Poisson-Verteilungs-Rechner - Ereigniswahrscheinlichkeiten berechnen

Was ist ein Poisson-Verteilungsrechner?

Ein Poisson-Verteilungsrechner ermittelt die Wahrscheinlichkeit, dass in einem festen Zeit- oder Raumabschnitt eine bestimmte Anzahl von Ereignissen eintritt, wenn man weiß, wie oft die Ereignisse im Durchschnitt auftreten. Er wird verwendet, wenn Ereignisse einzeln, unabhängig voneinander und mit einer gleichbleibenden mittleren Rate eintreten. Typische Beispiele sind die Anzahl der Anrufe, die ein Callcenter in einer Stunde erhält, oder die Anzahl der Tippfehler auf einer Seite.

Formel der Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit von genau k Ereignissen an, wenn die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse im Intervall λ beträgt (der griechische Buchstabe Lambda). Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Die Symbole bedeuten:

• λ (Lambda) — die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse pro Intervall. Dies ist die einzige Eingabe, die die Verteilung braucht.
• k — die genaue Anzahl der Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit berechnet wird. Sie muss eine ganze Zahl von 0 oder mehr sein.
• e — die Eulersche Zahl, eine feste Konstante von etwa 2,71828.
• k! — „k Fakultät“, das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis k. Zum Beispiel ist 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Per Konvention gilt 0! = 1.

Die Formel braucht nur λ und k. Anders als bei der Binomialverteilung wird keine Gesamtzahl von Versuchen benötigt.

So berechnen Sie eine Poisson-Wahrscheinlichkeit

1. Wählen Sie λ, die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse im untersuchten Intervall.
2. Wählen Sie k, die genaue Anzahl der Ereignisse, für die die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden soll.
3. Potenzieren Sie e mit −λ: Das ergibt e^(−λ).
4. Potenzieren Sie λ mit k: Das ergibt λ^k.
5. Bestimmen Sie k!, die Fakultät von k.
6. Multiplizieren Sie die Ergebnisse der Schritte 3 und 4 und teilen Sie das Produkt durch das Ergebnis von Schritt 5.

Das Ergebnis ist eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1. Multiplizieren Sie es mit 100, um es als Prozentwert anzugeben.

Rechenbeispiel

Ein Callcenter erhält durchschnittlich 5 Anrufe pro Stunde (λ = 5). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer bestimmten Stunde genau 3 Anrufe erhält (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,00673795
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Multiplizieren Sie: 0,00673795 × 125 ≈ 0,842244
5. Teilen Sie durch 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Anrufe in dieser Stunde beträgt etwa 0,140, also 14 %.

Weitere Beispiele

Wo die Poisson-Verteilung verwendet wird

Die Poisson-Verteilung beschreibt die Anzahl seltener, unabhängiger Ereignisse. Häufige Anwendungen sind:

• Callcenter und Kundenservice: Vorhersage, wie viele Anrufe oder Chats pro Stunde eingehen.
• Fertigung: Schätzung der Zahl der Fehler in einer Produktcharge.
• Versicherung: Schätzung, wie viele Schadensmeldungen in einem bestimmten Zeitraum eingehen.
• Biologie und Medizin: Modellierung von Mutationszahlen oder der Ausbreitung seltener Krankheiten.
• Physik: Beschreibung des radioaktiven Zerfalls, bei dem jedes Atom unabhängig mit einer konstanten mittleren Rate zerfällt.
• Verkehrs- und Netzwerktechnik: Schätzung der Fahrzeugankünfte an einer Kreuzung oder der Anfragen an einen Server.

Voraussetzungen für die Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung passt nur dann zu einer Situation, wenn alle diese Bedingungen erfüllt sind:

• Ereignisse treten einzeln auf; zwei Ereignisse können nicht genau im selben Augenblick eintreten.
• Ereignisse treten unabhängig voneinander auf — ein Ereignis macht das nächste weder wahrscheinlicher noch unwahrscheinlicher.
• Die mittlere Rate λ bleibt im untersuchten Intervall konstant.

Ändert sich die Rate im Zeitverlauf oder treten Ereignisse gehäuft auf, beschreibt die einfache Poisson-Verteilung die Daten nicht gut.

Poisson-Verteilung im Vergleich zu verwandten Verteilungen

• Binomialverteilung: wird verwendet, wenn eine feste Zahl von Versuchen und eine bekannte Erfolgswahrscheinlichkeit bei jedem Versuch vorliegen, etwa bei 20 Münzwürfen. Die Poisson-Verteilung passt zu dem Fall, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bei jedem Versuch sehr klein, die Zahl der Versuche aber sehr groß ist. Das Produkt aus der Zahl der Versuche und der Wahrscheinlichkeit pro Versuch übernimmt dann die Rolle von λ.
• Normalverteilung: Für große λ ähnelt die Poisson-Verteilung stark einer glockenförmigen Normalverteilung mit dem Mittelwert λ und der Varianz λ.
• Exponentialverteilung: Während die Poisson-Verteilung zählt, wie viele Ereignisse in einem festen Intervall eintreten, beschreibt die Exponentialverteilung die Wartezeit zwischen diesen Ereignissen.

Ein Hinweis zur Geschichte

Der französische Mathematiker Siméon Denis Poisson führte die Verteilung 1837 ein, in einem Buch über Wahrscheinlichkeitsrechnung, angewandt auf Gerichtsurteile. Das Werk fand damals wenig Beachtung. Im Jahr 1898 veröffentlichte Ladislaus Bortkiewicz Das Gesetz der kleinen Zahlen. Er zeigte, dass seltene Ereignisse in einer großen Grundgesamtheit einer Poisson-Verteilung folgen, und verwendete dafür die Zahl der preußischen Soldaten, die jedes Jahr durch Hufschläge von Pferden starben.

Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet Lambda (λ) in einer Poisson-Verteilung? Lambda ist die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse, die im untersuchten Intervall zu erwarten sind. Es ist zugleich die Varianz der Verteilung, denn die Standardabweichung beträgt √λ; ein größeres λ bedeutet also sowohl eine höhere durchschnittliche Anzahl als auch eine größere Streuung der möglichen Ergebnisse.

Können k oder λ negativ oder ein Bruch sein? λ muss größer als 0 sein, kann aber eine Dezimalzahl sein, etwa 2,5 Ereignisse pro Stunde. k muss eine ganze Zahl von 0 oder mehr sein, da es tatsächliche Ereignisse zählt; es kann weder negativ noch ein Bruch sein. Der Rechner begrenzt außerdem λ auf 700 und k auf 1.000, damit die Ergebnisse numerisch stabil bleiben.

Wie unterscheidet sich die Poisson-Verteilung von der Binomialverteilung? Die Binomialverteilung braucht eine feste Zahl von Versuchen und eine feste Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch. Die Poisson-Verteilung braucht nur eine mittlere Rate und eignet sich für Ereignisse, die grundsätzlich beliebig oft eintreten können.

Wann sollte stattdessen die Normalverteilung verwendet werden? Für große λ nähert eine Normalverteilung mit demselben Mittelwert und derselben Varianz die Poisson-Verteilung gut an und lässt sich von Hand oft leichter handhaben.

Warum zeigt der Rechner manchmal eine Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise an? Liegt die Wahrscheinlichkeit unter 0,0001, wechselt der Rechner zur wissenschaftlichen Schreibweise mit sechs Nachkommastellen (zum Beispiel 1.000000e-7). Größere Ergebnisse werden mit sechs Nachkommastellen angezeigt. Eine feste Anzeige mit sechs Nachkommastellen würde sehr kleine Ergebnisse als 0,000000 darstellen und verbergen, wie klein sie sind.

Lässt die Poisson-Verteilung mehr als ein Ereignis gleichzeitig zu? Nein. Das Modell nimmt an, dass Ereignisse einzeln auftreten. Treten zwei Ereignisse regelmäßig gemeinsam auf, passt eine andere Verteilung besser zu den Daten.

Referenzen

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.19 Poisson Distribution. NIST: Poisson-Verteilung — Wahrscheinlichkeitsfunktion, Mittelwert λ und Standardabweichung √λ.
2. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Siméon-Denis Poisson. MacTutor: Poisson — Die Verteilung erscheint erstmals in den Recherches von 1837; kleine Wahrscheinlichkeit, große Zahl von Versuchen; damals wenig Beachtung.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Ladislaus Bortkiewicz. MacTutor: Bortkiewicz — The Law of Small Numbers (1898) und die preußischen Daten zu Hufschlagtoten.