Preskoči na vsebino
🛠️
Whiz Tools

Kalkulator enotske krožnice: točni sin, cos in tan

Vnesite kot v stopinjah ali radianih in pridobite njegovo točko na enotski krožnici, sinus, kosinus, tangens, referenčni kot in kvadrant. Točne vrednosti za standardne kote.

Unit Circle Calculator

Enter an angle in degrees or radians to get its point on the unit circle, its sine, cosine and tangent, its reference angle and its quadrant. The standard angles are answered exactly.

The angle to place on the circle, in the unit chosen below. Any value is allowed, including a negative one and one past a full turn.

Point on the circle (x, y)
(√3/2, 1/2)

Sine, cosine and tangent

cos θ (the x coordinate)
√3/2
sin θ (the y coordinate)
1/2
tan θ
√3/3
This is one of the sixteen standard angles, so the values are exact rather than rounded. As decimals: cos θ = 0.8660254, sin θ = 0.5, tan θ = 0.57735027.

Where it lands

Quadrant or axis
Quadrant I
Reference angle
30°
Reference angle in radians
π/6rad

The angle

Angle in degrees
30°
Angle in radians
0.52359878rad
Folded into one turn
30°
Folded angle in radians
π/6rad
The unit circle has radius 1 and is centred on the origin. A point on it is (cos θ, sin θ), so the coordinates and the two function values are the same pair of numbers. The tangent is sin θ divided by cos θ, which has no value where cos θ is 0.
Kalkulator nalaganja...
📚

Dokumentacija

Kalkulator enotske krožnice

Enotska krožnica je krožnica s polmerom 1, narisana okoli izhodišča grafa. Kalkulator enotske krožnice sprejme en kot in prikaže, kje se ta kot sreča s krožnico: točko (x, y), sinus, kosinus in tangens, referenčni kot ter kvadrant. Ta stran sprejme kot v stopinjah ali radianih in pri šestnajstih standardnih kotih poda eksaktne vrednosti, kot je √3/2.

Kaj počne kalkulator

Uporabnik vnese en kot in izbere stopinje ali radiane. Stran prikaže:

  • točko (x, y), kjer kot seka krožnico
  • cos θ, sin θ in tan θ
  • referenčni kot v stopinjah in radianih
  • kvadrant ali os, če kot pade nanjo
  • kot v obeh enotah ter isti kot, skrčen na en obrat

Pri šestnajstih standardnih kotih so odgovori izpisani v eksaktnih zaprtih oblikah, decimalke pa so prikazane spodaj. Vsak drug kot je prikazan z osmimi pomembnimi števkami. Zaokrožen je samo prikaz.

Formula enotske krožnice

Koti se merijo v nasprotni smeri urnega kazalca od pozitivne osi x. Žarek, narisan pod kotom θ, seka krožnico v eni točki, koordinati te točke pa sta kosinus in sinus:

(x,y)=(cos⁡θ,sin⁡θ)(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)

kjer je xx vodoravna koordinata, yy navpična koordinata, θ\theta pa kot.

Polmer je 1, zato sta koordinati in vrednosti obeh funkcij isti par števil pod dvema imenoma. Zato je krožnica narisana s polmerom 1 in ne s katero drugo velikostjo. Tangens je določen iz istega para:

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Vsaka točka na krožnici izpolnjuje tudi Pitagorov izrek, uporabljen na pravokotnem trikotniku s stranicama xx in yy ter hipotenuzo 1:

cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Stopinje in radiani

Stran sprejme obe enoti in prikaže obe. Povezuje ju zveza, po kateri je pol obrata π radianov:

\qquad \theta_{\mathrm{deg}} = \theta_{\mathrm{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$ kjer je $\theta_{\mathrm{deg}}$ kot v stopinjah, $\theta_{\mathrm{rad}}$ pa isti kot v radianih. ### Skrčenje na en obrat Kot je lahko negativen in lahko preseže cel obrat. Točka na krožnici se ponovi vsakih 360°, zato stran najprej skrči kot v območje od 0° do, vendar ne vključno z, 360°: $$\theta_0 = ((\theta \bmod 360) + 360) \bmod 360$$ kjer je $\theta$ vneseni kot v stopinjah, $\theta_0$ pa ista smer, zapisana znotraj enega obrata. 750° se skrči na 30°, −30° pa na 330°. Skrčenje poteka v stopinjah, pri katerih je ostanek eksakten. ### Referenčni kot in kvadrant Referenčni kot je ostri kot med žarkom in osjo x. Nikoli ni večji od 90°: $$\theta_{\mathrm{ref}} = \begin{cases} \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 90 \\ 180 - \theta_0 & \text{if } \theta_0 \le 180 \\ \theta_0 - 180 & \text{if } \theta_0 \le 270 \\ 360 - \theta_0 & \text{sicer} \end{cases}$$ kjer je $\theta_0$ skrčeni kot v stopinjah. Velikost sinusa, kosinusa in tangensa je odvisna samo od referenčnega kota. Kvadrant določa predznake. | Kvadrant | Skrčeni kot | cos | sin | tan | |---|---|---|---|---| | I | od 0° do 90° | + | + | + | | II | od 90° do 180° | − | + | − | | III | od 180° do 270° | − | − | + | | IV | od 270° do 360° | + | − | − | Koti 0°, 90°, 180° in 270° ležijo na osi. Kvadrant je odprto območje med dvema osema, zato nobeden od teh štirih ni v kvadrantu; stran namesto sosednjega kvadranta navede os. ### Šestnajst standardnih kotov Pet referenčnih kotov ima eksaktne zaprte oblike. | Referenčni kot | cos | sin | tan | |---|---|---|---| | 0° (0) | 1 | 0 | 0 | | 30° (π/6) | √3/2 | 1/2 | √3/3 | | 45° (π/4) | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° (π/3) | 1/2 | √3/2 | √3 | | 90° (π/2) | 0 | 1 | ni definirano | Z zrcaljenjem teh vrstic v preostale tri kvadrante dobimo šestnajst kotov: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315 in 330 stopinj. Stran jih ustvari tako, da točke prvega kvadranta zaporedoma zavrti za četrt obrata, namesto da bi tabelo štirikrat prepisala, saj se pri prepisovanju lahko pojavi napačen predznak. Tudi 15°, 75° in 105° imajo zaprte oblike, vendar dvotermne, kot je 2 − √3. Ne spadajo v to družino, zato so podani kot decimalke. Pri 15° so cos 0,96592583, sin 0,25881905 in tan 0,26794919. ### Primer: 210 stopinj 210° je več kot 180° in manj kot 270°, zato spada v kvadrant III. Če odštejemo 180, dobimo referenčni kot 30°. Pri referenčnem kotu 30° so tri velikosti √3/2, 1/2 in √3/3. V kvadrantu III sta obe koordinati negativni, zato je točka (−√3/2, −1/2). Tangens je količnik negativnega in negativnega števila, zato ostane pozitiven in znaša √3/3. V radianih je kot 7π/6, referenčni kot pa je π/6. Kot decimalke stran prikaže cos −0,8660254, sin −0,5 in tan 0,57735027. 570° in −150° dajeta enake odgovore, ker se oba skrčita na 210°. ### Katere konstante so natančne | Konstanta | Vrednost | Natančno? | Vir | |---|---|---|---| | Stopinje v enem obratu | 360 | eksaktno po definiciji | ISO 80000-3 | | Radiani v enem obratu | 2π | eksaktno po definiciji | ISO 80000-3; brošura SI | | cos 30°, sin 60° | √3/2 | eksaktno | NIST DLMF §4,14 | | cos 45°, sin 45° | √2/2 | eksaktno | NIST DLMF §4,14 | | cos 60°, sin 30° | 1/2 | eksaktno | NIST DLMF §4,14 | | tan 90°, tan 270° | brez vrednosti | eksaktno, pol | NIST DLMF §4,15 | π je iracionalno število, zato nima eksaktne decimalne ali dvojiške oblike in je vsaka shranjena vrednost zaokrožena. Stran prepreči, da bi to zaokroževanje vplivalo na odgovore, na dva načina. Skrčenje poteka v stopinjah, kjer je 360 deljenje brez ostanka. Standardni koti pa se preberejo iz zgornje tabele zaprtih oblik, nikoli iz sinusne funkcije s plavajočo vejico. ### Branje kota, vnesenega v radianih Vnos v radianih je že zaokrožena decimalna vrednost. π/2 se vnese kot 1,5707963267948966, pretvorba nazaj pa da kot, ki je od 90 oddaljen približno desetbilijoninko stopinje, ne pa natanko 90. Zato stran vsak kot, ki je od standardnega kota oddaljen največ milijoninko stopinje, obravnava kot ta kot. Toleranca določi, katera tabela se uporabi; odgovora nikoli ne razširi. 30,001° ne postane 30°. Koti nad milijardo stopinj so zavrnjeni. To je omejitev računanja, ne geometrije: razlika med števili, ki jih lahko računalnik shrani, se povečuje z njihovo velikostjo, pri približno štirih milijardah in pol stopinj pa je ta razlika večja od tolerance milijoninke stopinje, zato s krčenjem ni več mogoče dovolj natančno določiti kota. Milijarda zagotavlja rezervo pod to mejo. ### Pogosta vprašanja **Za kaj se uporablja enotska krožnica?** Sinus in kosinus pretvori v koordinati. Če s krožnice odčitamo eno točko, dobimo obe vrednosti hkrati; slika pa pokaže, zakaj se ponavljata vsak polni obrat in zakaj se njuna predznaka iz enega kvadranta v drugega spreminjata. **Kakšna je eksaktna vrednost sin 30°?** Ena polovica. cos 30° je √3/2, približno 0,8660254, tan 30° pa je √3/3, približno 0,57735027. **Zakaj tan 90° ni definiran?** Tangens je sinus, deljen s kosinusom, cos 90° pa je 0. Z ničlo ni mogoče deliti. Stran pol določi tako, da navede kot, ne pa s preverjanjem, ali je izračunani tangens velik, saj je strm tangens tik pred 90° običajno število. **Kaj je referenčni kot?** To je ostri kot med žarkom in osjo x, zato vedno leži med 0° in 90°. 150°, 210° in 330° imajo vsi referenčni kot 30°, zato imajo njihovi sinus in kosinus enake tri velikosti, razlikujejo pa se le po predznaku. **Ali deluje negativen kot?** Da. Negativen kot se vrti v smeri urnega kazalca. −30° kaže v isto smer kot 330°, zato stran vrne točko (√3/2, −1/2) in kvadrant IV. **Zakaj stran kot prikaže dvakrat?** 750° in 30° sekata krožnico v isti točki, vendar ne pomenita istega vrtenja. Stran prikaže vneseni kot, pretvorjen v drugo enoto, in poleg njega še skrčeni kot.