Halbton-Frequenzrechner - Tonhöhe um Halbtöne und Cent transponieren

Was ist ein Rechner für Halbtonfrequenzen?

Ein Rechner für Halbtonfrequenzen arbeitet mit musikalischen Intervallen und Schallfrequenzen, gemessen in Hertz (Hz). Er kann das Intervall zwischen zwei Frequenzen in Halbtönen und Cent bestimmen. Außerdem kann er die Frequenz ermitteln, die eine bestimmte Anzahl von Halbtönen über oder unter einer Ausgangsfrequenz liegt. Musiker, Toningenieure und Instrumentenbauer nutzen ihn, um Tonhöhen zu vergleichen, die Stimmgenauigkeit zu prüfen und zwischen Frequenz und Notenschrift umzurechnen.

Ein Halbton ist das kleinste Intervall in der gängigen westlichen Musik, der Abstand zwischen einer Klaviertaste und der unmittelbar nächsten, ob schwarz oder weiß. Eine Oktave enthält 12 Halbtöne. Ein Cent ist eine noch kleinere Einheit: ein Hundertstel eines gleichstufig temperierten Halbtons. Mit Cent lassen sich Tonhöhenunterschiede messen, die zu klein sind, um als eigener Tonwechsel gehört zu werden, etwa eine leichte Verstimmung.

So berechnet man Halbtöne aus der Frequenz

Der Rechner verwendet die gleichstufige Stimmung, das Standardsystem für moderne Klaviere, Gitarren und die meisten westlichen Instrumente. In der gleichstufigen Stimmung ist die Oktave in 12 gleich große Schritte unterteilt, sodass jeder Halbton exakt so groß ist wie jeder andere.

Die Formel für die Anzahl der Halbtöne ($n$) zwischen zwei Frequenzen ist die übliche Beziehung der gleichstufigen Stimmung $n = 12\log_2(f_n/440\ \text{Hz})$, wobei an die Stelle von 440 Hz eine beliebige Ausgangsfrequenz treten kann:

$n = 12 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Dabei ist $f_1$ die Ausgangsfrequenz in Hz, $f_2$ die Zielfrequenz in Hz und $\log_2$ der Logarithmus zur Basis 2.

Die Cent-Formel

Da ein Halbton 100 Cent entspricht, multipliziert die Cent-Formel dasselbe Verhältnis mit 1200 statt mit 12:

$c = 1200 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Warum die Formel einen Logarithmus verwendet

Das menschliche Gehör beurteilt die Tonhöhe nach dem Frequenzverhältnis, nicht nach dem absoluten Abstand in Hz. Eine Verdopplung der Frequenz klingt immer nach demselben Sprung: einer Oktave, gleichgültig, wo man beginnt.

• Von 110 Hz bis 220 Hz ist es eine Oktave (12 Halbtöne).
• Von 220 Hz bis 440 Hz ist es eine Oktave (12 Halbtöne).
• Von 440 Hz bis 880 Hz ist es eine Oktave (12 Halbtöne).

Jedes dieser Paare hat einen anderen Abstand in Hz, aber dasselbe Verhältnis, daher braucht man einen Logarithmus, um dieses Verhältnis in eine gleichmäßige, lineare Halbtonskala zu überführen.

Das Verhältnis der gleichstufigen Stimmung

In der gleichstufigen Stimmung multipliziert jeder Halbtonschritt die Frequenz mit:

$r = 2^{1/12} \approx 1.059463$

Multipliziert man eine Frequenz mit 1,059463, steigt sie um einen Halbton. Wiederholt man das 12-mal hintereinander, verdoppelt sich die Frequenz, was einer Oktave entspricht:

$(2^{1/12})^{12} = 2$

So wird der Rechner verwendet

Der Rechner hat zwei Modi.

Intervall zwischen zwei Frequenzen

1. Geben Sie die erste Frequenz in Hz ein. Das kann eine Bezugstonhöhe sein, etwa das Kammerton-a mit 440 Hz, oder eine beliebige gemessene Frequenz.
2. Geben Sie die zweite Frequenz in Hz ein, die mit der ersten verglichen wird.
3. Der Rechner zeigt das Intervall sowohl in Halbtönen als auch in Cent an, auf zwei Dezimalstellen gerundet.

Ein positives Ergebnis bedeutet, dass die zweite Frequenz höher als die erste ist. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass sie niedriger ist.

Frequenz aus Halbtönen

1. Geben Sie eine Basisfrequenz in Hz ein.
2. Geben Sie eine Anzahl von Halbtönen ein (negative Werte gehen abwärts) und optional einen Feinversatz in Cent.
3. Der Rechner liefert $f = f_\text{Basis} \times 2^{(n + c/100)/12}$ sowie den Namen des nächstgelegenen Tons der gleichstufigen Stimmung, etwa A4, wobei A4 auf 440 Hz festgelegt ist.

Rechenbeispiel

Das eingestrichene C hat eine Frequenz von etwa 261,63 Hz. Das darüberliegende G liegt bei etwa 392,00 Hz. Mit der Formel ergibt sich:

• Halbtöne = 12 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 7,00
• Cent = 1200 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 699,99

Der Rechner zeigt 7,00 Halbtöne und 699,99 Cent an, weil beide Tonfrequenzen gerundet sind. Sieben Halbtöne sind eine reine Quinte, eines der häufigsten Intervalle der Musik, das Ergebnis entspricht also dem, was Musiker für dieses Tonpaar erwarten.

Ein zweites Beispiel: eine kleine Tonhöhenabweichung messen

Cent eignen sich, um winzige Abweichungen zu messen. Angenommen, ein Raum hat eine unerwünschte Resonanz bei 147 Hz, und ein Toningenieur arbeitet an einem Stück, das auf dem Ton D aufbaut, dessen Standard-Grundfrequenz 146,83 Hz beträgt. Wie weit liegt die Resonanz von diesem Ton entfernt?

• Cent = 1200 × log₂(147 / 146,83) ≈ 2,0 Cent

Die Resonanz liegt etwa 2 Cent über D. Der Abstand ist für die meisten Hörer zu klein, um als andere Tonhöhe wahrgenommen zu werden, aber dennoch messbar und bei der akustischen Behandlung eines Raums erwähnenswert.

Häufige musikalische Intervalle

Die folgende Tabelle listet die Standardnamen der Intervalle in der gleichstufigen Stimmung auf, zusammen mit ihrer Größe in Halbtönen und Cent, dem Frequenzverhältnis und der resultierenden Tonhöhe, wenn man bei A440 (440 Hz) beginnt.

Diese Werte gelten nur für die gleichstufige Stimmung. Andere Stimmungssysteme ordnen denselben Intervallbezeichnungen etwas andere Frequenzen zu.

Alternative Stimmungssysteme

Die gleichstufige Stimmung ist der moderne Standard, aber nicht die einzige Möglichkeit, Musik zu stimmen, und sie stimmt physikalisch nicht vollkommen mit den Eigenschaften des Klangs überein.

Die reine Stimmung baut Intervalle aus einfachen ganzzahligen Verhältnissen auf, etwa 3:2 für eine reine Quinte oder 5:4 für eine große Terz. Diese Verhältnisse ergeben Intervalle, die zusammen weich klingen, ohne hörbare Schwebungen, doch sie weichen von der gleichstufigen Stimmung um einen vom Intervall abhängigen Betrag ab. Eine reine große Terz (5:4) ist enger als die gleichstufig temperierte große Terz, und zwar um etwa 14 Cent.

Die pythagoreische Stimmung baut eine Tonleiter ausschließlich aus übereinandergeschichteten reinen Quinten auf (Verhältnis 3:2). Ihre Quinten sind rein und schwebungsfrei, doch das Verfahren lässt ihre großen Terzen etwa 8 Cent höher ausfallen als gleichstufig temperierte große Terzen. Verglichen mit der reinen großen Terz 5:4 der reinen Stimmung ist die pythagoreische Terz noch höher, und zwar um knapp 22 Cent, ein Abstand, der als syntonisches Komma bekannt ist. Die pythagoreische Stimmung war in der mittelalterlichen und frühen Renaissancemusik üblich.

Die mitteltönige Stimmung verengt die reinen Quinten leicht, sodass die großen Terzen rein ausfallen. Sie war von der Renaissance bis in die Frühbarockzeit weit verbreitet und eignet sich gut für Musik, die sich in einer kleinen Gruppe eng verwandter Tonarten bewegt.

Mikrotonale Systeme teilen die Oktave in mehr als 12 Schritte. Sie werden in experimenteller und teils in nichtwestlicher Musik verwendet.

Praktische Anwendungen

• Musikproduktion: Einstellen der Tonhöhe von Samples, Stimmen von Synthesizer-Oszillatoren und Überprüfen, ob geschichtete Klänge tonhöhenmäßig übereinstimmen.
• Audiotechnik: Zuordnen von Equalizer-Bändern oder Raumresonanzen zu musikalischen Tönen, wie im obigen Beispiel der Raumresonanz.
• Instrumentenbau: Gitarrenbauer setzen die Bünde mithilfe der Konstante 17,817, abgeleitet von $2^{1/12}$, sodass jeder Bund die Tonhöhe um einen Halbton anhebt. Orgelbauer und Glockengießer nutzen dieselbe Mathematik, um Pfeifenlängen zu planen und Glocken zu stimmen.
• Forschung und Bildung: Untersuchung der menschlichen Tonhöhenwahrnehmung, Analyse von Tierlauten oder Vermittlung von Logarithmen und der Physik des Schalls.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechnet man Halbtöne aus der Frequenz?

Teilen Sie die höhere Frequenz durch die niedrigere, bilden Sie den Logarithmus dieses Verhältnisses zur Basis 2 und multiplizieren Sie dann mit 12: Halbtöne = 12 × log₂(f₂/f₁). Multiplizieren Sie das Ergebnis mit 100, um stattdessen Cent zu erhalten.

Was ist der Unterschied zwischen einem Halbton und einem Cent?

Ein Halbton ist das Standardintervall zwischen benachbarten Tönen der westlichen Musik, etwa zwischen benachbarten Klaviertasten. Ein Cent ist 1/100 eines Halbtons; eine Oktave enthält daher 1200 Cent. Cent bieten eine feinere Skala zur Messung kleiner Tonhöhenunterschiede zwischen den Halbtönen.

Wie viele Hz hat ein Halbton?

Es gibt keine feste Anzahl Hz pro Halbton; sie hängt von der Ausgangstonhöhe ab, denn ein Halbton ist ein Verhältnis (etwa 1,059463), kein fester Frequenzabstand. Ein Halbton über 440 Hz liegt bei 466,16 Hz, ein Anstieg um 26,16 Hz. Ein Halbton über 220 Hz liegt bei 233,08 Hz, ein Anstieg um nur 13,08 Hz.

Welche Frequenz liegt 12 Halbtöne über 440 Hz?

880 Hz. Zwölf Halbtöne ergeben eine Oktave, und eine Oktave bedeutet immer eine Verdopplung der Frequenz, unabhängig von der Ausgangstonhöhe.

Wie hängen MIDI-Notennummern mit Halbtönen zusammen?

Jede MIDI-Notennummer liegt einen Halbton von ihren Nachbarn entfernt. A4 (440 Hz) ist die MIDI-Note 69, daher ist das eingestrichene C, neun Halbtöne tiefer, die MIDI-Note 60. Die Frequenz lässt sich aus einer MIDI-Notennummer berechnen mit: Frequenz = 440 × 2^((n − 69)/12).

Warum klingen manche Intervalle der gleichstufigen Stimmung leicht verstimmt?

Die gleichstufige Stimmung teilt die Oktave in 12 identische Schritte, damit sich Musik frei zwischen Tonarten bewegen kann, doch dieser Kompromiss rückt die meisten Intervalle leicht von den reinen ganzzahligen Verhältnissen der reinen Stimmung ab. Die gleichstufig temperierte große Terz etwa liegt um etwa 14 Cent höher als die reine große Terz 5:4. Geübte Hörer können das manchmal wahrnehmen, doch die meisten Menschen bemerken es beim normalen Hören nicht.

Wie genau sind die Ergebnisse des Rechners?

Der Rechner arbeitet mit voller Gleitkommagenauigkeit und zeigt Frequenzen, Halbtöne und Cent mit zwei Dezimalstellen an. Das Ergebnis ist nur so genau wie die eingegebenen Frequenzen.

Referenzen

1. University of New South Wales, School of Physics (Music Acoustics). Note names, MIDI numbers and frequencies. Tonnamen und Frequenzen — n = 12·log₂(f/440 Hz), Cent = 1200·log₂(f/440 Hz), A4 = MIDI 69, f = 2^((m−69)/12) × 440 Hz.
2. University of New South Wales, School of Physics (Music Acoustics). Tartini tones and temperament: an introduction for musicians. Tartini-Töne und Stimmung — der gleichstufig temperierte Halbton ist in 100 Cent unterteilt; eine reine große Terz hat das Verhältnis 5:4 und ist enger als die gleichstufig temperierte Terz.