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Wissenschaftlicher Taschenrechner: Potenzen, Wurzeln & Logs

Online-Taschenrechner für Potenzen, Wurzeln, Logarithmen und ln, Sinus, Kosinus und Tangens in Gradmaß oder Bogenmaß sowie Fakultäten, Prozentrechnung und Speicherfunktionen.

Scientific Calculator

Evaluates a typed or tapped expression with the usual order of operations, including powers, roots, logarithms, trigonometry and factorials.

Use + - * / for arithmetic, ^ for powers, ! for factorial and % for percent.

Type an expression or use the keypad to see a result.

Keypad

How this calculator reads an expression

Percent divides by 100 wherever it appears, so 100+10% is 100.1, not 110. Powers group from the right: 2^3^2 is 2^9, which is 512. A minus sign in front of a power is applied last, so -2^2 is -4. Two things written side by side are multiplied, and that multiplication ranks with division, so both are read left to right: 1/2pi means (1/2) times pi, and 6/2(1+2) is 9. Some scientific calculators read 1/2pi the other way, as 1/(2 times pi), so use brackets when the meaning matters. In Degrees mode the tangent is refused at 90 degrees and every odd multiple of it, because it has no value there.

History

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Dokumentation

Wissenschaftlicher Taschenrechner

Ein wissenschaftlicher Taschenrechner berechnet den Wert eines geschriebenen mathematischen Ausdrucks. Dieser liest Potenzen, Wurzeln, Logarithmen, trigonometrische Funktionen, Fakultäten und Prozentsätze, wendet die Standardreihenfolge der Rechenoperationen an und gibt ein Ergebnis aus.

Was der Rechner berechnet

Ein Ausdruck wird in das Feld „Ausdruck“ eingegeben oder mit dem Tastenfeld erstellt. Der Taschenrechner liest ihn, sobald er sich ändert, sodass keine Gleichheitstaste erforderlich ist, um das Ergebnis zu sehen. Die Taste = fügt die Berechnung stattdessen einer Verlaufsliste hinzu.

Er akzeptiert:

  • die Ziffern, einen Dezimalpunkt und Zahlen in Exponentenschreibweise wie 1.5e-3;
  • die Operatoren +, -, *, / und ^ (Potenz) sowie Klammern;
  • die Konstanten pi und e;
  • die Funktionen sin, cos, tan, asin, acos, atan, log, ln, sqrt und cbrt;
  • die nachgestellten Zeichen ! (Fakultät) und % (Prozent).

Die Zeichen des Tastenfelds werden in ihre einfachen Entsprechungen übersetzt, sodass ×, ÷, − und π dasselbe bedeuten wie *, /, - und pi.

log ist der Logarithmus zur Basis 10, und ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e. Diese Bezeichnungen werden auf wissenschaftlichen Taschenrechnern von TI und Casio sowie in der NIST Digital Library of Mathematical Functions in Abschnitt 4,2 verwendet.

Die Reihenfolge der Rechenoperationen

Die Regel, die festlegt, was ein Ausdruck bedeutet, ist die Reihenfolge der Rechenoperationen. Dieser Taschenrechner verwendet die nachstehende Grammatik. Jede Zeile ruft die darunterliegende Zeile auf, sodass die Verschachtelung die Rangfolge festlegt: Die letzte Zeile bindet am stärksten und wird zuerst berechnet.

1expression := term (('+' | '-') term)*
2term       := unary (('*' | '/' | juxtaposition) unary)*
3unary      := ('-' | '+') unary | power
4power      := postfix ('^' unary)?
5postfix    := primary ('!' | '%')*
6primary    := number | constant | name '(' expression ')' | '(' expression ')'
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Als Liste, von der ersten bis zur letzten ausgeführten Berechnung:

  1. alles innerhalb von Klammern sowie eine auf Klammern angewendete Funktion;
  2. ! und %;
  3. ^;
  4. ein vorangestelltes -- oder +-Zeichen;
  5. *, / und zwei direkt nebeneinander geschriebene Elemente;
  6. + und -.

Die daraus entstehenden Konventionen stimmen mit ISO 80000-2:2019 und dem Wikipedia-Artikel „Order of operations“ überein:

GeschriebenGelesen alsWert
2^3^22^(3^2)512
-2^2-(2^2)-4
2^-22^(-2)0,25
2^3!2^(3!)64
100+10%100 + (10/100)100,1
1/2pi(1/2) * pi1,57079632679
6/2(1+2)(6/2) * (1+2)9

Zwei Zahlen oder Namen, die direkt nebeneinander geschrieben sind, werden multipliziert; dadurch funktionieren 2pi, 2(3+4) und 3sin(30). Diese implizite Multiplikation hat denselben Rang wie * und /, sodass eine Juxtaposition und eine Division von links nach rechts gelesen werden. Viele wissenschaftliche Taschenrechner binden eine Juxtaposition stärker als eine Division und lesen 1/2pi als 1/(2*pi), was ein anderes Ergebnis ergibt. Wikipedia beschreibt diese Aufteilung im Artikel „Calculator input methods“. Klammern klären jeden Fall, in dem der Unterschied eine Rolle spielt.

% dividiert an jeder Stelle durch 100. Daher ist 20% gleich 0,2, und 200*15% ist gleich 30. Es handelt sich nicht um die Taste „Prozent des aktuellen Zwischensaldos“ einer Ladenkasse und auch nicht um einen Restoperator.

Rechenbeispiel

Der Ausdruck sin(30)+2^3*ln(4) wird im Gradmodus in dieser Reihenfolge berechnet:

  1. sin(30) ist 0,5, weil 30 Grad einem halben rechten Winkel entspricht und der Sinus davon ein Halb ist.
  2. 2^3 ist 8. Potenzen werden vor der Multiplikation berechnet.
  3. ln(4) ist 1,38629436112.
  4. 8 * 1.38629436112 ist 11,090354889.
  5. 0.5 + 11.090354889 ist 11,590354889.

Der Taschenrechner zeigt 11,590354889 an.

Ein zweites Beispiel zeigt die Regel von links nach rechts. Bei 6/2(1+2) wird zunächst die Klammer berechnet, sodass 6/2*3 entsteht. Die Division und die implizite Multiplikation haben denselben Rang, daher wird zuerst dividiert: 6/2 ist 3, und 3*3 ist 9.

Gradmaß und Bogenmaß

Die Einstellung für die Winkeleinheit legt fest, wie sin, cos und tan ihre Eingabe interpretieren und in welcher Einheit asin, acos und atan ihre Ergebnisse liefern. Im Gradmodus entspricht eine vollständige Umdrehung 360. Im Bogenmaßmodus entspricht eine vollständige Umdrehung 2pi, also ungefähr 6,28318530718. Derselbe Ausdruck kann in den beiden Modi sehr unterschiedliche Ergebnisse liefern: sin(30) ergibt im Gradmodus 0,5 und im Bogenmaßmodus -0,988031624093.

Wie Zahlen gespeichert und angezeigt werden

Jeder Wert ist eine IEEE-754-binary64-Gleitkommazahl, also ein Zahlentyp, der in ECMA-262, der ECMAScript-Sprachspezifikation, Abschnitt 6,1.6,1, beschrieben wird. Eine solche Zahl enthält etwa 15 bis 17 Dezimalstellen. Das Ergebnis wird nur für die Anzeige einmal auf 12 signifikante Stellen gerundet. Werte unter 0,000001 oder ab 1.000.000.000.000 werden in Exponentialschreibweise angezeigt, sodass 0.0000001 als 1E-7 erscheint.

Die gespeicherte Zahl behält ihre vollständige Genauigkeit. Im Speicher wird das exakte Ergebnis abgelegt, nicht die 12 angezeigten Stellen, und MR fügt den kürzesten Text ein, der dieselbe Zahl ergibt. Ein negativer Speicherwert wird in Klammern eingefügt, sodass er nach einer 2 als Multiplikation und nicht als Subtraktion gelesen wird.

Zum Runden wird niemals eine Entscheidung getroffen. Ein winziger Rest aus einer früheren Rechnung ist eine echte Zahl und wird als solche behandelt. 0.1*3-0.3 ist im Binärsystem nicht null, sondern ungefähr 5,55111512313E-17, daher ergibt 5/(0.1*3-0.3) 9,00719925474E16 statt einer Meldung über eine Division durch null.

Aus demselben Grund zeigt sin(180) im Gradmodus 1,22464679915E-16 und nicht 0 an. Der Fehler beträgt dort ungefähr ein Teil in zehn Billiarden und bleibt so klein. Die Tangensfunktion bildet die Ausnahme; sie wird weiter unten behandelt.

Was der Rechner ablehnt

Der Taschenrechner zeigt anstelle eines Ergebnisses eine Meldung an, wenn:

  • ein Nenner genau null ist, einschließlich einer eingegebenen Zahl, die für eine Gleitkommazahl zu klein ist, etwa 1e-400, die bereits beim Einlesen zu null wird;
  • sqrt eine negative Zahl übergeben wird;
  • log oder ln eine Zahl übergeben wird, die nicht größer als null ist;
  • asin oder acos eine Zahl außerhalb des Bereichs von -1 bis 1 übergeben wird, wie im Abschnitt 4,14 der NIST DLMF angegeben;
  • tan bei 90 Grad oder einem ungeraden Vielfachen davon verwendet wird, wo die Funktion keinen Wert besitzt;
  • die Fakultät für etwas anderes als eine ganze Zahl von 0 bis 170 verlangt wird;
  • eine Zahl einen zweiten Dezimalpunkt enthält, etwa 1.2.3;
  • der Ausdruck länger als 512 Zeichen ist.

Die Grenze von 170 ist eine Eigenschaft des Zahlentyps und keine Präferenz: Die Fakultät von 170 beträgt ungefähr 7,25741561531E306 und passt noch in eine Gleitkommazahl, die Fakultät von 171 jedoch nicht. Die Grenze von 512 Zeichen wird im Programm geprüft, weil die Länge des Ausdrucks bestimmt, wie viel Arbeit der Taschenrechner ausführt.

Bei der Tangensprüfung wird der Winkel vor dem Test auf 9 Dezimalstellen gerundet. Dadurch werden Abweichungen aus früheren Rechnungen wieder auf die exakte Asymptote zurückgeführt, allerdings mit einem Bereich, in dem die Berechnung verweigert wird, von etwa 5e-10 Grad Breite auf jeder Seite. tan(89.9999999994) liefert 95.493.592.025, während tan(89.9999999995) abgelehnt wird. Im Bogenmaßmodus gibt es keine solche Prüfung, weil ein eingegebener Wert im Bogenmaß nahe der Hälfte von Pi lediglich eine weitere Zahl ohne besondere Bedeutung ist.

Häufig gestellte Fragen

Was bewirkt die Taste % hier? Sie teilt an jeder Stelle, an der sie vorkommt, durch 100. 100+10% ergibt 100,1, weil es 100 plus 0,1 bedeutet. Es wird nicht ein Prozentsatz von allem berechnet, was davor steht.

Ist 2^3^2 64 oder 512? 512. Potenzen werden von rechts gruppiert; der Ausdruck bedeutet also 2^(3^2), was 2^9 entspricht. Dies folgt ISO 80000-2:2019.

Warum ist 6/2(1+2) 9 und nicht 1? Eine implizite Multiplikation hat denselben Rang wie eine Division, und Ausdrücke gleichen Rangs werden von links nach rechts gelesen. Taschenrechner, die die Aneinanderreihung stärker binden, liefern 1. Klammern beseitigen die Unklarheit.

Warum wird bei sin(180) nicht 0 angezeigt? Weil 180 Grad zunächst in Bogenmaß umgerechnet werden und Pi im Binärsystem nicht exakt dargestellt werden kann. Das Ergebnis beträgt ungefähr 1.2e-16 und ist der tatsächliche Sinuswert der Zahl, die das Gerät verwendet hat.

Was ist der Unterschied zwischen log und ln? log hat die Basis 10, daher ist log(1000) gleich 3. ln hat die Basis e, daher ist ln(e) gleich 1. Die Tastenbeschriftungen folgen derselben Konvention wie bei wissenschaftlichen Taschenrechnern von TI und Casio.

Warum wird eine Fakultät oberhalb von 170 abgelehnt? Die Fakultät von 171 ist größer als jede Zahl, die eine Gleitkommazahl aufnehmen kann; das Ergebnis wäre also unendlich und keine Zahl. Der Taschenrechner weist darauf hin, statt ein bedeutungsloses Ergebnis anzuzeigen.

Quellen

  • IEEE 754-2019, IEEE-Norm für Gleitkommaarithmetik.
  • ECMA-262, ECMAScript-Sprachspezifikation, Abschnitt 6.1.6.1, „Der Zahlentyp“.
  • ISO 80000-2:2019, Größen und Einheiten, Teil 2: Mathematische Zeichen und Symbole.
  • NIST Digital Library of Mathematical Functions, Abschnitte 4,2 und 4,14.
  • Wikipedia, „Rechenregeln“.
  • Wikipedia, „Eingabemethoden für Taschenrechner“.