Калкулатор површине

Q: Која је формула за површину лопте?

$SA = 4\pi r²$, где је r полупречник. Лопта полупречника 5 m има површину од приближно 314,16 m².

Површина тродимензионалног тела је укупна површина свих равних и закривљених површина које покривају његову спољашњост, измерена у квадратним јединицама, као што су квадратни метри или квадратне стопе. Овај калкулатор одређује површину седам уобичајених геометријских тела: сфере, коцке, ваљка, пирамиде, купе, квадра и троугаоне призме.

Шта значи површина

Површина је збир површина свих спољашњих страна тела. Површина коцке је збир површина њених шест равних квадратних страна. Површина лопте је површина њене једине закривљене спољашње површине. Површина се разликује од запремине, која мери простор унутар тела, а не површину његове границе. Обе величине се мере различитим јединицама: површина у квадратним јединицама (m²), а запремина у кубним јединицама (m³).

Како се израчунава површина

Изаберите облик са списка од седам могућности.
Унесите мере које су потребне за тај облик:
- Лопта: полупречник
- Коцка: дужина странице
- Ваљак: полупречник и висина
- Пирамида: дужина основице, ширина основице и апотема
- Купа: полупречник и висина
- Квадар: дужина, ширина и висина
- Троугаона призма: дужина основице, висина троугла и дужина призме
Резултат се аутоматски приказује када свако обавезно поље добије вредност.
Очитајте површину у квадратним јединицама. Дугме за копирање поред резултата копира га у међуспремник.

Док је неко обавезно поље празно, калкулатор уместо резултата приказује кратко упутство. Када сва поља добију вредност, број који је нула или негативан производи поруку о грешци.

За пирамиду важи додатно правило за сваку основицу, квадратну или правоугаону: унета апотема мора бити дужа од половине ширине основице. Половина ширине основице је растојање од центра основице до средине ивице дужине основице. Апотема једнака тој вредности или краћа од ње не оставља места за вертикалну висину, па таква пирамида не постоји и калкулатор приказује грешку.

Формуле за површину

У формулама испод, r је полупречник, h је висина, l је дужина, w је ширина, b је дужина основице, а s је апотема.

Лопта: $SA = 4\pi r²$
Коцка: $SA = 6a²$ , где је a дужина странице
Ваљак: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , односно површина две кружне основе плус површина закривљене стране
Купа: $SA = \pi r² + \pi rs$ , где је апотема $s = \sqrt{r² + h²}$
Пирамида са квадратном основицом: $SA = l² + 2ls$ , где је l дужина основице, а s апотема троугаоне стране
Квадар: $SA = 2(lw + lh + wh)$
Троугласта призма (троугласти попречни пресек са основицом b, висином h и двема једнаким косим страницама $a = c$ ): $SA = bh + (a + b + c)L$ , где је L дужина призме, а $a = c = \sqrt{h² + (b/2)²}$ за симетричан (једнакокраки) троугао

Пирамида са правоугаоном основицом има две различите апотеме, по једну за сваки пар троугаоних страна. Поље „Апотема“ прихвата апотему s двеју страна које стоје на ивицама дужине основице. На основу ње калкулатор израчунава вертикалну висину h помоћу $h = \sqrt{s² - (w/2)²}$ , а затим одређује други пар страна:

Пирамида са правоугаоном основицом: $SA = lw + ls + w\sqrt{h² + (l/2)²}$ , где је l дужина основице, w ширина основице, а h вертикална висина изведена из s.

Формула за квадратну основицу изнад посебан је случај ове формуле, који се добија када су дужина и ширина основице једнаке (у оквиру 0,001 унетих јединица).

Решен пример

Лопта, полупречника 5 m: SA = 4π(5)² = 100π ≈ 314,16 m²

Коцка, дужине странице 3 m: SA = 6(3)² = 54 m²

Ваљак, полупречника 2 m и висине 5 m: SA = 2π(2)(2 + 5) = 28π ≈ 87,96 m²

Купа, полупречника 3 m и висине 4 m: апотема = √(3² + 4²) = 5 m, па је SA = π(3)(3 + 5) = 24π ≈ 75,40 m²

Пирамида са квадратном основицом, дужине основице 4 m и апотеме 5 m: SA = 4² + 2(4)(5) = 16 + 40 = 56 m²

Пирамида са правоугаоном основицом, дужине основице 6 m, ширине основице 8 m и апотеме 5 m: половина ширине основице је 4 m, па је вертикална висина √(5² − 4²) = 3 m. Други пар страна има апотему √(3² + 3²) = √18 ≈ 4,2426 m. SA = (6 × 8) + (6 × 5) + (8 × 4,2426) = 48 + 30 + 33,94 ≈ 111,94 m²

Квадар, дужине 4 m, ширине 3 m и висине 5 m: SA = 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 m²

Троугаона призма, основице 3 m, висине троугла 4 m и дужине призме 5 m: две једнаке косе странице су √(4² + 1,5²) = √18,25 ≈ 4,272 m. SA = (3 × 4) + (4,272 + 3 + 4,272) × 5 = 12 + 57,72 ≈ 69,72 m²

Јединице и прецизност

Све унете мере треба да користе исту јединицу, као што су метри, стопе или центиметри. Резултат се даје у квадрату те јединице. Калкулатор интерно рачуна са пуном прецизношћу покретног зареза, а резултат приказује заокружен на две децимале.

Зашто је површина важна

Површина се користи за процену количине боје или премаза потребне за зид или предмет, материјала потребног за амбалажу, као и лима или тканине потребних за израду посуде. У биологији и хемији, површина ћелије или честице катализатора утиче на брзину размене материје са околином, јер се размена одвија преко површине. У инжењерству, површина радијатора или измењивача топлоте утиче на брзину преноса топлоте.

Најчешће постављана питања

Шта је површина? Површина је укупна површина сваке спољашње равне или закривљене стране тродимензионалног предмета, изражена у квадратним јединицама.

Која је формула за површину лопте? $SA = 4\pi r²$ , где је r полупречник. Лопта полупречника 5 m има површину од приближно 314,16 m².

Како се одређује површина ваљка? Површини две кружне основе додаје се површина закривљене стране: $SA = 2\pi r² + 2\pi rh$ , где је r полупречник, а h висина.

Која је разлика између површине и запремине? Површина мери спољашњу границу облика у квадратним јединицама. Запремина мери простор који та граница ограничава, у кубним јединицама. Површина и запремина облика обично расту различитим брзинама када се његова величина повећава.

Може ли овај калкулатор да обради пирамиду са правоугаоном основицом? Да. Унесите различите дужину и ширину основице, као и апотему двеју страна које стоје на ивицама дужине основице. Калкулатор из те три вредности изводи вертикалну висину и другу апотему.

Зашто се код пирамиде понекад приказује грешка? Апотема мора бити већа од половине ширине основице. При тој вредности или мањој од ње пирамида би имала нулту или имагинарну висину, па такво тело не постоји и површина се не може приказати.

Које облике овај калкулатор подржава? Сфера, коцка, ваљак, пирамида, купа, квадар и троугаона призма.

Референце

"Surface Area." Википедија, Фондација Викимедија. https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area
Вајстајн, Ерик В. "Surface Area." MathWorld — веб-ресурс Wolfram-а. https://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html
"Surface Area Formulas." Math Is Fun. https://www.mathsisfun.com/geometry/surface-area.html

Калкулатор површине - Бесплатан алат за све 3Д облике