Hüpotenuusi kalkulaator

Hüpotenuusi kalkulaator leiab täisnurkse kolmnurga pikima külje pikkuse; seda külge nimetatakse hüpotenuusiks. See kasutab Pythagorase teoreemi ehk reeglit, mis seob täisnurkse kolmnurga kolm külge.

Mis on hüpotenuus?

Täisnurksel kolmnurgal on üks 90-kraadine nurk, mis tekib seal, kus kaks külge kohtuvad täisnurkselt. Neid kahte külge nimetatakse kaatetiteks. Kolmas külg, mis asub täisnurga vastas, on hüpotenuus. See on alati kolmnurga pikim külg.

Pythagorase teoreemi valem

Pythagorase teoreem ütleb, et hüpotenuusi ruut võrdub kahe kaateti ruutude summaga.

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

c on hüpotenuus
a ja b on kaks kaatetit

Puuduva kaateti, mitte hüpotenuusi leidmiseks võib valemi ümber korraldada:

$a = \sqrt{c^2 - b^2} \qquad\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Teoreem on saanud nime Kreeka matemaatiku Pythagorase järgi, kes elas ligikaudu 570 kuni 495 eKr. Seda seost tunti juba varem. Ligikaudu 1800 eKr dateeritud Babüloonia savitahvlid näitavad, et Babüloonia matemaatikud kasutasid seda juba rohkem kui tuhat aastat enne Pythagorast.

Kuidas arvutada hüpotenuusi

Hüpotenuusi käsitsi leidmiseks järgi nelja sammu.

Astenda külje A pikkus ruutu ehk korruta see iseendaga.
Astenda külje B pikkus ruutu.
Liida kaks ruudus väärtust kokku.
Leia selle summa ruutjuur.

Selle lehe kalkulaator teeb läbi samad neli sammu. Vali menüüst „Leia hüpotenuus“, „Leia külg A“ või „Leia külg B“ ning sisesta kaks teadaolevat pikkust. Tulemus uueneb kohe, kui sisestatud on kehtivad arvud, ja ümardatakse kahe kümnendkohani.

Mõlemal küljel peab olema sama mõõtühik, näiteks tollid või meetrid. Kalkulaator ei teisenda ühikuid, mistõttu jalgades ja tollides sisestatud väärtused ei anna koos mõtestatud tulemust.

Näidisarvutus

Täisnurksel kolmnurgal on külg A pikkusega 3 jalga (0,91 m) ja külg B pikkusega 4 jalga (1,2 m).

c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5,00 jalga (1,52 m)

See 3-4-5 muster on otste kontrollimiseks kasutatav ehitajate võte. Mõõda ühe serva mööda 3 jalga ja sellega risti oleva serva mööda 4 jalga. Nende kahe punkti vaheline diagonaal peaks olema täpselt 5 jalga (1,5 m). Samamoodi toimib mustri iga kordne, näiteks 6-8-10 või 30-40-50.

Teises näites kasutatakse kümnendväärtusi. Täisnurksel kolmnurgal on külg A pikkusega 2,5 tolli (6,35 cm) ja külg B pikkusega 6,8 tolli.

c = √(2,5² + 6,8²) = √(6,25 + 46,24) = √52,49 ≈ 7,24 tolli (18,4 cm)

Televiisorite ja monitoride suurust mõõdetakse sel viisil. Märgitud ekraanisuurus on diagonaal ehk ekraani laiuse ja kõrguse moodustatud ristküliku hüpotenuus.

Puuduva külje leidmine

Kui hüpotenuus ja üks kaatet on juba teada, saab kalkulaator leida teise kaateti. Vali „Leia külg A“ või „Leia külg B“ ning sisesta hüpotenuus ja teadaolev kaatet.

Näiteks on täisnurksel kolmnurgal 10 meetri pikkune hüpotenuus ja 6 meetri pikkune külg B.

a = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8,00 meetrit

Hüpotenuus peab alati olema kummastki kaatetist pikem, sest see on kolmnurga pikim külg. Kui hüpotenuusiks sisestatud väärtus ei ole teadaolevast kaatetist suurem, kuvab kalkulaator tulemuse asemel veateate, sest sellist täisnurkset kolmnurka ei ole olemas.

Levinud kasutusalad

Pythagorase teoreemi kasutatakse alati, kui kahe ristisuunalise mõõtmise põhjal on vaja leida sirge diagonaalkaugus.

Ehitamine ja puusepatöö: raami või seina nurga täisnurksuse kontrollimine ning sarikate või trepi põskpuude pikkuse arvutamine.
Maamõõtmine: horisontaalsete ja vertikaalsete kauguste teisendamine otseseks vaatejoone kauguseks.
Navigeerimine ja arvutigraafika: graafiku kahe punkti kauguse valem d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] on sama teoreem koordinaatidele rakendatuna.
Haridus: see on üks esimesi geomeetrilisi tõestusi, millega enamik õpilasi kokku puutub, ning seda saab kontrollida lihtsate täisarvuliste näidetega, nagu 3-4-5 või 5-12-13.

Teoreem kehtib ainult täisnurksete kolmnurkade korral. Kolmnurga puhul, millel ei ole 90-kraadist nurka, kasutatakse koosinusteoreemi.

Korduma kippuvad küsimused

Mis on hüpotenuusi valem? c = √(a² + b²), kus a ja b on täisnurkse kolmnurga kaks kaatetit ning c on hüpotenuus.

Kas seda saab kasutada ilma täisnurgata kolmnurkade puhul? Ei. Pythagorase teoreem kehtib ainult täisnurksete kolmnurkade korral. Kolmnurga puhul, millel ei ole 90-kraadist nurka, tuleb kasutada koosinusteoreemi.

Mis on 3-4-5 reegel? See on otse kontrollimise võte. Kui ühe külje pikkus on 3 ühikut, sellega külgnev ristuv külg on 4 ühikut ja nende otspunktide vaheline diagonaal on 5 ühikut, on nurk täisnurk. Samamoodi toimib 3-4-5 iga kordne, näiteks 6-8-10 või 30-40-50.

Kas mõlemal küljel peab olema sama mõõtühik? Jah. Mõlemad kaatetid tuleb sisestada samas ühikus, näiteks mõlemad jalgades või mõlemad meetrites. Ühikute, näiteks jalgade ja tollide, segamisel saadakse matemaatiliselt õige, kuid füüsiliselt mõttetu tulemus.

Miks kuvab kalkulaator mõne hüpotenuusi ja külje kombinatsiooni korral veateate? Hüpotenuus on täisnurksel kolmnurgal alati pikim külg. Kui hüpotenuusiks sisestatud väärtus ei ole teadaolevast kaatetist suurem, ei ole kehtivat täisnurkset kolmnurka olemas ning kalkulaator kuvab tulemuse asemel veateate.

Mitu kümnendkohta tulemusel kuvatakse? Kaks. Kalkulaator säilitab arvutamise ajal sisemiselt täieliku täpsuse ja ümardab ainult kuvatavat arvu.

Kas see on sama mis kauguse valem? Jah. Koordinaatgeomeetria kauguse valem d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] on graafiku kahe punkti suhtes rakendatud Pythagorase teoreem. Punktide horisontaalne ja vertikaalne vahe moodustavad täisnurkse kolmnurga kaks kaatetit.

Hüpotenuusi kalkulaator - Pythagorase teoreemi tööriist