Kalkulator Kvadratnih Jednadžbi - Izračunaj Korijene ax² + bx + c = 0

Što je kvadratna jednadžba?

Kvadratna jednadžba jednadžba je oblika $ax^2 + bx + c = 0$, gdje su $a$, $b$ i $c$ brojevi, a $a$ nije nula. Rješavač kvadratnih jednadžbi na ovoj stranici pronalazi vrijednost ili vrijednosti za $x$ koje jednadžbu čine istinitom, koristeći koeficijente $a$, $b$ i $c$ koje korisnik unese.

Kada bi $a$ bilo nula, član $x^2$ nestao bi i jednadžba bi postala linearna umjesto kvadratna. Zato kalkulator zahtijeva $a \neq 0$ i prikazuje pogrešku ako je $a = 0$.

Kvadratna formula

Svaka kvadratna jednadžba oblika $ax^2 + bx + c = 0$ može se riješiti kvadratnom formulom:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Znak $\pm$ označava dva odvojena izračuna, jedan sa znakom plus, a drugi sa znakom minus. Zato kvadratna jednadžba može imati dva različita rješenja.

Izraz ispod kvadratnog korijena, $b^2 - 4ac$, naziva se diskriminanta. Obično se zapisuje kao $\Delta$ (grčko slovo delta). Sama diskriminanta govori koliko jednadžba ima realnih rješenja, prije nego što se obavi ostatak izračuna.

Kako izračunati korijene

1. Zapišite jednadžbu u standardnom obliku, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Odredite koeficijente $a$, $b$ i $c$.
3. Izračunajte diskriminantu: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Ako je $\Delta$ pozitivan, izračunajte oba korijena pomoću izraza $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Ako je $\Delta$ nula, izračunajte jedini korijen pomoću izraza $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Ako je $\Delta$ negativan, jednadžba nema realnih korijena jer negativan broj nema realan kvadratni korijen.

Kalkulator na ovoj stranici automatski izvodi te korake. Prihvaća koeficijente između $-10^{10}$ i $10^{10}$ te zaokružuje rezultate na odabrani broj decimalnih mjesta, od 0 do 10.

Što znači diskriminanta

Ovaj kalkulator prikazuje „nema realnih korijena” kada je $\Delta$ negativan. Ne izračunava kompleksne korijene (brojeve koji uključuju $i = \sqrt{-1}$).

Primjer s izračunom

Riješite $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Ovdje je $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Najprije pronađite diskriminantu:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Budući da je $\Delta$ pozitivan, jednadžba ima dva realna korijena:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

To se može provjeriti faktorizacijom: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, što je jednako nuli kada je $x = -2$ ili $x = -3$.

Drugi primjer pokazuje negativnu diskriminantu. Za $x^2 + x + 1 = 0$ vrijedi $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$, pa je $\Delta = 1 - 4 = -3$. Budući da je $\Delta$ negativan, jednadžba nema realnih korijena.

Parabola, vrh i os simetrije

Graf funkcije $f(x) = ax^2 + bx + c$ krivulja je koja se naziva parabola. Ako je $a$ pozitivan, parabola je otvorena prema gore i ima najnižu točku. Ako je $a$ negativan, otvorena je prema dolje i ima najvišu točku. Ta najniža ili najviša točka jest vrh.

Vrh se nalazi u točki:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Okomita pravac kroz vrh, $x = -\dfrac{b}{2a}$, naziva se os simetrije jer se dvije polovice parabole zrcale jedna preko druge s obzirom na nju. Realni korijeni jednadžbe točke su u kojima parabola presijeca os x, pa se nalaze s obje strane osi simetrije, na jednakoj udaljenosti od nje.

Kalkulator iscrtava tu parabolu pokraj rezultata. Na krivulji označava vrh i sve realne korijene te po potrebi proširuje prikazani raspon kako bi svaki korijen ostao vidljiv.

Gdje se upotrebljavaju kvadratne jednadžbe

Kvadratne jednadžbe opisuju mnoge stvarne situacije. U fizici visina bačenog tijela tijekom vremena slijedi jednadžbu $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, a njezino rješavanje po $t$ daje vrijeme kada tijelo pada na tlo. U inženjerstvu se parabolični oblici pojavljuju u satelitskim antenama i kabelima mostova zbog načina na koji usmjeravaju ili raspoređuju silu. U računalnoj grafici programi za trasiranje zraka rješavaju kvadratne jednadžbe kako bi pronašli gdje pravac presijeca kuglu.

Kratka povijest

Babilonski matematičari rješavali su konkretne kvadratne probleme oko 2000. pr. Kr. geometrijskim metodama, a ne algebrom. Grčki matematičari poput Euklida također su kvadratne probleme obrađivali geometrijski. Oko 600. godine indijski matematičar Brahmagupta dao je eksplicitnu formulu za korijene, uključujući negativna rješenja. Oko 800. godine perzijski matematičar al-Khwarizmi opisao je sustavne metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi u knjizi iz čijeg naslova potječe riječ „algebra”. Suvremeni simbolički oblik kvadratne formule ustalio se kasnije, razvojem algebarske notacije tijekom renesanse.

Često postavljana pitanja

Što se događa ako za koeficijent a unesem 0? Kalkulator prikazuje pogrešku jer $a = 0$ pretvara jednadžbu u linearnu jednadžbu, $bx + c = 0$, koja se rješava drukčije.

Zašto jednadžba ponekad nema realnih korijena? To se događa kada je diskriminanta, $b^2 - 4ac$, negativna. Negativan broj nema realan kvadratni korijen, pa formula ne može dati realnu vrijednost za $x$. Jednadžba i dalje ima dva kompleksna korijena, ali ovaj ih kalkulator ne izračunava.

Koja je razlika između korijena i rješenja? Nikakva. Obje riječi odnose se na vrijednost $x$ koja čini da jednadžba bude jednaka nuli. „Korijen” se odnosi na mjesto gdje graf susreće os x, a „rješenje” na algebru.

Koliko decimalnih mjesta mogu odabrati? Od 0 do 10. Za svakodnevne probleme obično su dovoljna dva ili tri decimalna mjesta.

Mogu li unijeti vrlo velike koeficijente? Koeficijenti moraju biti između $-10^{10}$ i $10^{10}$. Vrijednosti izvan tog raspona mogu uzrokovati pogreške zaokruživanja i odbacuju se.

Može li ovaj kalkulator pronaći kompleksne korijene? Ne. Kada je diskriminanta negativna, prikazuje „nema realnih korijena” umjesto da izračuna kompleksne brojeve.

Reference

1. Quadratic Equation – MathWorld
2. NIST Digitalna knjižnica matematičkih funkcija, §1.11, Algebra: kvadratna jednadžba