Υπολογιστής προγράμματος αποταμίευσης: Μελλοντική αξία

Υπολογιστής προγράμματος αποταμίευσης

Ένας υπολογιστής προγράμματος αποταμίευσης εκτιμά πόσο θα αξίζει ένας λογαριασμός αποταμίευσης ή επενδύσεων μετά από έναν επιλεγμένο αριθμό ετών. Συνδυάζει μια εφάπαξ αρχική κατάθεση με μια τακτική εισφορά που πραγματοποιείται μηνιαία, τριμηνιαία ή ετήσια και αυξάνει και τις δύο με ανατοκισμό.

Τι κάνει ο υπολογιστής

Ο υπολογιστής δέχεται επτά εισόδους: την αρχική κατάθεση, την τακτική εισφορά, τη συχνότητα των εισφορών (μηνιαία, τριμηνιαία ή ετήσια), το αν κάθε εισφορά κατατίθεται στην αρχή ή στο τέλος της περιόδου της, το ετήσιο επιτόκιο, τη συχνότητα ανατοκισμού και τον αριθμό των ετών για τα οποία αυξάνονται τα χρήματα.

Επιστρέφει τρία μεγέθη: τη μελλοντική αξία (το τελικό υπόλοιπο), το σύνολο των εισφορών (την αρχική κατάθεση συν κάθε τακτική κατάθεση) και τους συνολικούς τόκους που αποκτήθηκαν (τη διαφορά μεταξύ των δύο). Ένα διάγραμμα δείχνει το υπόλοιπο στο τέλος κάθε περιόδου εισφοράς.

Η αρχική κατάθεση μπορεί να είναι από 0 $ έως 1 $ τρισεκατομμύριο και η εισφορά από 0 $ έως 1 $ δισεκατομμύριο ανά περίοδο. Το επιτόκιο μπορεί να είναι από 0% έως 100%. Ο αριθμός των ετών πρέπει να είναι μεγαλύτερος από 0 και το πολύ 100. Τουλάχιστον μία από την κατάθεση και την εισφορά πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 0 $.

Πώς υπολογίζεται η μελλοντική αξία ενός προγράμματος αποταμίευσης

Συνδυάζονται δύο τυπικά αποτελέσματα, τα οποία περιγράφονται στα άρθρα της Wikipedia «Μελλοντική αξία» και «Πρόσοδος».

Η αρχική κατάθεση αυξάνεται μόνο με ανατοκισμό:

FV(κατάθεση) = P₀ × (1 + i)ˣ

Η σειρά των τακτικών καταθέσεων αυξάνεται ως πρόσοδος:

FV(εισφορές) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ είναι η αρχική κατάθεση.
• PMT είναι η τακτική εισφορά.
• i είναι το επιτόκιο για μία περίοδο εισφοράς.
• x είναι ο χρονικός ορίζοντας μετρημένος σε περιόδους εισφοράς (έτη × περίοδοι ανά έτος).
• N είναι ο αριθμός των καταθέσεων που πραγματοποιήθηκαν πράγματι.
• A είναι ο συντελεστής προσόδου, δηλαδή η μελλοντική αξία 1 $ που κατατίθεται κάθε περίοδο για N περιόδους.

Ο συντελεστής προσόδου εξαρτάται από το πότε πραγματοποιούνται οι καταθέσεις:

Μια κατάθεση στην αρχή κάθε περιόδου αποφέρει τόκους για μία επιπλέον περίοδο, από όπου προκύπτει ο επιπλέον παράγοντας (1 + i). Όταν το επιτόκιο είναι 0%, ο συντελεστής προσόδου είναι N: οι καταθέσεις απλώς αθροίζονται χωρίς αύξηση.

Η μελλοντική αξία είναι το άθροισμα των δύο μερών. Οι συνολικοί τόκοι είναι η μελλοντική αξία μείον όλα τα καταβληθέντα ποσά.

Όταν ο ανατοκισμός και οι εισφορές έχουν διαφορετικές συχνότητες

Οι τόκοι μπορεί να ανατοκίζονται συχνότερα ή λιγότερο συχνά από ό,τι πραγματοποιούνται οι καταθέσεις, για παράδειγμα με μηνιαίο ανατοκισμό και τριμηνιαίες καταθέσεις. Ο υπολογιστής μετατρέπει το ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο r, με ανατοκισμό n φορές τον χρόνο, στο πραγματικό επιτόκιο για μία περίοδο εισφοράς (βλ. το άρθρο της Wikipedia «Πραγματικό επιτόκιο»):

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

όπου m είναι ο αριθμός των εισφορών ανά έτος. Με ετήσιο επιτόκιο 5%, μηνιαίο ανατοκισμό και τριμηνιαίες καταθέσεις, i = (1 + 0,05/12)³ − 1 ≈ 1,2552% ανά τρίμηνο. Όταν οι δύο συχνότητες συμπίπτουν, το i είναι απευθείας r/n.

Λυμένο παράδειγμα

Ένα πρόγραμμα ξεκινά με 1.000 $ και προσθέτει 100 $ στην αρχή κάθε μήνα για 10 έτη, με ετήσιο επιτόκιο 5% και μηνιαίο ανατοκισμό. Αυτές είναι οι προεπιλεγμένες τιμές του υπολογιστή.

1. Περίοδοι ανά έτος m = 12, επομένως ο χρονικός ορίζοντας είναι x = 120 περίοδοι και N = 120 καταθέσεις.
2. Το μηνιαίο επιτόκιο είναι i = 0,05 / 12 ≈ 0,0041667.
3. Συντελεστής αύξησης: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1,647009.
4. Αρχική κατάθεση: 1.000 $ × 1,647009 ≈ 1.647,01 $.
5. Συντελεστής προσόδου (ληξιπρόθεσμης): (1,647009 − 1) / 0,0041667 ≈ 155,282279. Οι καταθέσεις πραγματοποιούνται στην αρχή κάθε μήνα, επομένως πολλαπλασιάζεται με (1 + i): 155,929289.
6. Εισφορές: 100 $ × 155,929289 ≈ 15.592,93 $.
7. Μελλοντική αξία: 1.647,01 $ + 15.592,93 $ = 17.239,94 $.

Οι συνολικές εισφορές είναι 1.000 $ + 120 × 100 $ = 13.000 $, επομένως οι συνολικοί τόκοι είναι 17.239,94 $ − 13.000 $ = 4.239,94 $. Με το ίδιο πρόγραμμα αλλά με καταθέσεις στο τέλος κάθε μήνα, η μελλοντική αξία είναι 17.175,24 $, δηλαδή περίπου 65 $ μικρότερη.

Σε δεύτερο παράδειγμα με καταθέσεις στο τέλος του μήνα: αρχική κατάθεση 5.000 $, 200 $ ανά μήνα, 6% με μηνιαίο ανατοκισμό και 20 έτη. Εδώ (1,005)²⁴⁰ ≈ 3,310204, η κατάθεση αυξάνεται σε 16.551,02 $, ο συντελεστής προσόδου είναι 462,040895 και οι εισφορές αυξάνονται σε 92.408,18 $. Η μελλοντική αξία είναι 108.959,20 $: καταβλήθηκαν 53.000 $ και οι τόκοι ανέρχονται σε 55.959,20 $. Αυτό συμφωνεί με τον υπολογιστή ανατοκιζόμενων τόκων της Επιτροπής Κεφαλαιαγοράς των ΗΠΑ στον ιστότοπο investor.gov, με τον οποίο ελέγχθηκε η μηχανή του εργαλείου.

Συμβάσεις που χρησιμοποιεί αυτός ο υπολογιστής

Οι καταθέσεις θεωρείται αρχικά ότι πραγματοποιούνται στην αρχή της περιόδου. Τα περισσότερα πραγματικά προγράμματα αποταμίευσης χρεώνουν τον λογαριασμό στην αρχή κάθε μήνα, επομένως η προεπιλογή είναι η προκαταβλητέα πρόσοδος. Πολλά εγχειρίδια και υπολογιστές υποθέτουν αντίθετα ληξιπρόθεσμη πρόσοδο· η επιλογή χρονισμού εναλλάσσει τις δύο περιπτώσεις.

Τα κλασματικά έτη καθορίζουν τον αριθμό των καταθέσεων ανάλογα με τον χρονισμό. Σε 2,5 έτη ετήσιων καταθέσεων, ένα πρόγραμμα τέλους περιόδου πραγματοποιεί 2 καταθέσεις (πληρώνονται μόνο τα ολοκληρωμένα έτη), ενώ ένα πρόγραμμα αρχής περιόδου πραγματοποιεί 3 (κάθε έτος που ξεκινά συνεπάγεται κατάθεση στην αρχή του). Κάθε κατάθεση που πραγματοποιείται, καθώς και το αρχικό ποσό, αυξάνεται μέχρι τον ακριβή χρονικό ορίζοντα, συμπεριλαμβανομένης της τελικής μερικής περιόδου.

Τα αποτελέσματα είναι ονομαστικά. Δεν αφαιρείται πληθωρισμός, φόρος ή προμήθεια. Η μελλοντική αξία είναι το ποσό που θα έδειχνε η κατάσταση του λογαριασμού, όχι η αγοραστική του δύναμη.

Η στρογγυλοποίηση γίνεται μία φορά, στο τέλος. Η μελλοντική αξία και οι συνολικές εισφορές στρογγυλοποιούνται καθεμία στο πλησιέστερο λεπτό, και οι συνολικοί τόκοι είναι η διαφορά τους, ώστε τα τρία εμφανιζόμενα μεγέθη να αθροίζονται πάντα ακριβώς.

Συχνές ερωτήσεις

Τι είναι η μελλοντική αξία ενός προγράμματος αποταμίευσης; Είναι το υπόλοιπο του λογαριασμού στο τέλος του προγράμματος: η αρχική κατάθεση και κάθε τακτική κατάθεση, καθεμία αυξημένη με ανατοκισμό από τη στιγμή που καταβλήθηκε έως το τέλος.

Έχει πράγματι σημασία η εισφορά στην αρχή του μήνα; Ναι, λίγο. Κάθε κατάθεση αποφέρει τόκους για μία επιπλέον περίοδο, γεγονός που πολλαπλασιάζει το μέρος των εισφορών του υπολοίπου με (1 + i). Στο προεπιλεγμένο παράδειγμα, η διαφορά για 10 έτη είναι 64,70 $.

Γιατί η συχνότητα ανατοκισμού αλλάζει το αποτέλεσμα; Ο συχνότερος ανατοκισμός πιστώνει τους τόκους νωρίτερα, επομένως οι τόκοι αρχίζουν να αποφέρουν τόκους νωρίτερα. Ο υπολογιστής το ενσωματώνει στο αποτελεσματικό επιτόκιο ανά περίοδο i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, ώστε κάθε συνδυασμός συχνότητας ανατοκισμού και εισφορών να αντιμετωπίζεται με ακρίβεια.

Τι συμβαίνει με επιτόκιο 0%; Η μελλοντική αξία είναι απλώς το άθροισμα όλων των καταβληθέντων χρημάτων. Το προεπιλεγμένο πρόγραμμα με 0% καταλήγει ακριβώς σε 13.000 $, με 0 $ τόκους.

Ο υπολογιστής λαμβάνει υπόψη τον πληθωρισμό ή τους φόρους; Όχι. Όλα τα αποτελέσματα είναι ονομαστικά ποσά σε δολάρια. Για την εκτίμηση της αγοραστικής δύναμης μπορεί να εισαχθεί χαμηλότερο «πραγματικό» επιτόκιο, αλλά το εργαλείο δεν δέχεται αρνητικά επιτόκια.

Γιατί οι συνολικοί τόκοι είναι η μελλοντική αξία μείον τις συνολικές εισφορές; Τόκοι είναι κάθε δολάριο του λογαριασμού που δεν καταβλήθηκε. Εφόσον οι καταθέσεις περιλαμβάνονται στις συνολικές εισφορές, ό,τι απομένει από τη μελλοντική αξία πρέπει να προήλθε από τον ανατοκισμό.

Παραπομπές

1. "Future value." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." Επιτροπή Κεφαλαιαγοράς των ΗΠΑ, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.