Halbton-Frequenzrechner - Tonhöhe um Halbtöne und Cent transponieren

Was ist ein Rechner für Halbtonfrequenzen?

Ein Rechner für Halbtonfrequenzen wandelt zwischen musikalischen Intervallen und in Hertz (Hz) gemessenen Schallfrequenzen um. Er arbeitet in zwei Richtungen. Er kann eine Ausgangsfrequenz nehmen, sie um eine bestimmte Anzahl von Halbtönen und Cent nach oben oder unten verschieben und die neue Frequenz sowie den nächstgelegenen Ton angeben. Außerdem kann er zwei Frequenzen nehmen und das Intervall zwischen ihnen in Halbtönen und Cent angeben.

Ein Halbton ist das kleinste Intervall in der westlichen Standardmusik: der Abstand zwischen einer Klaviertaste und der direkt benachbarten Taste, unabhängig davon, ob sie schwarz oder weiß ist. Eine Oktave enthält 12 Halbtöne. Ein Cent ist eine noch kleinere Einheit, nämlich ein Hundertstel eines Halbtons; eine Oktave umfasst daher 1200 Cent. Mit Cent lassen sich Tonhöhenunterschiede messen, die zu klein sind, um als deutliche Tonveränderung gehört zu werden, etwa eine leichte Verstimmung.

So wird die Frequenz eines Halbtonschritts berechnet

Der Rechner verwendet die gleichstufige Stimmung, die Standardstimmung moderner Klaviere, Gitarren und der meisten westlichen Instrumente. Bei der gleichstufigen Stimmung wird die Oktave in 12 gleich große Schritte geteilt, sodass jeder Halbton genau gleich groß ist.

Um eine Ausgangsfrequenz $f_0$ um $n$ Halbtöne und $c$ Cent nach oben zu verschieben:

$f = f_0 \times 2^{(n + c/100)/12}$

Ein positives $n$ erhöht die Tonhöhe, ein negatives $n$ senkt sie. Das Cent-Feld dient als Feinabstimmung; 100 Cent entsprechen einem Halbton. Die Eingabe von 100 Cent hat daher dieselbe Wirkung wie die Addition von 1 zur Halbtonzahl.

Das Verhältnis der gleichstufigen Stimmung

Jeder Halbtonschritt multipliziert die Frequenz mit:

$r = 2^{1/12} \approx 1.059463$

Multipliziert man eine Frequenz mit 1,059463, steigt sie um einen Halbton. Wiederholt man dies 12-mal, verdoppelt sich die Frequenz, was einer Oktave entspricht:

$(2^{1/12})^{12} = 2$

Der nächstgelegene Ton

Neben der Frequenz nennt der Rechner den nächstgelegenen gleichstufig gestimmten Ton, wobei A4 = 440 Hz als Referenz dient. Er wandelt die Frequenz in eine MIDI-Notennummer um, rundet diese auf die nächste ganze Zahl und liest anschließend Tonname und Oktave ab:

$m = \operatorname{round}\left(69 + 12 \times \log_2\left(\frac{f}{440}\right)\right)$

Die Tonnamen verwenden die wissenschaftliche Tonhöhennotation, bei der die Zahl die Oktave angibt: A4 ist der Kammerton A bei 440 Hz, C4 das eingestrichene C. Da der Wert gerundet wird, wird eine Frequenz zwischen zwei Tönen als der jeweils nähere Ton angegeben.

So werden Halbtöne zwischen zwei Frequenzen berechnet

Der zweite Modus kehrt denselben Zusammenhang um. Die Anzahl der Halbtöne $n$ zwischen zwei Frequenzen beträgt:

$n = 12 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Hier ist $f_1$ die Ausgangsfrequenz in Hz und $f_2$ die Zielfrequenz. Da ein Halbton 100 Cent entspricht, wird für die Centangabe dasselbe Verhältnis mit 1200 multipliziert:

$c = 1200 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)$

Ein positives Ergebnis bedeutet, dass die zweite Frequenz höher als die erste ist. Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass sie niedriger ist.

Warum die Formel einen Logarithmus verwendet

Das menschliche Gehör beurteilt Tonhöhen anhand des Frequenzverhältnisses, nicht anhand des absoluten Abstands in Hz. Eine Verdopplung der Frequenz klingt immer wie derselbe Sprung, nämlich eine Oktave, unabhängig von der Ausgangsfrequenz.

• Von 110 Hz bis 220 Hz ist es eine Oktave (12 Halbtöne).
• Von 220 Hz bis 440 Hz ist es eine Oktave (12 Halbtöne).
• Von 440 Hz bis 880 Hz ist es eine Oktave (12 Halbtöne).

Jedes Paar hat einen anderen Abstand in Hz, aber dasselbe Verhältnis. Daher wird ein Logarithmus benötigt, um dieses Verhältnis in eine gleichmäßige, lineare Halbtonskala umzuwandeln.

So wird der Rechner verwendet

Wählen Sie zunächst einen Berechnungsmodus.

Frequenz aus Halbtönen. Geben Sie die Grundfrequenz in Hz, die Anzahl der zu verschiebenden Halbtöne (negativ für eine Absenkung) und optional einen Cent-Versatz ein. Der Rechner gibt die neue Frequenz in Hz und den nächstgelegenen Ton aus.

Intervall zwischen Frequenzen. Geben Sie zwei Frequenzen in Hz ein. Der Rechner gibt das Intervall von der ersten zur zweiten Frequenz in Halbtönen und Cent aus.

Jede eingegebene Frequenz muss größer als null sein. Eine Frequenz von null oder eine negative Frequenz hat keine Tonhöhe; daher meldet der Rechner einen Fehler statt eines Ergebnisses.

Rechenbeispiel

Verschieben einer Tonhöhe um Halbtöne nach oben

Das eingestrichene C hat eine Frequenz von etwa 261,63 Hz. Wird es um 7 Halbtöne erhöht:

• Frequenz = 261,63 × 2^(7/12) ≈ 261,63 × 1,059463^7 ≈ 392,00 Hz.
• Nächstgelegene Note: G4.

Sieben Halbtöne bilden eine reine Quinte, eines der häufigsten Intervalle der Musik. Daher ist das G über dem eingestrichenen C das erwartete Ergebnis.

Hinzufügen eines Cent-Versatzes

Ausgehend vom Kammerton A bei 440 Hz mit 0 Halbtönen und einem Versatz von 50 Cent:

• Frequenz = 440 × 2^(50/1200) ≈ 452,89 Hz.

Fünfzig Cent entsprechen einem halben Halbton, also einem Viertelton. Der Ton liegt genau zwischen A4 und A#4; die Angabe des nächstgelegenen Tons ist für eine solche Tonhöhe daher nur eine Näherung.

Messen des Intervalls zwischen zwei Frequenzen

Gibt man dieselben beiden Töne in den zweiten Modus ein, zuerst 261,63 Hz und anschließend 392,00 Hz:

• Halbtonschritte = 12 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 7,00.
• Cent = 1200 × log₂(392,00 / 261,63) ≈ 699,99.

Das Ergebnis liegt um einen Bruchteil eines Cents unter dem Wert einer exakt reinen Quinte von 700 Cent, weil 261,63 Hz und 392,00 Hz selbst gerundete Werte sind.

Messen eines kleinen Tonhöhenfehlers

Cent sind für geringfügige Abweichungen nützlich. Angenommen, ein Raum weist eine unerwünschte Resonanz bei 147 Hz auf, und ein Toningenieur arbeitet an einem Stück, das auf dem Ton D basiert, dessen Standardgrundfrequenz 146,83 Hz beträgt.

• Cent = 1200 × log₂(147 / 146,83) ≈ 2,00 Cent.

Die Resonanz liegt etwa 2 Cent über D. Der Abstand ist für die meisten Hörer zu klein, um als andere Tonhöhe wahrgenommen zu werden, aber dennoch messbar und bei der akustischen Behandlung eines Raums erwähnenswert.

Häufige musikalische Intervalle

Die Tabelle führt die Standardbezeichnungen von Intervallen in der gleichstufigen Stimmung auf, jeweils mit ihrer Größe in Halbtönen und Cent, dem Frequenzverhältnis und der resultierenden Tonhöhe ausgehend von A440 (440 Hz).

Diese Werte gelten nur für die gleichstufige Stimmung. Andere Stimmungssysteme ordnen denselben Intervallbezeichnungen etwas andere Frequenzen zu.

Alternative Stimmungssysteme

Die gleichstufige Stimmung ist der moderne Standard, aber nicht die einzige Möglichkeit, Musik zu stimmen, und sie stimmt physikalisch nicht vollkommen mit den Eigenschaften des Klangs überein.

Reine Stimmung bildet Intervalle aus einfachen ganzzahligen Verhältnissen, etwa 3:2 für eine reine Quinte oder 5:4 für eine große Terz. Diese Verhältnisse klingen zusammen vollkommen weich, ohne hörbare Schwebungen, weichen aber je nach Intervall um bis zu etwa 16 Cent von der gleichstufigen Stimmung ab. Eine reine große Terz (5:4) ist etwa 14 Cent tiefer als die gleichstufige große Terz.

Pythagoreische Stimmung bildet eine Tonleiter vollständig aus aufeinandergeschichteten reinen Quinten (Verhältnis 3:2). Ihre Quinten sind rein und schwebungsfrei, ihre großen Terzen liegen jedoch etwa 8 Cent über den gleichstufigen großen Terzen. Verglichen mit der reinen großen Terz 5:4 der reinen Stimmung liegt die pythagoreische Terz noch höher, um fast 22 Cent. Dieser Abstand wird syntonisches Komma genannt. Die pythagoreische Stimmung war in der mittelalterlichen Musik und der Musik der frühen Renaissance verbreitet.

Mitteltönige Stimmung verengt die reinen Quinten geringfügig, sodass die großen Terzen rein ausfallen. Sie wurde von der Renaissance bis in den frühen Barock häufig verwendet und eignet sich für Musik, die in einer kleinen Gruppe eng verwandter Tonarten bleibt.

Mikrotonale Systeme teilen die Oktave in mehr als 12 Schritte, häufig in 19, 24, 31 oder 53 Schritte. Sie kommen in experimenteller und in Teilen der außereuropäischen Musik vor.

Praktische Anwendungen

• Musikproduktion: Einstellen der Tonhöhe von Samples, Stimmen von Synthesizer-Oszillatoren und Überprüfen, ob geschichtete Klänge tonhöhenmäßig übereinstimmen.
• Audiotechnik: Zuordnen von Equalizer-Bändern oder Raumresonanzen zu musikalischen Tönen, wie im obigen Beispiel der Raumresonanz.
• Instrumentenbau: Gitarrenbauer setzen Bünde anhand der Konstanten 17,817, die aus $2^{1/12}$ abgeleitet ist, sodass jeder Bund die Tonhöhe um einen Halbton erhöht. Orgelbauer und Glockengießer verwenden dieselbe Mathematik zur Planung von Pfeifenlängen und zum Stimmen von Glocken.
• Forschung und Bildung: Untersuchung der menschlichen Tonhöhenwahrnehmung, Analyse von Tierlauten oder Vermittlung von Logarithmen und der Physik des Schalls.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechnet man die Frequenz, die um eine bestimmte Anzahl von Halbtönen entfernt ist?

Multiplizieren Sie die Ausgangsfrequenz mit 2, potenziert mit der durch 12 geteilten Halbtonzahl: f = f₀ × 2^(n/12). Um einen Cent-Versatz einzubeziehen, addieren Sie die durch 100 geteilte Centzahl zur Halbtonzahl, bevor Sie durch 12 teilen.

Wie berechnet man aus zwei Frequenzen die Anzahl der Halbtöne?

Teilen Sie die zweite Frequenz durch die erste, bilden Sie den Logarithmus zur Basis 2 dieses Verhältnisses und multiplizieren Sie ihn anschließend mit 12: n = 12 × log₂(f₂/f₁). Multiplizieren Sie stattdessen mit 1200 anstelle von 12, um das Ergebnis in Cent zu erhalten.

Was ist der Unterschied zwischen einem Halbton und einem Cent?

Ein Halbton ist das Standardintervall zwischen benachbarten Tönen der westlichen Musik, etwa zwischen benachbarten Klaviertasten. Ein Cent ist 1/100 eines Halbtons; eine Oktave enthält daher 1200 Cent. Cent bieten eine feinere Skala zur Messung kleiner Tonhöhenunterschiede zwischen den Halbtönen.

Wie viele Hz hat ein Halbton?

Für einen Halbton gibt es keine feste Anzahl von Hz. Ein Halbton ist ein Verhältnis von etwa 1,059463 und kein fester Frequenzabstand; seine Größe in Hz hängt daher von der Ausgangstonhöhe ab. Ein Halbton über 440 Hz liegt bei 466,16 Hz, also einem Anstieg um 26,16 Hz. Ein Halbton über 220 Hz liegt bei 233,08 Hz, also nur einem Anstieg um 13,08 Hz.

Welche Frequenz liegt 12 Halbtöne über 440 Hz?

880 Hz. Zwölf Halbtöne ergeben eine Oktave, und eine Oktave bedeutet unabhängig von der Ausgangstonhöhe immer eine Verdopplung der Frequenz.

Wie hängen MIDI-Notennummern mit Halbtönen zusammen?

Jede MIDI-Notennummer liegt einen Halbton von ihren Nachbarn entfernt. Das eingestrichene C ist die MIDI-Note 60, A440 die MIDI-Note 69. Die Frequenz ergibt sich aus einer MIDI-Notennummer mit f = 440 × 2^((m − 69)/12). Dies ist die Formel, die der Rechner umkehrt, um den nächstgelegenen Ton zu bestimmen.

Warum klingen manche Intervalle der gleichstufigen Stimmung leicht verstimmt?

Die gleichstufige Stimmung teilt die Oktave in 12 identische Schritte, damit sich die Musik frei zwischen Tonarten bewegen kann. Dieser Kompromiss führt jedoch dazu, dass die meisten Intervalle geringfügig von den reinen ganzzahligen Verhältnissen der reinen Stimmung abweichen. Die gleichstufige große Terz liegt beispielsweise etwa 14 Cent über der reinen großen Terz 5:4. Geübte Hörer können dies manchmal wahrnehmen, die meisten Menschen bemerken es beim normalen Hören jedoch nicht.

Wie genau muss eine Frequenzmessung zum Stimmen sein?

Für alltägliche musikalische Zwecke reicht im Allgemeinen eine Genauigkeit von etwa 5 Cent aus, was nahe an der Grenze der durchschnittlichen Tonhöhenunterscheidung liegt. Beim professionellen Stimmen von Instrumenten wird meist eine Genauigkeit von etwa 2 Cent angestrebt; manche ausgebildeten Musiker können unter guten Bedingungen Unterschiede von nur 1 Cent erkennen.