Калькулятор сберегательного плана: будущая стоимость

Калькулятор сберегательного плана

Калькулятор сберегательного плана оценивает, сколько будет стоить счёт сбережений или инвестиций через выбранное число лет. Он сочетает первоначальный разовый взнос с регулярным пополнением, вносимым ежемесячно, ежеквартально или ежегодно, и увеличивает оба компонента за счёт сложного процента.

Что делает калькулятор

Калькулятор использует семь входных параметров: первоначальный взнос, регулярное пополнение, периодичность пополнений (ежемесячно, ежеквартально или ежегодно), поступает ли каждое пополнение в начале или в конце периода, годовую процентную ставку, периодичность начисления сложного процента и число лет, в течение которых растёт сумма.

Он возвращает три показателя: будущую стоимость (конечный баланс), общую сумму пополнений (первоначальный взнос плюс все регулярные взносы) и общий начисленный процентный доход (разницу между ними). На графике показан баланс в конце каждого периода пополнения.

Первоначальный взнос может составлять от 0 $ до 1 $ триллиона, а пополнение — от 0 $ до 1 $ миллиарда за период. Процентная ставка может быть от 0 % до 100 %. Число лет должно быть больше 0 и не превышать 100. По крайней мере один из двух параметров — взнос или пополнение — должен быть больше 0 $.

Как рассчитать будущую стоимость сберегательного плана

Объединяются два стандартных результата, описанных в статьях Википедии «Будущая стоимость» и «Аннуитет».

Первоначальный взнос увеличивается только за счёт сложного процента:

FV(взнос) = P₀ × (1 + i)ˣ

Поток регулярных взносов увеличивается как аннуитет:

FV(пополнения) = PMT × (1 + i)ˣ⁻ᴺ × A

• P₀ — первоначальный взнос.
• PMT — регулярное пополнение.
• i — процентная ставка за один период пополнения.
• x — горизонт, измеряемый в периодах пополнения (годы × число периодов в год).
• N — фактическое число внесённых платежей.
• A — коэффициент аннуитета, то есть будущая стоимость суммы 1 $, вносимой в каждом периоде в течение N периодов.

Коэффициент аннуитета зависит от момента внесения платежей:

Взнос в начале каждого периода приносит процент в течение ещё одного периода — отсюда берётся дополнительный множитель (1 + i). При ставке 0 % коэффициент аннуитета равен N: взносы просто суммируются без прироста.

Будущая стоимость равна сумме этих двух частей. Общий процентный доход — это будущая стоимость за вычетом всех внесённых средств.

Когда периодичность начисления процентов отличается от периодичности пополнений

Проценты могут начисляться чаще или реже, чем вносятся платежи, например ежемесячно при ежеквартальных пополнениях. Калькулятор преобразует номинальную годовую ставку r, начисляемую n раз в год, в эффективную ставку за один период пополнения (см. статью Википедии «Эффективная процентная ставка»):

i = (1 + r/n)^(n/m) − 1

где m — число пополнений в год. При годовой ставке 5 %, начисляемой ежемесячно, и ежеквартальных пополнениях i = (1 + 0,05/12)³ − 1 ≈ 1,2552 % за квартал. Когда обе периодичности совпадают, i напрямую равна r/n.

Пример расчёта

План начинается с суммы 1 000 $, затем в начале каждого месяца в течение 10 лет добавляется 100 $ при годовой ставке 5 % с ежемесячным начислением процентов. Это значения калькулятора по умолчанию.

1. Число периодов в год m = 12, поэтому горизонт составляет x = 120 периодов, а число взносов N = 120.
2. Месячная ставка равна i = 0,05 / 12 ≈ 0,0041667.
3. Коэффициент роста: (1 + i)¹²⁰ ≈ 1,647009.
4. Первоначальный взнос: 1 000 $ × 1,647009 ≈ 1 647,01 $.
5. Коэффициент обычного аннуитета: (1,647009 − 1) / 0,0041667 ≈ 155,282279. Взносы поступают в начале каждого месяца, поэтому результат умножается на (1 + i): 155,929289.
6. Пополнения: 100 $ × 155,929289 ≈ 15 592,93 $.
7. Будущая стоимость: 1 647,01 $ + 15 592,93 $ = 17 239,94 $.

Общая сумма пополнений составляет 1 000 $ + 120 × 100 $ = 13 000 $, поэтому общий процентный доход равен 17 239,94 $ − 13 000 $ = 4 239,94 $. При том же плане, но с пополнениями в конце каждого месяца, будущая стоимость составляет 17 175,24 $, то есть примерно на 65 $ меньше.

Второй пример с пополнениями в конце месяца: первоначальный взнос 5 000 $, 200 $ в месяц, ставка 6 % с ежемесячным начислением процентов, срок 20 лет. Здесь (1,005)²⁴⁰ ≈ 3,310204, первоначальный взнос увеличивается до 16 551,02 $, коэффициент аннуитета равен 462,040895, а пополнения увеличиваются до 92 408,18 $. Будущая стоимость составляет 108 959,20 $: внесено 53 000 $, а процентный доход равен 55 959,20 $. Это совпадает с результатом калькулятора сложного процента Комиссии по ценным бумагам и биржам США на сайте investor.gov, с которым сверялся расчётный механизм инструмента.

Используемые калькулятором соглашения

По умолчанию взносы вносятся в начале периода. В большинстве реальных сберегательных планов средства списываются со счёта в начале каждого месяца, поэтому по умолчанию используется аннуитет с платежами в начале периода. Во многих учебниках и калькуляторах предполагается обычный аннуитет; настройка момента внесения позволяет переключаться между двумя вариантами.

При дробном числе лет число взносов определяется моментом их внесения. За 2,5 года при ежегодных пополнениях план с платежами в конце периода делает 2 взноса (оплачиваются только завершённые годы), а план с платежами в начале периода — 3 (каждый взнос вносится в начале соответствующего года). Каждый внесённый взнос и первоначальная сумма по-прежнему увеличиваются до точного горизонта, включая последний неполный период.

Результаты являются номинальными. Инфляция, налоги и комиссии не вычитаются. Будущая стоимость — это сумма, которую показала бы выписка по счёту, а не её покупательная способность.

Округление выполняется один раз, в конце. Будущая стоимость и общая сумма пополнений округляются до цента, а общий процентный доход вычисляется как их разность, поэтому три отображаемых показателя всегда складываются точно.

Часто задаваемые вопросы

Какова будущая стоимость сберегательного плана? Это баланс счёта в конце действия плана: первоначальный взнос и каждый регулярный взнос, увеличенные за счёт сложного процента с момента внесения до конца срока.

Имеет ли значение внесение средств в начале месяца? Да, но небольшое. Каждый взнос приносит процент ещё один период, поэтому часть баланса, образованная пополнениями, умножается на (1 + i). В примере по умолчанию разница за 10 лет составляет 64,70 $.

Почему периодичность начисления процентов меняет результат? При более частом начислении проценты зачисляются раньше, поэтому раньше начинают приносить новые проценты. Калькулятор учитывает это в эффективной ставке за период i = (1 + r/n)^(n/m) − 1, поэтому точно обрабатывается любое сочетание периодичности начисления процентов и пополнений.

Что происходит при процентной ставке 0 %? Будущая стоимость равна просто сумме всех внесённых средств. План по умолчанию при ставке 0 % заканчивается ровно на сумме 13 000 $, а процентный доход составляет 0 $.

Учитывает ли калькулятор инфляцию или налоги? Нет. Все результаты представляют собой номинальные суммы в долларах. Для оценки покупательной способности можно вместо этого ввести более низкую «реальную» ставку, но инструмент не принимает отрицательные ставки.

Почему общий процентный доход равен будущей стоимости за вычетом общей суммы пополнений? Процентный доход — это каждый доллар на счёте, который не был внесён. Поскольку взносы включены в общую сумму пополнений, оставшаяся часть будущей стоимости должна возникнуть за счёт начисления сложного процента.

Источники

1. "Future value." Википедия, https://en.wikipedia.org/wiki/Future_value.
2. "Annuity." Википедия, https://en.wikipedia.org/wiki/Annuity.
3. "Effective interest rate." Википедия, https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_interest_rate.
4. "Compound Interest Calculator." Комиссия по ценным бумагам и биржам США, Investor.gov, https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator.