Wellenlängen- und Frequenzrechner (v = f λ)

Wellenlängen- und Frequenzrechner

Die Wellenlänge einer Welle ist der Abstand von einem Wellenberg zum nächsten. Ihre Frequenz gibt an, wie viele Zyklen pro Sekunde einen festen Punkt passieren. Beide Größen hängen über die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle zusammen. Daher berechnet dieser Rechner aus jeweils zwei der Größen Wellenlänge, Frequenz und Wellengeschwindigkeit die dritte.

Was der Rechner berechnet

Wählen Sie, welche der drei Größen berechnet werden soll. Die beiden anderen werden zu Eingabefeldern. Die Seite wandelt beide Eingaben in Basiseinheiten um, wendet einmal die Wellengleichung an und wandelt das Ergebnis zurück in die dafür gewählte Einheit um. Dasselbe Ergebnis wird auch in jeder anderen Einheit dieser Art aufgeführt, und eine Kopierschaltfläche legt alle drei Größen in die Zwischenablage.

Jeder Umrechnungsfaktor stammt aus dem gemeinsamen Einheitenregister der Website. Der hier verwendete Meter ist daher derselbe wie auf allen anderen Seiten. Die Ergebnisse werden mit zehn signifikanten Stellen angezeigt. Ein Wert unter 0,0001 oder ab 1.000.000.000 wird in wissenschaftlicher Schreibweise angezeigt.

Die Formel für Wellenlänge und Frequenz

Eine Welle legt in einem Zyklus genau eine Wellenlänge zurück. In einer Sekunde durchläuft sie $f$ Zyklen und legt daher $f$ Wellenlängen zurück:

$v = f \lambda$

Dabei ist $v$ die Wellengeschwindigkeit in Metern pro Sekunde, $f$ die Frequenz in Hertz (Zyklen pro Sekunde) und $\lambda$ die Wellenlänge in Metern.

Durch Umstellen derselben Beziehung ergeben sich die beiden anderen Antworten:

$\lambda = \frac{v}{f} \qquad\qquad f = \frac{v}{\lambda}$

Jede Anordnung besteht aus einer einzigen Multiplikation oder Division. Dadurch entsteht hier keine Drift, wie sie sich bei einer langen Kette von Additionen aufbauen kann.

Für Licht, das sich durch den leeren Raum bewegt, entspricht die Wellengeschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit:

$\lambda = \frac{c}{f}, \qquad c = 299\,792\,458\ \mathrm{m/s}$

Dabei ist $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Das Feld für die Wellengeschwindigkeit beginnt mit diesem Wert und kann auf jeden anderen Wert geändert werden. Schall breitet sich in trockener Luft bei etwa 20 °C mit ungefähr 343 m/s aus, und Licht bewegt sich in gewöhnlichem Glas mit etwa zwei Dritteln seiner Vakuumgeschwindigkeit.

Welche Konstanten sind exakt?

Die diesen Umrechnungen zugrunde liegenden Zahlen sind Definitionen, auf die sich Normungsorganisationen geeinigt haben, und keine Messwerte, die ein besseres Experiment ändern könnte.

Die Schallgeschwindigkeit ist keine Konstante dieser Art. Sie ändert sich mit der Temperatur und dem Gas; deshalb behandelt die Seite sie als eine Zahl, die der Nutzer eingibt, und nicht als eine Zahl, die sie definiert.

Durchgerechnetes Beispiel: eine FM-Radio-Wellenlänge

Ein Sender sendet bei 100 MHz. Die Wellengeschwindigkeit entspricht der Lichtgeschwindigkeit, da sich Radiowellen in Luft sehr nahe an ihrer Vakuumgeschwindigkeit ausbreiten.

100 MHz entspricht 100.000.000 Hz. Die Division von 299.792.458 durch 100.000.000 ergibt 2,99792458 m. Durch diese Division wird lediglich das Dezimalkomma verschoben, daher ist das Ergebnis exakt und wird nicht gerundet. Die Seite zeigt 2,99792458 m sowie dieselbe Wellenlänge als 299,792458 cm, 2.997,92458 mm und 2,99792458E9 nm.

Eine Rückrechnung überprüft die Anordnung. Die Multiplikation von 2,99792458 m mit 100 MHz ergibt wieder 299.792.458 m/s, also die eingegebene Geschwindigkeit.

Weitere Beispiele

Radiowellenlängen werden kürzer, wenn die Frequenz steigt. Deshalb benötigt ein Signal mit 100 MHz eine etwa einen Meter lange Antenne, während ein Signal mit 2,4 GHz in ein Telefon passt.

Aufbau der Rechenoperation

Computer speichern diese Zahlen binär, und die meisten Dezimalbrüche haben keine exakte binäre Darstellung. Zehn signifikante Stellen reichen aus, um diese Abweichung sichtbar zu machen; deshalb ist die Seite so gestaltet, dass sie das Ergebnis möglichst nicht beeinflusst.

Nur die berechnete Größe wird umgerechnet. Die beiden eingegebenen Werte werden genau so angezeigt, wie sie eingegeben wurden. Die Umrechnung in eine Basiseinheit und zurück multipliziert und dividiert durch denselben Faktor, wodurch sich die letzte Stelle ändern kann: 7,7 km/h wird aus Metern pro Sekunde als 7,699999999999999 zurückgegeben.

Manche Eingaben können unabhängig von der Anordnung keine exakte Zahl ergeben. Eine Wellenlänge von 700 nm wird als 0,0000007000000000000001 m statt als 0,0000007 m gespeichert, sodass die Frequenz als 428.274.939.999.999,94 Hz statt als exakter Wert 428.274.940.000.000 Hz berechnet wird. Mit zehn signifikanten Stellen werden beide als 428,27494 THz ausgegeben, was das richtige Ergebnis ist. Die Eingabe von 0,1 GHz plus 0,2 GHz ergibt 300.000.000,00000006 Hz, und die Seite gibt den erhaltenen Wert aus, statt ihn in die runde Zahl zu ändern, die niemand eingegeben hat.

Zehn Stellen sind außerdem die geringste Breite, bei der die Lichtgeschwindigkeit ausgegeben werden kann, ohne eine ihrer neun Ziffern wegzurunden.

Was der Rechner ablehnt

Ein Eingabefeld übernimmt alles, was eingegeben oder eingefügt wird, und ein geteilter Link kann jeden Wert enthalten. Deshalb befinden sich die Prüfungen im Berechnungscode und nicht im Formular.

Was die Seite nicht modelliert

Sie verwendet für die gesamte Welle eine einzige Geschwindigkeit. Reale Materialien sind dispersiv: Die Lichtgeschwindigkeit in Glas und die Schallgeschwindigkeit in manchen Materialien ändern sich geringfügig mit der Frequenz. Dadurch spaltet ein Prisma weißes Licht in Farben auf. Eine einzelne Zahl kann dies nicht darstellen; deshalb gibt die Seite die Wellenlänge aus, die zu der einen vorgegebenen Geschwindigkeit gehört.

Die Beziehung unterscheidet auch nicht zwischen der Phasengeschwindigkeit und der Gruppengeschwindigkeit, die sich in einem dispersiven Medium unterscheiden. Für eine Welle im Vakuum oder für Schall in Luft unter üblichen Bedingungen sind beide gleich, und das Ergebnis gilt.

Häufig gestellte Fragen

Wie wird die Frequenz in eine Wellenlänge umgerechnet? Teilen Sie die Wellengeschwindigkeit durch die Frequenz. Bei einer Radiowelle entspricht die Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit, 299.792.458 m/s. Bei 100 MHz beträgt die Wellenlänge 2,99792458 m.

Wie wird die Wellenlänge in eine Frequenz umgerechnet? Teilen Sie die Wellengeschwindigkeit durch die Wellenlänge. Licht mit 700 nm hat eine Frequenz von 428,27494 THz.

Welche Wellenlänge hat ein 2,4-GHz-WLAN-Signal? Etwa 12,5 cm. Die Division von 299.792.458 m/s durch 2.400.000.000 Hz ergibt 0,1249135242 m, was die Seite als 12,49135242 cm anzeigt.

Ist die Lichtgeschwindigkeit exakt? Ja. Seit 1983 ist das Meter anhand der Sekunde und des Wertes 299.792.458 m/s definiert, und die SI von 2019 hat diese Definition beibehalten. Die Zahl ist durch Vereinbarung festgelegt, daher kann keine zukünftige Messung sie ändern.

Funktioniert das sowohl für Schall als auch für Licht? Ja. Die Beziehung gilt für jede sich ausbreitende Welle. Ersetzen Sie die Wellengeschwindigkeit durch die Schallgeschwindigkeit im Material, bei trockener Luft mit ungefähr 343 m/s bei 20 °C, und die Seite berechnet die Schallwellenlänge. Diese Geschwindigkeit steigt mit der Temperatur und ist daher ein einzugebender Wert und keine Konstante.

Warum ergibt 100 MHz genau 2,99792458 m? Weil die Division durch 100 MHz lediglich das Dezimalkomma eines exakt definierten Wertes verschiebt. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt exakt 299.792.458 m/s, daher beträgt die Wellenlänge exakt 2,99792458 m, ohne Rundung an irgendeiner Stelle.