Einheitskreis-Rechner: Exakte trigonometrische Werte
Geben Sie einen Winkel in Grad oder Bogenmaß ein, um seinen Punkt auf dem Einheitskreis, Sinus, Kosinus, Tangens, Bezugswinkel und Quadranten zu erhalten. Exakte Werte für Standardwinkel.
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
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Dokumentation
Einheitskreis-Rechner
Der Einheitskreis ist der Kreis mit dem Radius 1, der um den Ursprung eines Koordinatensystems gezeichnet wird. Ein Einheitskreis-Rechner nimmt einen Winkel entgegen und gibt an, wo dieser Winkel den Kreis schneidet: den Punkt (x, y), Sinus, Kosinus und Tangens, den Bezugswinkel sowie den Quadranten. Diese Seite liest einen Winkel in Grad oder Bogenmaß und liefert bei den sechzehn Standardwinkeln exakte Werte wie √3/2.
Was der Rechner berechnet
Der Nutzer gibt einen Winkel ein und wählt Grad oder Bogenmaß. Die Seite gibt Folgendes zurück:
- den Punkt (x, y), an dem der Winkel den Kreis schneidet
- cos θ, sin θ und tan θ
- den Bezugswinkel in Grad und im Bogenmaß
- den Quadranten oder die Achse, wenn der Winkel auf einer Achse liegt
- den Winkel in beiden Einheiten sowie denselben Winkel auf eine einzige Umdrehung zurückgeführt
Bei den sechzehn Standardwinkeln werden die Ergebnisse als exakte geschlossene Formen ausgegeben, darunter stehen die Dezimalwerte. Jeder andere Winkel wird mit acht signifikanten Stellen angezeigt. Nur die Darstellung wird gerundet.
Die Formel des Einheitskreises
Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen. Ein Strahl unter dem Winkel θ schneidet den Kreis in einem Punkt, dessen zwei Koordinaten der Kosinus und der Sinus sind:
Dabei ist die horizontale Koordinate, die vertikale Koordinate und der Winkel.
Der Radius beträgt 1, daher sind die Koordinaten und die beiden Funktionswerte dasselbe Zahlenpaar unter zwei Bezeichnungen. Aus diesem Grund wird der Kreis mit dem Radius 1 und nicht mit einer anderen Größe gezeichnet. Der Tangens wird aus demselben Zahlenpaar gebildet:
Jeder Punkt auf dem Kreis erfüllt außerdem den Satz des Pythagoras, angewandt auf das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten und und der Hypotenuse 1:
Gradmaß und Bogenmaß
Die Seite akzeptiert beide Einheiten und gibt beide aus. Sie stehen in Beziehung zueinander, weil eine halbe Umdrehung π Bogenmaß entspricht:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ Dabei ist $\theta_{\mathrm{deg}}$ der Winkel in Grad und $\theta_{\mathrm{rad}}$ derselbe Winkel in Radiant. ### Auf eine Umdrehung zurückführen Ein Winkel kann negativ sein und eine vollständige Umdrehung überschreiten. Der Punkt auf dem Kreis wiederholt sich alle 360°, daher führt die Seite den Winkel zunächst in den Bereich von 0° bis, aber nicht einschließlich, 360° zurück: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ Dabei ist $\theta$ der eingegebene Winkel in Grad und $\theta_0$ dieselbe Richtung, innerhalb einer Umdrehung angegeben. 750° wird auf 30° zurückgeführt, und −30° auf 330°. Die Rückführung erfolgt in Grad, wobei der Rest exakt ist. ### Bezugswinkel und Quadrant Der Bezugswinkel ist der spitze Winkel zwischen dem Strahl und der x-Achse. Er ist nie größer als 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{andernfalls} \end{cases}$$ Dabei ist $\theta_0$ der zurückgeführte Winkel in Grad. Die Beträge von Sinus, Kosinus und Tangens hängen nur vom Bezugswinkel ab. Der Quadrant bestimmt die Vorzeichen. | Quadrant | Zurückgeführter Winkel | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° bis 90° | + | + | + | | II | 90° bis 180° | − | + | − | | III | 180° bis 270° | − | − | + | | IV | 270° bis 360° | + | − | − | Die Winkel 0°, 90°, 180° und 270° liegen auf einer Achse. Ein Quadrant ist der offene Bereich zwischen zwei Achsen, daher liegt keiner dieser vier Winkel in einem Quadranten. Die Seite benennt stattdessen die Achse, anstatt einen benachbarten Quadranten auszuwählen. ### Die sechzehn Standardwinkel Fünf Bezugswinkel besitzen exakte geschlossene Formen. | Bezugswinkel | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | nicht definiert | Durch Spiegelung dieser Zeilen in die anderen drei Quadranten ergeben sich sechzehn Winkel: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 und 330 Grad. Die Seite erzeugt sie, indem sie die Punkte des ersten Quadranten jeweils um eine Viertelumdrehung dreht, statt die Tabelle viermal abzuschreiben, weil sich beim Abschreiben ein falsches Vorzeichen einschleichen kann. Auch 15°, 75° und 105° besitzen geschlossene Formen, allerdings Formen mit zwei Termen wie 2 − √3. Sie gehören nicht zu dieser Familie und werden als Dezimalwerte ausgegeben. Für 15° ergeben sich cos 0,96592583, sin 0,25881905 und tan 0,26794919. ### Beispiel: 210 Grad 210° ist größer als 180° und kleiner als 270°, liegt also im Quadranten III. Wenn man 180 abzieht, bleibt ein Bezugswinkel von 30°. Bei einem Bezugswinkel von 30° betragen die drei Beträge √3/2, 1/2 und √3/3. Im Quadranten III sind beide Koordinaten negativ, daher lautet der Punkt (−√3/2, −1/2). Der Tangens ist eine negative Zahl geteilt durch eine negative Zahl und bleibt daher bei √3/3 positiv. Im Bogenmaß beträgt der Winkel 7π/6 und der Bezugswinkel π/6. Als Dezimalwerte zeigt die Seite cos −0,8660254, sin −0,5 und tan 0,57735027. 570° und −150° liefern dieselben Ergebnisse, weil beide auf 210° zurückgeführt werden. ### Welche Konstanten sind exakt? | Konstante | Wert | Exakt? | Quelle | |---|---|---|---| | Grad in einer Umdrehung | 360 | Per Definition exakt | ISO 80000-3 | | Radiant in einer Umdrehung | 2π | Per Definition exakt | ISO 80000-3; SI-Broschüre | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | exakt | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | exakt | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | exakt | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | kein Wert | exakt, eine Polstelle | NIST DLMF §4,15 | π ist irrational, daher besitzt es keine exakte Dezimal- oder Binärdarstellung, und jeder gespeicherte Wert davon ist gerundet. Die Seite hält diese Rundung auf zwei Arten aus den Ergebnissen heraus. Die Rückführung erfolgt in Grad, wobei 360 ohne Rest teilbar ist. Und die Standardwinkel werden aus der obigen Tabelle geschlossener Formen abgelesen, niemals aus einem Gleitkomma-Sinuswert. ### Einen im Bogenmaß eingegebenen Winkel lesen Eine Eingabe im Bogenmaß ist bereits ein gerundeter Dezimalwert. π/2 wird als 1,5707963267948966 eingegeben; bei der Rückumrechnung ergibt sich ein Winkel, der etwa ein Zehnbillionstel Grad von 90 entfernt ist, statt genau 90 zu entsprechen. Daher liest die Seite jeden Winkel, der höchstens ein Millionstel Grad von einem Standardwinkel entfernt ist, als diesen Standardwinkel. Die Toleranz bestimmt, welche Tabelle verwendet wird; sie vergrößert niemals ein Ergebnis. 30,001° wird nicht zu 30°. Winkel über einer Milliarde Grad werden abgewiesen. Das ist eine Grenze der Arithmetik, nicht der Geometrie: Der Abstand zwischen den Zahlen, die ein Computer speichern kann, wächst mit ihrer Größe, und ab ungefähr viereinhalb Milliarden Grad ist dieser Abstand größer als die Toleranz von einem Millionstel Grad. Die Rückführung enthält dann nicht mehr genügend Details, um einen Winkel zu bestimmen. Eine Milliarde lässt einen Sicherheitsabstand zu diesem Punkt. ### Häufig gestellte Fragen **Wofür wird der Einheitskreis verwendet?** Er macht aus Sinus und Kosinus Koordinaten. Das Ablesen eines Punktes auf dem Kreis liefert beide Werte zugleich, und die Darstellung zeigt, warum sie sich nach jeder vollständigen Umdrehung wiederholen und warum ihre Vorzeichen von einem Quadranten zum nächsten wechseln. **Was ist der exakte Wert von sin 30°?** Ein Halb. cos 30° ist √3/2, ungefähr 0,8660254, und tan 30° ist √3/3, ungefähr 0,57735027. **Warum ist tan 90° nicht definiert?** Der Tangens ist der Sinus geteilt durch den Kosinus, und cos 90° ist 0. Eine Division durch null hat kein Ergebnis. Die Seite erkennt die Polstelle, indem sie den Winkel benennt, statt zu prüfen, ob ein berechneter Tangens einen großen Wert zurückgibt, denn ein steiler Tangens kurz vor 90° ist eine gewöhnliche Zahl. **Was ist ein Bezugswinkel?** Er ist der spitze Winkel zwischen dem Strahl und der x-Achse und liegt daher immer zwischen 0° und 90°. 150°, 210° und 330° haben alle den Bezugswinkel 30°. Deshalb besitzen ihr Sinus und Kosinus dieselben drei Beträge und unterscheiden sich nur im Vorzeichen. **Funktioniert ein negativer Winkel?** Ja. Ein negativer Winkel verläuft im Uhrzeigersinn. −30° zeigt in dieselbe Richtung wie 330°. Die Seite gibt daher den Punkt (√3/2, −1/2) und den Quadranten IV zurück. **Warum zeigt die Seite den Winkel zweimal an?** 750° und 30° schneiden den Kreis im selben Punkt, stellen aber nicht dieselbe Drehung dar. Die Seite gibt den eingegebenen Winkel, in die andere Einheit umgerechnet, erneut aus und zeigt daneben den zurückgeführten Winkel.