इकाई वृत्त कैलकुलेटर: सटीक साइन, कोसाइन और टैन्जेंट
डिग्री या रेडियन में कोण दर्ज करें और इकाई वृत्त पर उसका बिंदु, साइन, कोसाइन, टैन्जेंट, संदर्भ कोण और चतुर्थांश प्राप्त करें। मानक कोणों के सटीक मान।
Unit Circle Calculator
Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.
Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)
Sine, cosine and tangent
cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.
Where it lands
Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad
The angle
Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
लोडिंग कैलकुलेटर...
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दस्तावेज़ीकरण
इकाई वृत्त कैलकुलेटर
इकाई वृत्त वह वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 है और जिसका केंद्र ग्राफ का मूलबिंदु है। इकाई वृत्त कैलकुलेटर एक कोण लेकर यह बताता है कि उसकी किरण वृत्त को कहाँ प्रतिच्छेद करती है: प्रतिच्छेद बिंदु (x, y), साइन, कोसाइन और टैन्जेंट, संदर्भ कोण तथा चतुर्थांश। यह पृष्ठ कोण को डिग्री या रेडियन में पढ़ता है और सोलह मानक कोणों पर √3/2 जैसे सटीक मान देता है।
कैलकुलेटर क्या करता है
उपयोगकर्ता एक कोण दर्ज करता है और डिग्री या रेडियन चुनता है। पृष्ठ यह देता है:
- वह बिंदु (x, y) जहाँ कोण वृत्त को काटता है
- cos θ, sin θ और tan θ
- संदर्भ कोण, डिग्री और रेडियन दोनों में
- चतुर्थांश, या कोण के किसी अक्ष पर पड़ने पर वह अक्ष
- कोण दोनों इकाइयों में, तथा उसी कोण को एक पूर्ण चक्कर में समेटकर
सोलह मानक कोणों पर उत्तर सटीक बंद रूपों में छापे जाते हैं और उनके नीचे दशमलव दिखाए जाते हैं। किसी अन्य कोण को आठ सार्थक अंकों तक दिखाया जाता है। केवल प्रदर्शन को पूर्णांकित किया जाता है।
इकाई वृत्त का सूत्र
कोणों को धनात्मक x-अक्ष से घड़ी की सुई की विपरीत दिशा में मापा जाता है। θ कोण पर खींची गई किरण वृत्त को एक बिंदु पर काटती है, और उस बिंदु के दो निर्देशांक कोज्या और ज्या होते हैं:
जहाँ क्षैतिज निर्देशांक, ऊर्ध्वाधर निर्देशांक और कोण है।
त्रिज्या 1 है, इसलिए निर्देशांक और दोनों फलन-मान दो नामों के अंतर्गत संख्याओं की वही जोड़ी हैं। इसी कारण वृत्त की त्रिज्या 1 रखी जाती है, किसी अन्य आकार की नहीं। स्पर्शज्या का मान भी इसी जोड़ी से निर्धारित होता है:
वृत्त का प्रत्येक बिंदु उस समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय को भी संतुष्ट करता है, जिसकी भुजाएँ और तथा कर्ण 1 है:
डिग्री और रेडियन
पृष्ठ दोनों में से किसी भी इकाई को स्वीकार करता है और दोनों में परिणाम देता है। दोनों का संबंध इस प्रकार है कि आधा चक्कर π रेडियन के बराबर होता है:
\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ जहाँ $\theta_{\mathrm{deg}}$ डिग्री में कोण है और $\theta_{\mathrm{rad}}$ उसी कोण का रेडियन में मान है। ### एक पूर्ण चक्कर में समेटना कोण ऋणात्मक हो सकता है और एक पूरे चक्कर से आगे जा सकता है। वृत्त पर बिंदु प्रत्येक 360° पर दोहरता है, इसलिए पृष्ठ पहले कोण को 0° से लेकर, लेकिन 360° से कम, सीमा में समेटता है: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ जहाँ $\theta$ दर्ज किया गया कोण डिग्री में है और $\theta_0$ उसी दिशा को एक चक्कर के भीतर लिखने का रूप है। 750° को समेटने पर 30° मिलता है और −30° को समेटने पर 330°। यह समेटना डिग्री में किया जाता है, जहाँ शेषफल सटीक होता है। ### संदर्भ कोण और चतुर्थांश संदर्भ कोण किरण तथा x-अक्ष के बीच बनने वाला न्यून कोण है। यह कभी भी 90° से अधिक नहीं होता: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{अन्यथा} \end{cases}$$ जहाँ $\theta_0$ डिग्री में समेटा गया कोण है। साइन, कोसाइन और टैन्जेंट के मान केवल संदर्भ कोण पर निर्भर करते हैं। उनके चिह्न चतुर्थांश से निर्धारित होते हैं। | चतुर्थांश | समेटा गया कोण | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | 0° से 90° तक | + | + | + | | II | 90° से 180° तक | − | + | − | | III | 180° से 270° तक | − | − | + | | IV | 270° से 360° तक | + | − | − | 0°, 90°, 180° और 270° के कोण किसी अक्ष पर स्थित होते हैं। चतुर्थांश दो अक्षों के बीच का खुला क्षेत्र होता है, इसलिए इन चार में से कोई भी उसके भीतर नहीं आता और पृष्ठ पड़ोसी चतुर्थांश चुनने के बजाय अक्ष का नाम देता है। ### सोलह मानक कोण पाँच संदर्भ कोण सटीक बंद रूप देते हैं। | संदर्भ कोण | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | अपरिभाषित | इन पंक्तियों को अन्य तीन चतुर्थांशों में प्रतिबिंबित करने पर सोलह कोण मिलते हैं: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 और 330 डिग्री। पृष्ठ तालिका को चार बार लिखने के बजाय प्रथम चतुर्थांश के बिंदुओं को एक बार में एक-चौथाई चक्कर घुमाकर इन्हें बनाता है, क्योंकि गलत चिह्न प्रायः दोबारा लिखने के दौरान आता है। 15°, 75° और 105° के भी बंद रूप होते हैं, लेकिन वे 2 − √3 जैसे दो-पद वाले रूप हैं। वे इस परिवार से बाहर आते हैं और उनके उत्तर दशमलव में दिए जाते हैं। 15° पर cos 0.96592583, sin 0.25881905 और tan 0.26794919 मिलता है। ### उदाहरण: 210 डिग्री 210° 180° से अधिक और 270° से कम है, इसलिए यह चतुर्थांश III में आता है। इसमें से 180 घटाने पर संदर्भ कोण 30° बचता है। 30° के संदर्भ कोण पर तीनों परिमाण √3/2, 1/2 और √3/3 होते हैं। चतुर्थांश III दोनों निर्देशांकों को ऋणात्मक बनाता है, इसलिए बिंदु (−√3/2, −1/2) है। स्पर्शज्या ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, इसलिए √3/3 पर वह धनात्मक रहती है। रेडियन में कोण 7π/6 और संदर्भ कोण π/6 है। दशमलव में पृष्ठ cos −0.8660254, sin −0.5 और tan 0.57735027 दिखाता है। 570° और −150° के उत्तर समान होते हैं, क्योंकि दोनों को समेटने पर 210° मिलता है। ### कौन-से स्थिरांक सटीक माने जाते हैं | स्थिरांक | मान | सटीक? | स्रोत | |---|---|---|---| | एक चक्कर में डिग्री | 360 | परिभाषा के अनुसार सटीक | ISO 80000-3 | | एक चक्कर में रेडियन | 2π | परिभाषा के अनुसार सटीक | ISO 80000-3; SI पुस्तिका | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | सटीक | NIST DLMF §4.14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | सटीक | NIST DLMF §4.14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | सटीक | NIST DLMF §4.14 | | tan 90°, tan 270° | कोई मान नहीं | सटीक, एक ध्रुव | NIST DLMF §4.15 | π अपरिमेय है, इसलिए इसका कोई सटीक दशमलव या बाइनरी रूप नहीं होता और इसका संग्रहीत मान पूर्णांकित होता है। पृष्ठ दो तरीकों से इस पूर्णांकन को अपने उत्तरों से दूर रखता है। समेटना डिग्री में किया जाता है, जहाँ 360 बिना शेषफल के विभाजित होता है। और मानक कोणों को ऊपर दिए गए बंद रूपों की तालिका से पढ़ा जाता है, फ्लोटिंग-पॉइंट ज्या से कभी नहीं। ### रेडियन में दर्ज कोण को पढ़ना रेडियन में दर्ज मान पहले से ही पूर्णांकित दशमलव होता है। π/2 को 1.5707963267948966 के रूप में दर्ज किया जाता है, और इसे वापस बदलने पर कोण 90° से लगभग एक दस-खरबवाँ डिग्री दूर मिलता है, ठीक 90° नहीं। इसलिए पृष्ठ किसी मानक कोण से एक डिग्री के दस लाखवें भाग के भीतर आने वाले कोण को उसी मानक कोण के रूप में पढ़ता है। सहनशीलता यह चुनती है कि कौन-सी तालिका उपयोग होगी; यह उत्तर को कभी विस्तृत नहीं करती। 30.001° को 30° नहीं बनाया जाता। एक अरब डिग्री से अधिक के कोण अस्वीकार कर दिए जाते हैं। यह सीमा अंकगणित की है, ज्यामिति की नहीं: कंप्यूटर जिन संख्याओं को संग्रहीत कर सकता है, उनके बीच का अंतर उनके आकार के साथ बढ़ता है और लगभग साढ़े चार अरब डिग्री के बाद यह अंतर डिग्री के दस लाखवें भाग की सहनशीलता से अधिक चौड़ा हो जाता है। तब समेटने में कोण का नाम बताने के लिए पर्याप्त विवरण नहीं बचता। एक अरब की सीमा उस बिंदु से नीचे पर्याप्त अंतर रखती है। ### अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न **इकाई वृत्त का उपयोग किस लिए किया जाता है?** यह ज्या और कोज्या को निर्देशांकों में बदल देता है। वृत्त से एक बिंदु पढ़ने पर दोनों मान एक साथ मिल जाते हैं, और चित्र दिखाता है कि वे प्रत्येक पूरे चक्कर पर क्यों दोहरते हैं तथा एक चतुर्थांश से अगले चतुर्थांश में उनके चिह्न क्यों बदलते हैं। **sin 30° का सटीक मान क्या है?** आधा। cos 30° का मान √3/2, लगभग 0.8660254, और tan 30° का मान √3/3, लगभग 0.57735027 है। **tan 90° अपरिभाषित क्यों है?** स्पर्शज्या ज्या को कोज्या से भाग देने पर मिलती है और cos 90° 0 है। शून्य से भाग देने का कोई उत्तर नहीं होता। पृष्ठ ध्रुव का पता यह देखकर लगाता है कि कोण कौन-सा है, न कि यह जाँचकर कि गणना की गई स्पर्शज्या का मान बहुत बड़ा आया या नहीं, क्योंकि 90° से ठीक पहले की तीव्र स्पर्शज्या एक साधारण संख्या होती है। **संदर्भ कोण क्या होता है?** यह किरण और x-अक्ष के बीच का न्यून कोण होता है, इसलिए यह हमेशा 0° और 90° के बीच रहता है। 150°, 210° और 330° सभी का संदर्भ कोण 30° होता है, इसलिए उनकी ज्या और कोज्या के तीनों परिमाण समान होते हैं और केवल चिह्न अलग होते हैं। **क्या ऋणात्मक कोण काम करता है?** हाँ। ऋणात्मक कोण घड़ी की दिशा में घूमता है। −30° की दिशा 330° जैसी ही होती है, इसलिए पृष्ठ बिंदु (√3/2, −1/2) और चतुर्थांश IV देता है। **पृष्ठ कोण को दो बार क्यों दिखाता है?** 750° और 30° वृत्त को एक ही बिंदु पर काटते हैं, लेकिन वे एक ही घूर्णन नहीं हैं। पृष्ठ दर्ज किए गए कोण को दूसरी इकाई में बदलकर दोहराता है और उसके पास समेटा हुआ कोण दिखाता है।