel og kvadrant. Eksakte værdier for standardvinkler.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Indlæsningsberegner...
📚

Dokumentation

Beregner for enhedscirklen

Enhedscirklen er cirklen med radius 1 tegnet omkring origo i et koordinatsystem. En beregner for enhedscirklen tager én vinkel og angiver, hvor vinklen møder cirklen: punktet (x, y), sinus, cosinus og tangens, referencevinklen samt kvadranten. Denne side læser en vinkel i grader eller radianer og angiver eksakte værdier som √3/2 for de seksten standardvinkler.

Hvad beregneren gør

Brugeren indtaster én vinkel og vælger grader eller radianer. Siden viser:

  • punktet (x, y), hvor vinklen skærer cirklen
  • cos θ, sin θ og tan θ
  • referencevinklen i grader og radianer
  • kvadranten eller aksen, hvis vinklen rammer en af dem
  • vinklen i begge enheder samt den samme vinkel foldet ind i én omdrejning

Ved de seksten standardvinkler vises svarene som eksakte lukkede former med decimalerne nedenunder. Alle andre vinkler vises med otte betydende cifre. Det er kun visningen, der afrundes.

Enhedscirklens formel

Vinkler måles mod uret fra den positive x-akse. En stråle tegnet med vinklen θ skærer cirklen i ét punkt, og punktets to koordinater er cosinus og sinus:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

hvor xx er den vandrette koordinat, yy er den lodrette koordinat, og θ\theta er vinklen.

Radius er 1, så koordinaterne og de to funktionsværdier er det samme talpar under to navne. Derfor tegnes cirklen med radius 1 i stedet for en anden størrelse. Tangens bygger på det samme talpar:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Alle punkter på cirklen opfylder også Pythagoras' sætning anvendt på den retvinklede trekant med siderne xx og yy samt hypotenusen 1:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Grader og radianer

Siden accepterer begge enheder og angiver dem begge. De hænger sammen ved, at en halv omdrejning er π radianer:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ hvor $\theta_{\mathrm{deg}}$ er vinklen i grader, og $\theta_{\mathrm{rad}}$ er den samme vinkel i radianer. ### Foldning ind i én omdrejning En vinkel kan være negativ og kan overskride en hel omdrejning. Punktet på cirklen gentages for hver 360°, så siden folder først vinklen ind i intervallet fra 0° til, men ikke inklusive, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ hvor $\theta$ er den indtastede vinkel i grader, og $\theta_0$ er den samme retning skrevet inden for én omdrejning. 750° foldes til 30°, og −30° foldes til 330°. Foldningen udføres i grader, hvor resten beregnes eksakt. ### Referencevinkel og kvadrant Referencevinklen er den spidse vinkel mellem strålen og x-aksen. Den er aldrig større end 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{ellers} \end{cases}$$ hvor $\theta_0$ er den foldede vinkel i grader. Størrelsen af sinus, cosinus og tangens afhænger kun af referencevinklen. Kvadranten angiver fortegnene. | Kvadrant | Foldet vinkel | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° til 90° | + | + | + | | II | 90° til 180° | − | + | − | | III | 180° til 270° | − | − | + | | IV | 270° til 360° | + | − | − | Vinklerne 0°, 90°, 180° og 270° ligger på en akse. En kvadrant er det åbne område mellem to akser, så ingen af de fire ligger i en kvadrant, og siden angiver i stedet aksen uden at vælge en nabokvadrant. ### De seksten standardvinkler Fem referencevinkler har eksakte lukkede former. | Referencevinkel | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | ikke defineret | Når disse rækker spejles ind i de tre andre kvadranter, fås seksten vinkler: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 og 330 grader. Siden genererer dem ved at dreje punkterne i første kvadrant en kvart omdrejning ad gangen i stedet for at afskrive tabellen fire gange, fordi det er ved afskrift, at et forkert fortegn kan snige sig ind. 15°, 75° og 105° har også lukkede former, men de er former med to led som 2 − √3. De ligger uden for denne familie og vises som decimaler. 15° giver cos 0,96592583, sin 0,25881905 og tan 0,26794919. ### Eksempel: 210 grader 210° er større end 180° og mindre end 270°, så den ligger i kvadrant III. Når 180 trækkes fra, bliver referencevinklen 30°. Ved en referencevinkel på 30° er de tre størrelser √3/2, 1/2 og √3/3. Kvadrant III gør begge koordinater negative, så punktet er (−√3/2, −1/2). Tangensen er et negativt tal divideret med et negativt tal og forbliver derfor positiv ved √3/3. I radianer er vinklen 7π/6, og referencevinklen er π/6. Som decimaler viser siden cos −0,8660254, sin −0,5 og tan 0,57735027. 570° og −150° giver de samme svar, fordi begge foldes til 210°. ### Hvilke konstanter er eksakte | Konstant | Værdi | Eksakt? | Kilde | |---|---|---|---| | Grader i én omdrejning | 360 | eksakt efter definition | ISO 80000-3 | | Radianer i én omdrejning | 2π | eksakt efter definition | ISO 80000-3; SI-brochure | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | eksakt | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | eksakt | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | eksakt | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | ingen værdi | eksakt, en pol | NIST DLMF §4,15 | π er irrational, så det har ingen eksakt decimal- eller binærform, og enhver lagret værdi af det er afrundet. Siden holder denne afrunding ude af svarene på to måder. Foldningen udføres i grader, hvor 360 går op uden rest. Og standardvinklerne aflæses fra tabellen med lukkede former ovenfor, aldrig fra en sinusberegning med flydende tal. ### Aflæsning af en vinkel indtastet i radianer En indtastning i radianer er allerede en afrundet decimal. π/2 indtastes som 1,5707963267948966, og en omregning tilbage giver en vinkel, der afviger fra 90 med omkring en ti-billiontedel grad i stedet for præcis 90. Derfor læser siden enhver vinkel, der ligger inden for en milliontedel grad af en standardvinkel, som denne standardvinkel. Tolerancen afgør, hvilken tabel der bruges; den gør aldrig et svar mindre præcist. 30,001° bliver ikke til 30°. Vinkler over en milliard grader afvises. Det er en begrænsning i aritmetikken, ikke i geometrien: Afstanden mellem de tal, en computer kan lagre, vokser med deres størrelse, og efter omkring fire en halv milliard grader er afstanden større end tolerancen på en milliontedel grad, så foldningen ikke længere indeholder tilstrækkelige detaljer til at navngive en vinkel. En milliard giver en margin under dette punkt. ### Ofte stillede spørgsmål **Hvad bruges enhedscirklen til?** Den omdanner sinus og cosinus til koordinater. Aflæsning af ét punkt på cirklen giver begge værdier på én gang, og figuren viser, hvorfor de gentages for hver hel omdrejning, og hvorfor deres fortegn ændres fra den ene kvadrant til den næste. **Hvad er den eksakte værdi af sin 30°?** En halv. cos 30° er √3/2, cirka 0,8660254, og tan 30° er √3/3, cirka 0,57735027. **Hvorfor er tan 90° ikke defineret?** Tangensen er sinus divideret med cosinus, og cos 90° er 0. Division med nul har intet svar. Siden finder polen ved at navngive vinklen, ikke ved at kontrollere, om en beregnet tangens blev stor, fordi en stejl tangens lige før 90° er et almindeligt tal. **Hvad er en referencevinkel?** Det er den spidse vinkel mellem strålen og x-aksen, så den altid ligger mellem 0° og 90°. 150°, 210° og 330° har alle en referencevinkel på 30°, og derfor har deres sinus og cosinus de samme tre størrelser og adskiller sig kun ved fortegnet. **Virker en negativ vinkel?** Ja. En negativ vinkel drejer med uret. −30° peger i samme retning som 330°, så siden angiver punktet (√3/2, −1/2) og kvadrant IV. **Hvorfor viser siden vinklen to gange?** 750° og 30° skærer cirklen i samme punkt, men de er ikke den samme rotation. Siden gengiver den indtastede vinkel, omregnet til den anden enhed, og viser den foldede vinkel ved siden af.