Winkel-Einheitenumrechner: Grad, Radiant, Gon, Umdrehung
Rechnen Sie einen Winkel zwischen Grad, Radiant, Gon und Umdrehungen um und sehen Sie alle vier Werte gleichzeitig. Eine Umdrehung entspricht genau 360 Grad und 400 Gon sowie 2π Radiant.
Angle Converter
Type an angle in one unit and read it in turns, degrees, gradians and radians at once.
Converted angle
Dokumentation
Winkel-Einheitenumrechner
Ein Winkel misst, wie weit eine Richtung gegenüber einer anderen gedreht wurde. Ein Winkel-Einheitenumrechner wandelt einen Winkel von einer Einheit in eine andere um, etwa von Grad in Radiant. Diese Seite wandelt zwischen Umdrehungen, Grad, Gon und Radiant um und zeigt alle vier Werte gleichzeitig an.
Funktionsweise des Umrechners
Der Nutzer gibt eine Zahl ein und wählt die Einheit aus, in der diese Zahl angegeben ist. Die Seite gibt denselben Winkel in allen vier Einheiten aus.
- Die Ergebnisse werden mit acht signifikanten Stellen angezeigt. Nur die Anzeige wird gerundet. Die Umrechnung erfolgt mit der eingegebenen Zahl.
- Ein Ergebnis kleiner als 0,0001 oder von einer Milliarde an wird in wissenschaftlicher Schreibweise angezeigt. Null wird als einfache Zahl 0 angezeigt.
- Negative Winkel werden umgerechnet, weil eine Drehung eine Richtung hat.
- Winkel werden nicht auf eine einzige Umdrehung reduziert. 720 Grad ergeben 2 Umdrehungen, nicht 0.
- Ein leeres Feld führt zu einer Aufforderung statt zu einer Zahl. Ein Link mit einer Einheit, die diese Seite nicht anbietet, führt zu einer Meldung statt zu einer Umrechnung.
Die vier Einheiten
| Einheit | Symbol | Umdrehungen pro Einheit | Per Definition exakt |
|---|---|---|---|
| Umdrehung | Umdrehung | 1 | Ja, eine vollständige Umdrehung |
| Grad | ° | 1/360 | Ja |
| Gon | Gon | 1/400 | Ja |
| Radiant | rad | 1/(2π) | Als Bruch ja, als Dezimalzahl nein |
Eine Umdrehung ist eine vollständige Drehung zurück in die Ausgangsrichtung. Das Gradmaß teilt diese Umdrehung in 360 Teile, eine aus der babylonischen Zählweise in Sechzigern übernommene Gewohnheit. Das Gonmaß teilt sie in 400 Teile, wodurch ein rechter Winkel genau 100 ergibt. Das Bogenmaß ist der Winkel, dessen Kreisbogen so lang ist wie der Radius dieses Kreises; 2π solcher Winkel ergeben eine Umdrehung.
Formel zur Winkelumrechnung
Jede Einheit entspricht einer festen Anzahl von Umdrehungen. Daher besteht eine Umrechnung aus einer Multiplikation und anschließend einer Division. Der Winkel wird zunächst in Umdrehungen umgerechnet und dann in die gewünschte Einheit zurückgeführt:
Dabei ist der eingegebene Winkel, die Anzahl der Umdrehungen in einer Einheit der gewählten Einheit, die Anzahl der Umdrehungen in einer Einheit der gewünschten Einheit und das Ergebnis.
Auf diesem Weg wird nichts hinzugefügt oder weggenommen. Alle vier Skalen beginnen am selben Ausgangspunkt; nur die Größe des Schritts ändert sich. Bei Temperaturen trifft das nicht zu: Celsius und Fahrenheit beginnen an unterschiedlichen Punkten. Ein Umrechner, der nur multiplizieren würde, würde daher 0 °C als 0 °F statt als 32 °F ausgeben.
Setzt man die Faktoren für Grad und Radiant in diese Formel ein, erhält man das Paar, das am häufigsten nachgeschlagen wird:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ Dabei ist $\theta_{\mathrm{deg}}$ der Winkel in Grad und $\theta_{\mathrm{rad}}$ derselbe Winkel in Radiant. ### Warum die Seite von Umdrehungen und nicht von Radiant aus zählt Die Umdrehung ist die Einheit, an der die anderen drei gemessen werden. Diese Wahl ist nicht nur äußerlich. Grad, Gon und Umdrehungen sind ganzzahlige Bruchteile voneinander. Ein Computer kann ihre Größen daher fehlerfrei speichern und Ergebnisse liefern, die genau auf der erwarteten runden Zahl liegen. Das ist bei Radiant nicht möglich, weil π keine exakte Dezimaldarstellung hat. Wäre der Radiant die Basiseinheit, müsste jeder Grad und jedes Gonmaß über π und zurück umgerechnet werden. Ein als 90 Grad eingegebener rechter Winkel würde dann 99,99999999999999 Gon statt 100 ergeben, und 200 Gon würden 180,00000000000003 Grad ergeben. Die Zählung von der Umdrehung aus hält π in der einzigen Zeile, die es tatsächlich benötigt. ### 100 Grad 100 Grad ist der Winkel, mit dem die Seite beginnt. Ein Grad entspricht 1/360 einer Umdrehung. Daher multipliziert die Seite 100 mit 1/360 und erhält 0,2777777777777778 Umdrehungen. Angezeigt wird dies als 0,27777778. Die beiden anderen Ergebnisse erhält man, indem man diesen Wert durch ihre jeweiligen Faktoren teilt. Die Division durch 1/400 entspricht einer Multiplikation mit 400 und ergibt 111,11111111111111 Gon, angezeigt als 111,11111. Die Division durch 1/(2π) ergibt 1,7453292519943295 Radiant, angezeigt als 1,7453293. Ein rechter Winkel ist übersichtlicher. 90 Grad entsprechen einem Viertel einer Umdrehung. Die Seite gibt daher 0,25 Umdrehungen, genau 100 Gon und 1,5707963 Radiant aus. ### Häufige Winkelumrechnungen Jede Zeile zeigt, welchen Wert ein Ausgangswert in allen vier Einheiten ergibt, jeweils mit acht signifikanten Stellen. | Eingabe | Umdrehung | Grad | Gon | Radiant | |---|---|---|---|---| | 1 Umdrehung | 1 | 360 | 400 | 6,2831853 | | 1 Grad | 0,0027777778 | 1 | 1,1111111 | 0,017453293 | | 1 Gon | 0,0025 | 0,9 | 1 | 0,015707963 | | 1 Radiant | 0,15915494 | 57,29578 | 63,661977 | 1 | | 90 Grad | 0,25 | 90 | 100 | 1,5707963 | | 180 Grad | 0,5 | 180 | 200 | 3,1415927 | ### Welche Werte exakt und welche gerundet sind Drei der vier Faktoren sind exakte Brüche. Daher ist eine Umrechnung zwischen Umdrehungen, Grad und Gon nur durch die Rechengenauigkeit begrenzt, nicht durch die Konstanten. - Eine Umdrehung entspricht exakt 360 Grad. Das Grad ist keine SI-Einheit, wird aber vom Internationalen Büro für Maß und Gewicht im SI-Broschüre unter den Nicht-SI-Einheiten aufgeführt, die mit dem SI verwendet werden dürfen; ein Grad entspricht dabei π/180 Radiant. - Eine Umdrehung entspricht exakt 400 Gon. ISO 80000-3, die Norm für Größen und Einheiten von Raum und Zeit, definiert ein Gon als π/200 Radiant; das entspricht einem Vierhundertstel einer Umdrehung. - Eine Umdrehung entspricht 2π Radiant. Der Radiant ist die kohärente SI-Einheit des ebenen Winkels und als Verhältnis eines Kreisbogens zum Radius definiert; auch diese Beziehung ist daher eine Definition. π ist jedoch irrational: Seine Dezimaldarstellung endet und wiederholt sich nie, sodass keine ausgeschriebene Dezimalzahl für π die ganze Zahl ist. - Der Faktor für Radiant wird daher in der Praxis gerundet. Die Seite berechnet ihn aus dem von einem Computer gespeicherten Wert von π, 3,141592653589793, dem sich eine Gleitkommazahl mit doppelter Genauigkeit höchstens annähern kann. Ergebnisse in Radiant übernehmen diese Rundung. Die drei anderen Einheiten nicht. Die Rundung, die der Leser tatsächlich sieht, stammt von der Anzeige und nicht von den Konstanten. Acht signifikante Stellen reichen aus, um einen definierenden Wert vollständig anzuzeigen, und sind zugleich eng genug, um die letzten Stellen der Computerberechnung auszublenden, die Rundungsfehler statt Information enthalten. ### Häufig gestellte Fragen **Wie viele Grad sind ein Radiant?** 57,29578 Grad mit acht signifikanten Stellen, meist als 57,3 angegeben. Exakt geschrieben sind es 180/π Grad; π hat keine exakte Dezimaldarstellung. **Wie viele Radiant sind 90 Grad?** 1,5707963 Radiant mit acht signifikanten Stellen. Exakt geschrieben sind es π/2 Radiant. **Warum entspricht ein rechter Winkel 100 Gon?** Weil eine vollständige Umdrehung 400 Gon umfasst und ein rechter Winkel einem Viertel einer Umdrehung entspricht. Das Gonmaß wurde dafür entwickelt, damit Vermesser mit einem Dezimalsystem statt mit 90 Teilen arbeiten konnten. **Entspricht 1 Gon 0,9 Grad?** Ja, exakt. Eine Umdrehung entspricht 400 Gon und zugleich 360 Grad. Daher entspricht ein Gon 360/400 Grad. **Reduziert die Seite 720 Grad auf 0?** Nein. Sie rechnet die eingegebene Zahl um. Daher ergeben 720 Grad 2 Umdrehungen, 800 Gon und 12,566371 Radiant. Würde man Winkel auf eine Umdrehung reduzieren, ginge verloren, wie oft etwas gedreht wurde. **Kann ein negativer Winkel umgerechnet werden?** Ja. Ein negativer Wert bedeutet, dass die Drehung in die entgegengesetzte Richtung verläuft, und wird wie jede andere Zahl umgerechnet. Die Eingabe von -45 Grad ergibt -0,125 Umdrehungen, -50 Gon und -0,78539816 Radiant.