Sparplanrechner: Endwert mit Einzahlungen

Sparplanrechner

Ein Sparplanrechner schätzt, wie viel ein Spar- oder Anlagekonto nach einer gewählten Anzahl von Jahren wert sein wird. Er kombiniert eine einmalige Anfangseinzahlung mit einer regelmäßigen monatlichen, vierteljährlichen oder jährlichen Einzahlung und lässt beide durch Zinseszinsen wachsen.

Was der Rechner berechnet

Der Rechner verwendet sieben Eingaben: die Anfangseinzahlung, die regelmäßige Einzahlung, die Häufigkeit der Einzahlungen (monatlich, vierteljährlich oder jährlich), ob jede Einzahlung zu Beginn oder am Ende ihres Zeitraums erfolgt, den jährlichen Zinssatz, wie oft die Zinsen aufgezinst werden, und die Anzahl der Jahre, in denen das Geld wächst.

Er gibt drei Werte aus: den zukünftigen Wert (den Endsaldo), die Gesamteinzahlungen (die Anfangseinzahlung plus alle regelmäßigen Einzahlungen) und die insgesamt erzielten Zinsen (die Differenz zwischen den beiden). Ein Diagramm zeigt den Saldo am Ende jedes Einzahlungszeitraums.

Die Anfangseinzahlung kann zwischen 0 $ und 1 $ Billionen liegen, die Einzahlung zwischen 0 $ und 1 $ Milliarden pro Zeitraum. Der Zinssatz kann zwischen 0 % und 100 % liegen. Die Anzahl der Jahre muss größer als 0 und höchstens 100 sein. Mindestens eine der beiden Größen, Anfangseinzahlung oder regelmäßige Einzahlung, muss über 0 $ liegen.

Berechnung des zukünftigen Werts eines Sparplans

Zwei Standardergebnisse werden kombiniert, die beide in den Wikipedia-Artikeln „Zukünftiger Wert“ und „Annuität“ beschrieben werden.

Die Anfangseinzahlung wächst allein durch Zinseszinsen:

FV(Einzahlung) = P₀ × (1 + i)ˣ

Die regelmäßigen Einzahlungen wachsen als Annuität:

FV(Einzahlungen) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ ist die Anfangseinzahlung.
• PMT ist die regelmäßige Einzahlung.
• i ist der Zinssatz für einen Einzahlungszeitraum.
• x ist der in Einzahlungszeiträumen gemessene Anlagehorizont (Jahre × Zeiträume pro Jahr).
• N ist die Anzahl der tatsächlich geleisteten Einzahlungen.
• A ist der Annuitätenfaktor, also der zukünftige Wert von 1 $, der über N Zeiträume in jedem Zeitraum eingezahlt wird.

Der Annuitätenfaktor hängt davon ab, wann die Einzahlungen erfolgen:

Eine Einzahlung zu Beginn jedes Zeitraums wird einen zusätzlichen Zeitraum lang verzinst. Daher stammt der zusätzliche Faktor (1 + i). Bei einem Zinssatz von 0 % ist der Annuitätenfaktor N: Die Einzahlungen werden ohne Wachstum addiert.

Der zukünftige Wert ist die Summe der beiden Bestandteile. Die Gesamtzinsen entsprechen dem zukünftigen Wert abzüglich aller eingezahlten Beträge.

Wenn Zinskapitalisierung und Einzahlungen in unterschiedlichen Intervallen erfolgen

Zinsen können häufiger oder seltener kapitalisiert werden als Einzahlungen erfolgen, zum Beispiel bei monatlicher Zinskapitalisierung und vierteljährlichen Einzahlungen. Der Rechner wandelt den nominalen jährlichen Zinssatz r, der n-mal pro Jahr verrechnet wird, in den effektiven Zinssatz für einen Einzahlungszeitraum um (siehe den Wikipedia-Artikel „Effektiver Zinssatz“):

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

Dabei ist m die Anzahl der Einzahlungen pro Jahr. Bei einem jährlichen Zinssatz von 5 % mit monatlicher Zinskapitalisierung und vierteljährlichen Einzahlungen gilt i = (1 + 0,05/12)³ − 1 ≈ 1,2552 % pro Quartal. Stimmen die beiden Häufigkeiten überein, ist i direkt gleich r/n.

Rechenbeispiel

Ein Plan beginnt mit 1.000 $ und zahlt zu Beginn jedes Monats über 10 Jahre 100 $ ein, bei einem jährlichen Zinssatz von 5 % mit monatlicher Zinsverrechnung. Dies sind die Standardwerte des Rechners.

1. Anzahl der Zeiträume pro Jahr m = 12, daher beträgt der Anlagehorizont x = 120 Zeiträume und N = 120 Einzahlungen.
2. Der Monatszinssatz beträgt i = 0,05 / 12 ≈ 0,0041667.
3. Wachstumsfaktor: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1,647009.
4. Anfangseinzahlung: 1.000 $ × 1,647009 ≈ 1.647,01 $.
5. Annuitätenfaktor (gewöhnlich): (1,647009 − 1) / 0,0041667 ≈ 155,282279. Da die Einzahlungen zu Beginn jedes Monats erfolgen, wird mit (1 + i) multipliziert: 155,929289.
6. Einzahlungen: 100 $ × 155,929289 ≈ 15.592,93 $.
7. Zukünftiger Wert: 1.647,01 $ + 15.592,93 $ = 17.239,94 $.

Die Gesamteinzahlungen betragen 1.000 $ + 120 × 100 $ = 13.000 $, daher betragen die Gesamtzinsen 17.239,94 $ − 13.000 $ = 4.239,94 $. Beim gleichen Plan mit Einzahlungen am Monatsende beträgt der zukünftige Wert 17.175,24 $ und ist ungefähr 65 $ niedriger.

Ein zweites Beispiel mit Einzahlungen am Monatsende: Anfangseinzahlung 5.000 $, 200 $ pro Monat, 6 % mit monatlicher Zinskapitalisierung über 20 Jahre. Hier gilt (1,005)²⁴⁰ ≈ 3,310204; die Einzahlung wächst auf 16.551,02 $, der Annuitätenfaktor beträgt 462,040895 und die Einzahlungen wachsen auf 92.408,18 $. Der zukünftige Wert beträgt 108.959,20 $: Eingezahlt wurden 53.000 $, und 55.959,20 $ entfallen auf Zinsen. Dies entspricht dem Zinseszinsrechner der U.S. Securities and Exchange Commission auf investor.gov, mit dem die Rechenlogik des Tools abgeglichen wurde.

Verwendete Konventionen dieses Rechners

Einzahlungen erfolgen standardmäßig zu Beginn des Zeitraums. Bei den meisten realen Sparplänen wird das Konto zu Beginn jedes Monats belastet, daher ist die Standardeinstellung eine vorschüssige Annuität. Viele Lehrbücher und Rechner nehmen stattdessen eine gewöhnliche Annuität an; die Zeitpunkteinstellung schaltet zwischen beiden Varianten um.

Bei Bruchteilen von Jahren richtet sich die Anzahl der Einzahlungen nach dem Zeitpunkt. Bei jährlichen Einzahlungen über 2,5 Jahre erfolgen bei einem Plan mit Einzahlungen am Ende des Zeitraums 2 Einzahlungen (nur abgeschlossene Jahre führen zu einer Einzahlung), während ein Plan mit Einzahlungen zu Beginn des Zeitraums 3 Einzahlungen vorsieht (jedes eingetragene Jahr wird zu seinem Beginn eingezahlt). Jede geleistete Einzahlung sowie die Anfangssumme wächst dennoch bis zum genauen Anlagehorizont, einschließlich des letzten unvollständigen Zeitraums.

Die Ergebnisse sind nominal. Es werden keine Inflation, Steuern oder Gebühren abgezogen. Der zukünftige Wert entspricht dem Kontostand auf dem Kontoauszug, nicht seiner Kaufkraft.

Die Rundung erfolgt nur einmal am Ende. Der zukünftige Wert und die Gesamteinzahlungen werden jeweils auf den Cent gerundet; die Gesamtzinsen sind ihre Differenz. Daher ergeben die drei angezeigten Werte immer exakt die entsprechende Summe.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der zukünftige Wert eines Sparplans? Es handelt sich um den Kontostand am Ende des Plans: die Anfangseinzahlung und jede regelmäßige Einzahlung, jeweils vom Zeitpunkt der Einzahlung bis zum Ende mit Zinseszinsen verzinst.

Spielt es wirklich eine Rolle, ob zu Beginn des Monats eingezahlt wird? Ja, ein wenig. Jede Einzahlung wird einen zusätzlichen Zeitraum lang verzinst, wodurch sich der Einzahlungsanteil des Saldos mit (1 + i) multipliziert. Im Standardbeispiel beträgt der Unterschied über 10 Jahre 64,70 $.

Warum führt die Häufigkeit der Zinskapitalisierung zu unterschiedlichen Ergebnissen? Bei häufigerer Zinskapitalisierung werden die Zinsen früher dem Kapital zugeschlagen, sodass sie früher selbst Zinsen abwerfen. Der Rechner berücksichtigt dies im effektiven Zinssatz pro Zeitraum i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, sodass jede Kombination aus Häufigkeit der Zinsverrechnung und der Einzahlungen genau verarbeitet wird.

Was geschieht bei einem Zinssatz von 0 %? Der zukünftige Wert entspricht einfach der Summe aller eingezahlten Beträge. Der Standardplan endet bei 0 % mit genau 13.000 $ und 0 $ Zinsen.

Berücksichtigt der Rechner Inflation oder Steuern? Nein. Alle Ergebnisse sind nominale Dollarbeträge. Zur Schätzung der Kaufkraft kann stattdessen ein niedrigerer „realer“ Zinssatz eingegeben werden, aber das Tool akzeptiert keine negativen Zinssätze.

Warum entsprechen die Gesamtzinsen dem zukünftigen Wert abzüglich der Gesamteinzahlungen? Zinsen sind alle Beträge auf dem Konto, die nicht eingezahlt wurden. Da die Einzahlungen in den Gesamteinzahlungen enthalten sind, muss alles Übrige vom zukünftigen Wert durch Zinseszinsen entstanden sein.

Referenzen

1. "Future value." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.