מחשבון להמרת רווח בר-סמך לסטיית תקן

מחשבון זה ממיר רווח סמך מדווח בחזרה לשגיאת תקן ולסטיית תקן. הוא זקוק לשני גבולות הרווח, לגודל המדגם ולרמת הסמך. מאמרים מדווחים לעיתים קרובות על ממוצע עם רווח הסמך שלו, אך משמיטים את סטיית התקן, הנדרשת למטה־אנליזה ולחישובי עוצמה.

מה עושה המחשבון

רווח סמך לממוצע נבנה בדרך כלל כך:

$CI = m \pm Z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

כאשר CI הוא רווח הסמך, m הוא האומדן המדווח, Z הוא הערך הקריטי, σ היא סטיית התקן ו-n הוא גודל המדגם.

החלק שאחרי הסימן ± הוא שולי הטעות. הוא שווה לערך הקריטי Z כפול שגיאת התקן. מכיוון שהרווח סימטרי, מחצית הרוחב שלו היא שולי הטעות. היפוך הנוסחה מחזיר את שגיאת התקן, ולאחר מכן את סטיית התקן.

נוסחה

$w = u - l$

$SE = \frac{w}{2 \times Z}$

$\sigma = SE \times \sqrt{n}$

כאן w הוא רוחב רווח הסמך, u הוא החסם העליון ו-l הוא החסם התחתון. SE היא שגיאת התקן של הממוצע. σ היא סטיית התקן. Z הוא הערך הקריטי הדו-צדדי של ההתפלגות הנורמלית התקנית עבור רמת הסמך.

ערכים קריטיים

עבור כל רמה אחרת, Z הוא הערך שמותיר מחצית מההסתברות הנותרת בכל זנב. המחשבון מחשב אותו עבור כל רמה שהוזנה.

דוגמה פתורה

מחקר מדווח על הפרש בין הממוצעים בגודל −2.6 עם רווח סמך של 95%, הנע בין −5.2 ל־−0.01, על סמך 78 משתתפים.

1. רוחב = −0.01 − (−5.2) = 5.19
2. Z עבור רמת סמך של 95% = 1.96
3. SE = 5.19 ÷ (2 × 1.96) = 1.324
4. σ = 1.324 × √78 = 1.324 × 8.832 = 11.69

סטיית התקן היא בערך 11.69.

מתי שיטה זו היא קירוב

הנוסחה מניחה שהרווח סימטרי סביב האומדן ושהוא נבנה מההתפלגות הנורמלית. שני מצבים מפרים הנחה זו.

במדגמים קטנים משתמשים לעיתים קרובות בהתפלגות t במקום בהתפלגות הנורמלית. הערך הקריטי של t גדול יותר, ולכן שימוש ב־Z מוביל לאומדן חסר במקצת של סטיית התקן. הפער מצטמצם ככל שהמדגם גדל, והוא קטן מעל בערך 30 תצפיות.

רווחי סמך ליחסים, כגון יחסי סיכויים או יחסי סיכונים, סימטריים בסולם הלוגריתמי ולא בסולם המקורי. יש להמיר את הגבולות באמצעות לוגריתמים לפני שהנוסחה הזו חלה.

אם אומדן הנקודה אינו נמצא בנקודת האמצע של הרווח, המחשבון מסמן את הרווח כא־סימטרי ויש להתייחס לתוצאה כאומדן.

שאלות נפוצות

מה ההבדל בין שגיאת תקן לסטיית תקן?

סטיית התקן מתארת עד כמה הערכים הבודדים מפוזרים. שגיאת התקן מתארת באיזו מידת דיוק הממוצע ידוע. הן קשורות זו לזו באמצעות SE = σ / √n, ולכן שגיאת התקן קטנה ככל שהמדגם גדל, בעוד שסטיית התקן אינה משתנה כך.

מדוע מחלקים ב־2Z במקום ב־Z?

הרוחב המלא כולל את שני הצדדים של האומדן. שולי הטעות הם מחצית הרוחב, ולכן מחלקים את חצי הרוחב ב־Z, וזה שקול לחלוקת הרוחב המלא ב־2Z.

האם אפשר להשתמש בזה עם רווח המבוסס על t?

כן, אך יש להחליף את Z בערך הקריטי של t עבור n − 1 דרגות חופש. שימוש ב־Z במדגם קטן נותן סטיית תקן נמוכה במקצת.

מה אם מדווחים רק על שולי הטעות?

מכפילים אותה בשתיים כדי לקבל את הרוחב, ואז פועלים לפי אותם שלבים.

האם אומדן הנקודה משנה את התשובה?

לא. רק הרוחב, רמת הסמך וגודל המדגם נכנסים לנוסחה. האומדן משמש לבדיקה אם הרווח סימטרי.