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वैज्ञानिक कैलकुलेटर: घात, मूल, लघुगणक और त्रिकोणमिति

डिग्री या रेडियन में घात, मूल, लॉग और ln, साइन, कोसाइन और टैंजेंट, फैक्टोरियल, प्रतिशत और मेमोरी वाला ऑनलाइन वैज्ञानिक कैलकुलेटर।

Scientific Calculator

Evaluates a typed or tapped expression with the usual order of operations, including powers, roots, logarithms, trigonometry and factorials.

Use + - * / for arithmetic, ^ for powers, ! for factorial and % for percent.

Type an expression or use the keypad to see a result.

Keypad

How this calculator reads an expression

Percent divides by 100 wherever it appears, so 100+10% is 100.1, not 110. Powers group from the right: 2^3^2 is 2^9, which is 512. A minus sign in front of a power is applied last, so -2^2 is -4. Two things written side by side are multiplied, and that multiplication ranks with division, so both are read left to right: 1/2pi means (1/2) times pi, and 6/2(1+2) is 9. Some scientific calculators read 1/2pi the other way, as 1/(2 times pi), so use brackets when the meaning matters. In Degrees mode the tangent is refused at 90 degrees and every odd multiple of it, because it has no value there.

History

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लोडिंग कैलकुलेटर...
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दस्तावेज़ीकरण

वैज्ञानिक कैलकुलेटर

वैज्ञानिक कैलकुलेटर लिखे गए गणितीय व्यंजक का मान निकालता है। यह कैलकुलेटर घात, मूल, लघुगणक, त्रिकोणमिति, भाज्य और प्रतिशत पढ़ता है, संक्रियाओं का मानक क्रम लागू करता है और एक उत्तर देता है।

कैलकुलेटर क्या करता है

व्यंजक को Expression बॉक्स में टाइप किया जाता है या कीपैड से बनाया जाता है। व्यंजक बदलते ही कैलकुलेटर उसे पढ़ लेता है, इसलिए उत्तर देखने के लिए बराबर की कुंजी की आवश्यकता नहीं होती। = कुंजी इसके बजाय गणना को इतिहास सूची में जोड़ती है।

यह स्वीकार करता है:

  • अंक, दशमलव बिंदु और घातांकीय रूप में लिखी संख्याएँ, जैसे 1.5e-3;
  • संकारक +, -, *, / और ^ (घात), साथ ही कोष्ठक;
  • स्थिरांक pi और e;
  • फलन sin, cos, tan, asin, acos, atan, log, ln, sqrt और cbrt;
  • पश्च-प्रत्यय चिह्न ! (भाज्य) और % (प्रतिशत)।

कीपैड के चिह्नों को उनके साधारण समतुल्यों में बदला जाता है, इसलिए ×, ÷, − और π का वही अर्थ है जो *, /, - और pi का है।

log आधार 10 का लघुगणक है और ln प्राकृतिक लघुगणक, अर्थात् आधार e का लघुगणक है। TI और Casio के वैज्ञानिक कैलकुलेटरों पर तथा NIST Digital Library of Mathematical Functions के खंड 4.2 में यही नामकरण प्रयोग किया गया है।

संक्रियाओं का क्रम

किसी व्यंजक का अर्थ तय करने वाला नियम संक्रियाओं का क्रम है। यह कैलकुलेटर नीचे दिए गए व्याकरण का उपयोग करता है। प्रत्येक पंक्ति अपने नीचे वाली पंक्ति को बुलाती है, इसलिए यह क्रम-निर्धारण सारणी है: अंतिम पंक्ति सबसे कसी हुई तरह जुड़ती है और पहले निकाली जाती है।

1expression := term (('+' | '-') term)*
2term       := unary (('*' | '/' | juxtaposition) unary)*
3unary      := ('-' | '+') unary | power
4power      := postfix ('^' unary)?
5postfix    := primary ('!' | '%')*
6primary    := number | constant | name '(' expression ')' | '(' expression ')'
7

सूची के रूप में, पहले निकाली जाने वाली से आखिरी तक:

  1. कोष्ठकों के भीतर की कोई भी चीज़ और कोष्ठकों पर लागू किया गया फलन;
  2. ! और %;
  3. ^;
  4. आरंभिक - या + चिह्न;
  5. *, / और साथ-साथ लिखी गई दो चीज़ें;
  6. + और -।

इससे बनने वाली परंपराएँ ISO 80000-2:2019 और Wikipedia के "Order of operations" लेख से मेल खाती हैं:

लिखित रूपइसका अर्थ पढ़ा जाता हैमान
2^3^22^(3^2)512
-2^2-(2^2)-4
2^-22^(-2)0.25
2^3!2^(3!)64
100+10%100 + (10/100)100.1
1/2pi(1/2) * pi1.57079632679
6/2(1+2)(6/2) * (1+2)9

साथ-साथ लिखी गई दो संख्याओं या नामों का गुणा किया जाता है; इसी से 2pi, 2(3+4) और 3sin(30) काम करते हैं। यह छिपा हुआ गुणा * और / के समान क्रम पर होता है, इसलिए साथ-साथ लिखे पद और भाग को बाएँ से दाएँ पढ़ा जाता है। कई हाथ में पकड़े जाने वाले वैज्ञानिक कैलकुलेटर साथ-साथ लिखे पद को भाग से अधिक प्राथमिकता देते हैं और 1/2pi को 1/(2*pi) पढ़ते हैं, जिससे अलग उत्तर मिलता है। Wikipedia "Calculator input methods" में इस मतभेद का वर्णन करता है। जहाँ यह अंतर मायने रखता हो, वहाँ कोष्ठक स्थिति स्पष्ट कर देते हैं।

% जहाँ भी हो, वहाँ 100 से भाग देता है। इसलिए 20% का मान 0.2 है और 200*15% का मान 30 है। यह दुकान के कैश रजिस्टर की "चल रहे कुल का प्रतिशत" कुंजी नहीं है और न ही यह शेषफल संकारक है।

हल किया गया उदाहरण

Degrees मोड में व्यंजक sin(30)+2^3*ln(4) का मान इस क्रम में निकाला जाता है:

  1. sin(30) का मान 0.5 है, क्योंकि 30 डिग्री समकोण का आधा है और इसकी ज्या आधी होती है।
  2. 2^3 का मान 8 है। गुणा से पहले घात निकाली जाती है।
  3. ln(4) का मान 1.38629436112 है।
  4. 8 * 1.38629436112 का मान 11.090354889 है।
  5. 0.5 + 11.090354889 का मान 11.590354889 है।

कैलकुलेटर 11.590354889 दिखाता है।

दूसरा उदाहरण बाएँ से दाएँ के नियम को दिखाता है। 6/2(1+2) में पहले कोष्ठक निकाला जाता है, जिससे 6/2*3 मिलता है। भाग और छिपे हुए गुणा का क्रम समान है, इसलिए पहले भाग किया जाता है: 6/2 का मान 3 है और 3*3 का मान 9 है।

डिग्री और रेडियन

कोण की इकाई की सेटिंग तय करती है कि sin, cos और tan अपने इनपुट को कैसे पढ़ें और asin, acos और atan किस इकाई में परिणाम दें। Degrees मोड में एक पूरा चक्कर 360 होता है। Radians मोड में एक पूरा चक्कर 2pi, यानी लगभग 6.28318530718 होता है। दोनों मोड में एक ही व्यंजक से बहुत अलग उत्तर मिल सकते हैं: sin(30) का मान Degrees मोड में 0.5 और Radians मोड में -0.988031624093 है।

संख्याएँ कैसे संग्रहीत और प्रदर्शित की जाती हैं

प्रत्येक मान IEEE 754 binary64 double होता है; यह ECMA-262, ECMAScript Language Specification के खंड 6.1.6.1 में वर्णित संख्या-प्रकार है। एक double लगभग 15 से 17 दशमलव अंक रखता है। स्क्रीन के लिए उत्तर को केवल एक बार 12 सार्थक अंकों तक पूर्णांकित किया जाता है। 0.000001 से छोटे या 10,00,00,00,00,000 के बराबर अथवा बड़े मान घातांकीय रूप में दिखाए जाते हैं, इसलिए 0.0000001 को 1E-7 के रूप में पढ़ा जाता है।

संग्रहीत संख्या पूरी परिशुद्धता रखती है। मेमोरी स्क्रीन पर दिखने वाले 12 अंकों को नहीं, बल्कि सटीक परिणाम को संग्रहीत करती है और MR उस संख्या के समान मान देने वाला सबसे छोटा पाठ वापस चिपकाता है। ऋणात्मक मेमोरी मान को कोष्ठक में चिपकाया जाता है, इसलिए 2 के बाद उसे वापस लेने पर वह घटाव के बजाय गुणा के रूप में पढ़ा जाता है।

किसी भी निर्णय के लिए पूर्णांकन का उपयोग नहीं किया जाता। पहले की गणना से बचा हुआ बहुत छोटा मान वास्तविक संख्या होता है और उसी रूप में लिया जाता है। 0.1*3-0.3 बाइनरी में शून्य नहीं है; यह लगभग 5.55111512313E-17 है, इसलिए 5/(0.1*3-0.3) का मान शून्य से भाग देने का संदेश आने के बजाय 9.00719925474E16 होता है।

इसी कारण Degrees मोड में sin(180), 1.22464679915E-16 दिखाता है, 0 नहीं। वहाँ त्रुटि दस हजार करोड़ करोड़ में लगभग एक भाग की है और इतनी ही छोटी रहती है। स्पर्शज्या इसका अपवाद है, जिसका प्रबंधन नीचे किया गया है।

कैलकुलेटर किन चीजों को अस्वीकार करता है

इन स्थितियों में कैलकुलेटर उत्तर के बजाय संदेश दिखाता है:

  • हर का मान ठीक शून्य हो, जिसमें double के लिए बहुत छोटी लिखित संख्या भी शामिल है, जैसे 1e-400, जो पढ़े जाते ही शून्य हो जाती है;
  • sqrt को ऋणात्मक संख्या दी गई हो;
  • log या ln को ऐसी संख्या दी गई हो जो शून्य से बड़ी न हो;
  • asin या acos को -1 से 1 के बाहर की संख्या दी गई हो; यही परास NIST DLMF के खंड 4.14 में दिया गया है;
  • tan का उपयोग 90 डिग्री या उसके किसी विषम गुणज पर किया गया हो, जहाँ इसका कोई मान नहीं होता;
  • शून्य से 0 से 170 तक की पूर्ण संख्या के अलावा किसी अन्य चीज़ का भाज्य माँगा गया हो;
  • किसी संख्या में दूसरा दशमलव बिंदु हो, जैसे 1.2.3;
  • व्यंजक 512 वर्णों से लंबा हो।

170 की सीमा संख्या-प्रकार की विशेषता है, कोई पसंद नहीं: 170 का भाज्य लगभग 7.25741561531E306 है, जो अभी भी double में समा जाता है, जबकि 171 का भाज्य नहीं समाता। 512 वर्णों की सीमा कोड में जाँची जाती है, क्योंकि व्यंजक की लंबाई ही तय करती है कि कैलकुलेटर कितना काम करेगा।

स्पर्शज्या की जाँच कोण को परखने से पहले 9 दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करती है। इससे पहले की गणनाओं से आया विचलन वापस सटीक अनंतस्पर्शी पर आ जाता है, लेकिन दोनों ओर लगभग 5e-10 डिग्री चौड़ी अस्वीकृति-सीमा बनती है। tan(89.9999999994) का परिणाम 95,49,35,92,025 है, जबकि tan(89.9999999995) अस्वीकार कर दिया जाता है। Radians मोड में ऐसी कोई जाँच नहीं होती, क्योंकि pi के आधे के पास टाइप किया गया रेडियन मान किसी विशेष स्थिति वाला नहीं, बल्कि एक सामान्य संख्या है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यहाँ % कुंजी क्या करती है? जहाँ भी यह आती है, वहाँ यह 100 से भाग देती है। 100+10% का मान 100.1 है, क्योंकि इसका अर्थ 100 और 0.1 का जोड़ है। यह इससे पहले आए मान का प्रतिशत नहीं निकालती।

2^3^2 का मान 64 है या 512? 512. घात दाएँ से समूहित होती हैं, इसलिए इसका अर्थ 2^(3^2) है, जिसका मान 2^9 है। यह ISO 80000-2:2019 का अनुसरण करता है।

6/2(1+2) का मान 9 क्यों है, 1 क्यों नहीं? छिपे हुए गुणा का क्रम भाग के समान है और समान क्रम वाली संक्रियाएँ बाएँ से दाएँ पढ़ी जाती हैं। जो कैलकुलेटर साथ-साथ लिखे पद को अधिक प्राथमिकता देते हैं, उनका उत्तर 1 आता है। कोष्ठक संदेह दूर कर देते हैं।

sin(180) में 0 क्यों नहीं दिखता? क्योंकि 180 डिग्री को पहले रेडियन में बदला जाता है और pi को बाइनरी में ठीक-ठीक नहीं लिखा जा सकता। परिणाम लगभग 1.2e-16 है, जो मशीन द्वारा वास्तव में प्रयुक्त संख्या की ज्या का सही मान है।

log और ln में क्या अंतर है? log का आधार 10 है, इसलिए log(1000) का मान 3 है। ln का आधार e है, इसलिए ln(e) का मान 1 है। कीपैड के लेबल TI और Casio के वैज्ञानिक कैलकुलेटरों वाली इसी परंपरा का पालन करते हैं।

170 से बड़ा भाज्य क्यों अस्वीकार कर दिया जाता है? 171 का भाज्य उस अधिकतम संख्या से बड़ा है जिसे double रख सकता है, इसलिए उत्तर संख्या के बजाय अनंत होता। निरर्थक परिणाम दिखाने के बजाय कैलकुलेटर यही बताता है।

स्रोत

  • IEEE 754-2019, फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के लिए IEEE मानक।
  • ECMA-262, ECMAScript Language Specification, खंड 6.1.6.1, "The Number Type".
  • ISO 80000-2:2019, मात्राएँ और इकाइयाँ, भाग 2: गणितीय चिह्न और प्रतीक।
  • NIST Digital Library of Mathematical Functions, खंड 4.2 और 4.14।
  • Wikipedia, "Order of operations".
  • विकिपीडिया, "कैलकुलेटर में इनपुट की विधियाँ"।