Poisson-Verteilungs-Rechner - Ereigniswahrscheinlichkeiten berechnen

Was ist ein Poisson-Verteilungsrechner?

Ein Poisson-Verteilungsrechner ermittelt die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb eines festgelegten Zeitraums oder räumlichen Bereichs eine bestimmte Anzahl von Ereignissen eintritt, wenn bekannt ist, wie häufig diese Ereignisse im Durchschnitt vorkommen. Er wird verwendet, wenn Ereignisse einzeln und unabhängig voneinander mit einer gleichbleibenden durchschnittlichen Rate auftreten. Typische Beispiele sind die Anzahl der Anrufe, die ein Callcenter innerhalb einer Stunde erhält, oder die Anzahl der Tippfehler auf einer Seite.

Formel der Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse an, wenn die durchschnittliche Rate λ (der griechische Buchstabe Lambda) beträgt:

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Die einzelnen Symbole bedeuten:

• λ (Lambda) — die durchschnittliche Anzahl von Ereignissen pro Intervall. Es ist der einzige Parameter der Verteilung.
• k — die genaue Anzahl der Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit berechnet wird. Der Wert muss eine ganze Zahl ab 0 sein.
• e — die Eulersche Zahl, eine feste Konstante mit dem ungefähren Wert 2,71828.
• k-Fakultät — das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis k. Zum Beispiel gilt: 4-Fakultät = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Per Definition ist die Fakultät von 0 gleich 1.

Die Formel benötigt nur λ und k. Anders als bei der Binomialverteilung braucht sie keine Gesamtzahl von Versuchen.

So wird eine Poisson-Wahrscheinlichkeit berechnet

1. λ festlegen, also die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse im untersuchten Intervall.
2. k festlegen, also die genaue Anzahl der Ereignisse, für die die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden soll.
3. e mit dem Exponenten −λ potenzieren: Das ergibt e^(−λ).
4. λ mit dem Exponenten k potenzieren: Das ergibt λ^k.
5. Die Fakultät von k bestimmen.
6. Die Ergebnisse aus den Schritten 3 und 4 multiplizieren und anschließend durch das Ergebnis aus Schritt 5 teilen.

Das Ergebnis ist eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1. Für die Darstellung als Prozentsatz wird sie mit 100 multipliziert.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein Callcenter erhält durchschnittlich 5 Anrufe pro Stunde (λ = 5). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es innerhalb einer bestimmten Stunde genau 3 Anrufe erhält (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. Fakultät von 3 = 3 × 2 × 1 = 6
4. Multiplikation: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Division durch 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Anrufe in dieser Stunde beträgt etwa 0,140 oder 14 %.

Weitere Beispiele

Anwendungsbereiche der Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung bildet die Anzahl seltener, unabhängiger Ereignisse ab. Häufige Anwendungsbereiche sind:

• Callcenter und Kundenservice: Vorhersage, wie viele Anrufe oder Chats pro Stunde eingehen.
• Produktion: Schätzung der Anzahl von Fehlern in einer Produktcharge.
• Versicherungen: Schätzung, wie viele Schadensmeldungen in einem bestimmten Zeitraum eingehen.
• Biologie und Medizin: Modellierung der Anzahl von Mutationen oder der Ausbreitung seltener Krankheiten.
• Physik: Beschreibung des radioaktiven Zerfalls, bei dem jedes Atom unabhängig mit einer konstanten durchschnittlichen Rate zerfällt.
• Verkehrs- und Netzwerktechnik: Schätzung der Anzahl von Fahrzeugen, die an einer Kreuzung eintreffen, oder der Anfragen, die einen Server erreichen.

Voraussetzungen für die Verwendung der Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung passt nur dann zu einer Situation, wenn alle folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Ereignisse treten einzeln auf. Zwei Ereignisse können nicht exakt im selben Augenblick eintreten.
• Ereignisse treten unabhängig voneinander auf. Ein Ereignis macht das nächste weder wahrscheinlicher noch unwahrscheinlicher.
• Die durchschnittliche Rate λ bleibt innerhalb des untersuchten Intervalls konstant.

Wenn sich die Rate im Zeitverlauf ändert oder Ereignisse dazu neigen, sich zu häufen, beschreibt die einfache Poisson-Verteilung die Daten nicht gut.

Poisson-Verteilung im Vergleich zu verwandten Verteilungen

• Binomialverteilung: Sie wird verwendet, wenn es eine feste Anzahl von Versuchen und eine bekannte Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden Versuch gibt, etwa beim 20-maligen Werfen einer Münze. Die Poisson-Verteilung ist der Grenzfall der Binomialverteilung, wenn die Anzahl der Versuche sehr groß wird und die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch gegen null geht, während ihr Produkt ungefähr λ bleibt.
• Normalverteilung: Bei großen λ, ungefähr ab einem Wert von 20, ähnelt die Poisson-Verteilung einer glockenförmigen Normalverteilung mit dem Mittelwert λ und der Varianz λ.
• Exponentialverteilung: Während die Poisson-Verteilung zählt, wie viele Ereignisse in einem festen Intervall auftreten, beschreibt die Exponentialverteilung die Wartezeit zwischen diesen Ereignissen.

Ein Hinweis zur Geschichte

Der französische Mathematiker Siméon Denis Poisson führte die Verteilung 1837 in einem Buch über die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Gerichtsurteile ein. Anfangs erregte sie wenig Aufmerksamkeit. Ihre Verwendung nahm zu Beginn des 20. Jahrhunderts zu, nachdem Statistiker wie Ladislaus Bortkiewicz und Ronald Fisher sie auf reale Zähldaten angewandt hatten, darunter eine bekannte Untersuchung über preußische Soldaten, die durch Tritte von Pferden ums Leben kamen.

Häufig gestellte Fragen

Was bedeutet Lambda (λ) in einer Poisson-Verteilung?

Lambda ist die durchschnittliche Anzahl der Ereignisse, die im untersuchten Intervall erwartet werden. Lambda entspricht außerdem der Varianz der Verteilung. Ein größeres λ bedeutet daher sowohl eine höhere durchschnittliche Anzahl als auch eine größere Streuung der möglichen Ergebnisse.

Dürfen k oder λ negativ oder gebrochen sein?

λ muss größer als 0 sein, darf aber eine Dezimalzahl sein, zum Beispiel 2,5 Ereignisse pro Stunde. k muss eine ganze Zahl ab 0 sein, da es tatsächliche Ereignisse zählt. k darf daher weder negativ noch gebrochen sein.

Wie unterscheidet sich die Poisson-Verteilung von der Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung benötigt eine feste Anzahl von Versuchen und eine feste Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch. Die Poisson-Verteilung benötigt nur eine durchschnittliche Rate und eignet sich für Ereignisse, die grundsätzlich beliebig oft auftreten können.

Wann sollte stattdessen die Normalverteilung verwendet werden?

Bei großen λ, im Allgemeinen ab ungefähr 20, nähert eine Normalverteilung mit demselben Mittelwert und derselben Varianz die Poisson-Verteilung eng an. Sie lässt sich häufig leichter von Hand berechnen.

Warum zeigt der Rechner manchmal eine Zahl in wissenschaftlicher Schreibweise an?

Die Ergebnisse werden normalerweise mit sechs Nachkommastellen angezeigt. Wenn eine Wahrscheinlichkeit kleiner als 0,0001 ist, würde die Darstellung mit sechs Nachkommastellen auf 0,000000 runden und nicht zeigen, wie klein der Wert tatsächlich ist. Deshalb wechselt der Rechner in diesem Fall zur wissenschaftlichen Schreibweise. Für λ = 20 und k = 1 zeigt er 4,122307e-8 an, was 0,00000004122307 bedeutet.

Gibt es Grenzen für die vom Rechner akzeptierten Werte?

Ja. λ muss größer als 0 und höchstens 700 sein. k muss eine ganze Zahl zwischen 0 und 1.000 sein. Außerhalb dieser Grenzen zeigt der Rechner eine Fehlermeldung an. Die Begrenzungen halten das Ergebnis innerhalb des Zahlenbereichs, den ein Computer speichern kann, und sorgen dafür, dass das Diagramm eine lesbare Anzahl von Balken enthält.

Erlaubt die Poisson-Verteilung mehr als ein Ereignis gleichzeitig?

Nein. Das Modell setzt voraus, dass Ereignisse einzeln auftreten. Wenn regelmäßig zwei Ereignisse gleichzeitig vorkommen, passt eine andere Verteilung besser zu den Daten.

Quellen

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. „Poisson Distribution.“ NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Abschnitt 1.3.6.6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp und Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.