מחשבון מספרים זרים

מספרים זרים הם שני מספרים שלמים או יותר שהמחלק המשותף החיובי היחיד שלהם הוא 1. המחשבון הזה בודק אם המספרים שהזנתם זרים זה לזה, על ידי מציאת המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD) שלהם. אם ה-GCD שווה ל-1, המספרים זרים.

מספרים זרים נקראים גם מספרים ראשוניים יחסית או מספרים ראשוניים הדדית.

מה המשמעות של מספרים זרים?

שני מספרים שלמים זרים זה לזה כאשר אין מספר שלם גדול מ-1 שמחלק את שניהם. המספרים עצמם אינם חייבים להיות ראשוניים. לדוגמה, 8 ו-15 זרים זה לזה: המחלקים של 8 הם 1, 2, 4 ו-8, ואילו המחלקים של 15 הם 1, 3, 5 ו-15. המחלק היחיד המשותף להם הוא 1, ולכן הם זרים.

לעומת זאת, 12 ו-18 אינם זרים. את שניהם אפשר לחלק ב-2, ב-3 וב-6, ולכן המחלק המשותף הגדול ביותר שלהם הוא 6.

איך בודקים אם מספרים זרים זה לזה

1. מוצאים את המחלק המשותף הגדול ביותר (GCD) של כל המספרים. ה-GCD הוא המספר השלם הגדול ביותר שמחלק כל אחד מהמספרים ללא שארית.
2. משווים את ה-GCD ל-1. אם ה-GCD שווה ל-1, המספרים זרים. אם ה-GCD גדול מ-1, הם אינם זרים.

את ה-GCD של קבוצת מספרים מוצאים על ידי הפעלת האלגוריתם האוקלידי על שני מספרים בכל פעם: ה-GCD של שלושה מספרים a, b ו-c הוא GCD(GCD(a, b), c).

נוסחת המספרים הזרים

המספרים a₁, a₂, …, aₙ זרים זה לזה כאשר:

GCD(a₁, a₂, …, aₙ) = 1

דוגמה

בדקו אם 6, 10 ו-15 זרים זה לזה.

• GCD(6, 10) = 2
• GCD(2, 15) = 1

המחלק המשותף הגדול ביותר של שלושת המספרים הוא 1, ולכן 6, 10 ו-15 זרים זה לזה כקבוצה.

שימו לב ששלושת המספרים האלה אינם זרים בזוגות. 6 ו-10 חולקים את הגורם 2, 6 ו-15 חולקים את הגורם 3, ו-10 ו-15 חולקים את הגורם 5. זרות כקבוצה (ה-GCD של כל המספרים יחד שווה ל-1) היא תנאי חלש יותר מזרות בזוגות (לכל זוג יש GCD של 1). המחשבון הזה מציג את שני הסוגים.

זרות בזוגות מול זרות כקבוצה

קבוצת מספרים היא זרה כקבוצה כאשר ה-GCD של הקבוצה כולה שווה ל-1. היא זרה בזוגות כאשר לכל זוג אפשרי בתוך הקבוצה יש GCD של 1. מספרים זרים בזוגות הם תמיד זרים גם כקבוצה, אך ההפך אינו נכון תמיד, כפי שמראה הדוגמה שלמעלה.

שאלות נפוצות

האם 1 וכל מספר זרים זה לזה?

כן. המספר 1 אינו חולק אף גורם הגדול מ-1 עם שום מספר שלם, ולכן 1 זר לכל מספר שלם, כולל לעצמו.

האם מספרים זרים חייבים להיות ראשוניים?

לא. מספרים זרים יכולים להיות פריקים. 8 ו-15 שניהם פריקים, ובכל זאת הם זרים, משום שאין להם גורם משותף מלבד 1.

האם שני מספרים ראשוניים שונים תמיד זרים זה לזה?

כן. לשני מספרים ראשוניים שונים אין גורם משותף מלבד 1, ולכן כל שני מספרים ראשוניים שונים זרים זה לזה.

האם מספרים שליליים יכולים להיות זרים?

זרות מוגדרת בדרך כלל עבור מספרים שלמים חיוביים. המחשבון הזה מקבל מספרים שלמים חיוביים החל מ-1.

מה ההבדל בין GCD לבין זרות?

ה-GCD הוא המספר הגדול ביותר שמחלק את כל הקלטים. "זרים" הוא המקרה הפרטי שבו ה-GCD הזה שווה ל-1.