Calculadora de planes de ahorro: valor futuro con depósitos

Calculadora de planes de ahorro

Una calculadora de planes de ahorro estima cuánto valdrá una cuenta de ahorro o inversión después de un número determinado de años. Combina un depósito inicial único con una aportación periódica mensual, trimestral o anual, y hace crecer ambos mediante interés compuesto.

Qué hace la calculadora

La calculadora utiliza siete datos: el depósito inicial, la aportación periódica, la frecuencia de las aportaciones (mensual, trimestral o anual), si cada aportación se realiza al principio o al final de su período, la tasa de interés anual, la frecuencia con que se capitaliza el interés y el número de años durante los que crece el dinero.

Devuelve tres cifras: el valor futuro (el saldo final), las aportaciones totales (el depósito inicial más todos los depósitos periódicos) y el interés total obtenido (la diferencia entre ambos). Un gráfico muestra el saldo al final de cada período de aportación.

El depósito inicial puede ser de 0 US$ a 1 US$ billón y la aportación, de 0 US$ a 1 US$ mil millones por período. La tasa de interés puede ser de 0 % a 100 %. El número de años debe ser mayor que 0 y como máximo 100. Al menos uno de los dos valores, el depósito y la aportación, debe ser superior a 0 US$.

Cómo calcular el valor futuro de un plan de ahorro

Se combinan dos resultados estándar, descritos en los artículos de Wikipedia «Valor futuro» y «Anualidad».

El depósito inicial crece únicamente mediante interés compuesto:

VF(depósito) = P₀ × (1 + i)ˣ

La serie de depósitos periódicos crece como una anualidad:

VF(aportaciones) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ es el depósito inicial.
• PMT es la aportación periódica.
• i es la tasa de interés de un período de aportación.
• x es el horizonte medido en períodos de aportación (años × períodos por año).
• N es el número de depósitos realizados efectivamente.
• A es el factor de anualidad, es decir, el valor futuro de 1 US$ depositado en cada período durante N períodos.

El factor de anualidad depende del momento en que se realizan los depósitos:

Un depósito realizado al principio de cada período genera intereses durante un período adicional, de ahí procede el factor adicional (1 + i). Cuando la tasa es 0 %, el factor de anualidad es N: los depósitos se suman sin crecimiento.

El valor futuro es la suma de las dos partes. El interés total es el valor futuro menos todo lo aportado.

Cuando la capitalización y las aportaciones tienen frecuencias distintas

El interés puede capitalizarse con mayor o menor frecuencia que aquella con la que se realizan los depósitos, por ejemplo, con capitalización mensual y depósitos trimestrales. La calculadora convierte la tasa anual nominal r, capitalizada n veces al año, en la tasa efectiva de un período de aportación (véase el artículo de Wikipedia «Tasa de interés efectiva»):

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

donde m es el número de aportaciones por año. Con una tasa anual de 5 % capitalizada mensualmente y depósitos trimestrales, i = (1 + 0,05/12)³ − 1 ≈ 1,2552 % por trimestre. Cuando las dos frecuencias coinciden, i es directamente r/n.

Ejemplo práctico

Un plan comienza con 1000 US$ y añade 100 US$ al principio de cada mes durante 10 años, con una tasa anual de 5 % capitalizada mensualmente. Estos son los valores predeterminados de la calculadora.

1. Períodos por año m = 12, por lo que el horizonte es x = 120 períodos y N = 120 depósitos.
2. La tasa mensual es i = 0,05 / 12 ≈ 0,0041667.
3. Factor de crecimiento: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1,647009.
4. Depósito inicial: 1000 US$ × 1,647009 ≈ 1647,01 US$.
5. Factor de anualidad (ordinaria): (1,647009 − 1) / 0,0041667 ≈ 155,282279. Los depósitos se realizan al principio de cada mes, por lo que se multiplica por (1 + i): 155,929289.
6. Aportaciones: 100 US$ × 155,929289 ≈ 15.592,93 US$.
7. Valor futuro: 1647,01 US$ + 15.592,93 US$ = 17.239,94 US$.

Las aportaciones totales son 1000 US$ + 120 × 100 US$ = 13.000 US$, por lo que el interés total es 17.239,94 US$ − 13.000 US$ = 4239,94 US$. Con el mismo plan, pero realizando los depósitos al final de cada mes, el valor futuro es 17.175,24 US$, aproximadamente 65 US$ menos.

Un segundo ejemplo con depósitos a final de mes: depósito inicial de 5000 US$, 200 US$ al mes, 6 % de interés capitalizado mensualmente y 20 años. Aquí, (1,005)²⁴⁰ ≈ 3,310204, el depósito crece hasta 16.551,02 US$, el factor de anualidad es 462,040895 y las aportaciones crecen hasta 92.408,18 US$. El valor futuro es 108.959,20 US$: se han aportado 53.000 US$ y se han obtenido 55.959,20 US$ de intereses. Esto coincide con la calculadora de interés compuesto de la Comisión de Bolsa y Valores de Estados Unidos en investor.gov, con la que se comprobó el motor de la herramienta.

Convenciones utilizadas por esta calculadora

Los depósitos se realizan de forma predeterminada al principio del período. La mayoría de los planes de ahorro reales cargan el importe en la cuenta al principio de cada mes, por lo que el valor predeterminado es una anualidad anticipada. Muchos libros de texto y calculadoras suponen, en cambio, una anualidad ordinaria; la opción de momento permite alternar entre ambas.

En los años fraccionarios, el momento determina el número de depósitos. En 2,5 años de depósitos anuales, un plan con depósitos al final del período realiza 2 depósitos (solo se pagan los años completos), mientras que un plan con depósitos al principio del período realiza 3 (cada año iniciado se paga al principio). Cada depósito realizado, así como la suma inicial, sigue creciendo hasta el horizonte exacto, incluido el último período parcial.

Los resultados son nominales. No se resta la inflación, ningún impuesto ni ninguna comisión. El valor futuro es lo que mostraría el estado de cuenta, no su poder adquisitivo.

El redondeo se realiza una sola vez, al final. El valor futuro y las aportaciones totales se redondean cada uno al centavo, y el interés total es su diferencia, por lo que las tres cifras mostradas siempre suman exactamente.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es el valor futuro de un plan de ahorro? Es el saldo de la cuenta al final del plan: el depósito inicial y cada depósito periódico, todos incrementados mediante interés compuesto desde el momento en que se realizaron hasta el final.

¿Realmente importa aportar al principio del mes? Sí, aunque poco. Cada depósito genera intereses durante un período adicional, lo que multiplica la parte del saldo correspondiente a las aportaciones por (1 + i). En el ejemplo predeterminado, la diferencia durante 10 años es de 64,70 US$.

¿Por qué la frecuencia de capitalización cambia el resultado? Una capitalización más frecuente abona los intereses antes, por lo que estos comienzan a generar intereses antes. La calculadora incorpora este efecto en la tasa efectiva por período i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, de modo que gestiona exactamente cualquier combinación de frecuencias de capitalización y aportación.

¿Qué ocurre con una tasa de interés de 0 %? El valor futuro es simplemente la suma de todo el dinero aportado. El plan predeterminado a 0 % termina exactamente en 13.000 US$, con 0 US$ de intereses.

¿La calculadora tiene en cuenta la inflación o los impuestos? No. Todos los resultados son importes nominales en dólares. Para estimar el poder adquisitivo, se puede introducir una tasa «real» menor, pero la herramienta no acepta tasas negativas.

¿Por qué el interés total es el valor futuro menos las aportaciones totales? Los intereses son todos los dólares de la cuenta que no se aportaron. Como los depósitos se cuentan dentro de las aportaciones totales, lo que queda del valor futuro debe proceder de la capitalización.

Referencias

1. "Future value." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." Comisión de Bolsa y Valores de Estados Unidos, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.